книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

реме 1.4.9 множество всех

рациональных

точек n-мер­

ного пространства счетно.

В n-мерном точечном пространстве естественным об­

разом

вводятся

понятия

начала

координат

(это — та

точка,

у которой

іі = іг = . •. =

i n = 0

) ,

координат­

дует назвать совокупность всех точек,

у которых

Іі мо­

жет иметь любое значение, а І2 = ...

= і„ = 0.

Кроме

ду точками X =

( i l , І 2 , . . . .

i n )

И у = (щ,

ТІ2, . . . , Г|„)

неотрицательное

число, обозначаемое р{х,

у) и опреде­

ляемое по формуле

Р (х, У) = . У

Ѣ

Hi — 'Пг)2 •

(1)

У

г=і

странством и обозначается Rn.

когда

Ясно, что

р(х,

у) =

0 тогда и только тогда,

X = у,

т. е.

когда

І<=

трпри всех

і — 1, 2, . . . , п.

Также

ясно,

что р (у,х)

= р (х,у). Докажем, что

для

любых трех точек х, у, z е Rn

Р (х,

у Х

Р (х , Z ) + р (z,

у).

(2)

(І^)ЧМІ4

о»

справедливое для любых вещественных чисел

и Ьі **).

на следующем

замечании: если

квадратный

трехчлен

Ах2 + 2ßx + С с вещественными

коэффициентами неот­

рицателен при

всех вещественных х, то его

дискрими­

нант В2— А С ^

0 ***). Составим вспомогательную функ­

П

Ф (*) =

2 (віХ +

bi)2 — Ах2+ 2Вх + С,

где

і= I

. А = S

а2,

В =

2

аА> С =

2

Ь2.

і=1

і=1

і=1

Из определения

ф

видно,

что ф (х) ^

0

при всех

х.

Тогда, на основании предыдущего замечания,

(Ы 4

М І

это и есть иначе записанное неравенство Коши.

Далее из неравенства (3) выведем

еще одно нера­

венство

Ѵ % К +

< у % + і / | , И

И)

*) Знак равенства Возможен для «вырождающегося» тре­

угольника, у которого все три вершины лежат на одной прямой.

**) О. Л. К о ш и

(1789— 1857)— знаменитый французский

ма­

ней и потому В2 — ЛС 0. Если же А — 0,

то

трехчлен

превра­

щается в линейную функцию 2Вх + С, и если

эта

функция

не ме­

няет знака, то и В = 0, а тогда В2— АС = 0,

Пусть

* т - (6{">,

,

&">),

* = (Ір

| 2, .. -, У -

Тогда

из

формулы

Р(Хт> х) =

/ ! (

Г - 6

| . У

ясно,

что

соотношение хт -* х

равносильно

одовремен-

ному выполнению соотношений

ПРИ

всех

і — 1.

2,

п.

О п р е д е

л е н и е . Открытым шаром S(x о, е) с цент­

ром Хо е /?п

и радиусом е > О называется

совокупность

всех точек х е е Rn, для которых р{х,х0) <

е. Всякий от­

Заметим, что

в Ri открытый

шар'

S(x0, е) превра­

щается в

интервал (х0— е, х0 +

е);

в R2— это круг.

Легко

видеть,

что для того чтобы хт —* Хо, необходи­

такое М, что 4 e S ( JC0, е) при m ^

М.

из

Пусть теперь А — произвольное

множество точек

/?„. Точка

называется предельной точкой

(или

точкой сгущения)

множества

А, если существует

такая

последовательность

точек

xmŒA,

отличных

от

х

. .. = хт *= . . .

при т1<

т2 < ■■■< mk

< . . .

Но поскольку хт-> х,

то и

частичная

последовательность хт

-> х,

откуда следует, что

хт] =

хт^ = ...

= хт =

. . . = X, вопреки определению предель­

концы X — а и X =

Ь.

Заметим

еще,

что если точка х п р и н а д л е ж и т

множеству

А {А — снова произвольное множество из

ней мере одну точку у е

А, отличную от х.

Попутно мы докажем, что если х — предельная точка

множества

А, то любая

ее окрестность содержит б е с ­

к о н е ч н о е

множество точек из Л.

Н е о б х о д и м о с т ь .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

а)

ки, существует

последовательность

хт —*■х,

где

все

хт Ф X и все Хщ €= А. Но тогда

все хт, начиная

с неко^

торого, содержатся в S и среди них имеется бесконеч­

ное множество различных.

Пусть

выполнено условие

б)

Д о с т а т о ч н о с т ь .

теоремы. Для любого натурального т из окрестности

S(x, l/т)

выберем

точку ут&А,

отличную

от

х.

Тогда р (Ут, х) <

1 /т

и потому ут-*х. Следовательно,

X — предельная точка множества А.

О п р е д е л е н и е .

Множество A cz Rn называется

ограниченным, если координаты

Bçex

х <= А ограничены

дующая теорема Больцано — Вейерштрасса:

из всякой

*)

Если I іі I < / С ( / = 1,

2......... п),

то хе= s ( 0 ,

К Ѵ п ) , где

О — начало

координат. Обратно, если

Ï Ë

S (xQ, г), то

11,- — i f | < г

при всех

і,

т. е.

i f - r < i i < i f

+ г

( / = 1 , 2 ......... п)

следовательность, сходящуюся

к некоторому преде­

лу **).

Дадим доказательство последней теоремы***). Пусть

точки xm — (i,[m), |<т),

образуют ограниченную

имеет конечный предел,

Теперь из данной

***)

Впрочем, его можно найти в той же книге Г. М. Ф и х т е н ­

г о л ь ц а ,

п° 135.

Теперь установим теорему,

которая

по существу яв­

ляется другой формой только

что доказанного

предло­

жения и которую тоже называют

теоремой

Б о л ь ­

щую

форму теоремы

Больцано — Вейерштрасса, выде­

лим

из

{хт } частичную последовательность,

имеющую

предел:

xmk~>x. Поскольку все хт^ отличны друг от

друга, то среди них — бесконечное

множество отличных

и от X, а потому х — предельная точка множества А.

§ 3. Замкнутые и открытые множества

О п р е д е л е н и е .

Множество

F а Rn

называется

довательности

точек.

Всякое конечное

множество

F —

— {Уи У2 ,

. . . , Ук] *)

замкнуто,

так как

если последова­

тельность

{хт }

состоит из точек

этого множества,

то по

ряется среди хт бесконечное

множество раз, а тогда

и предел (если он существует) должен

совпадать

с Уі **).

множества в Ri

могут слу­

Примерами замкнутого

жить любой отрезок [а, Ь],

множество всех чисел х ^

а

или множество всех чисел х

^

Ь.

*) Эта запись означает, что В состоит из k точек: у і, уг, . . . .

Ук.

кий

прямоугольник,

определяемый

неравенствами

а ^

Ъ

Ь, с ^

d; совокупность всех точек

кривой

Іі =

ф(*)>

Ь = Ф(0

( a < ; ^ < ß ) , где

функции

ф и ф

одном и том же пространстве Rn-

конечного

числа

Т е о р е м а II. 3.1.

Объединение

замкнутых множеств — также замкнутое

множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Fi (і =

1, 2,

. . . ,

р) —

замкнутые множества,

F =

р

xm e F

(m == 1, 2, ...)

(J.Fj,

i=i

{xm}

существует

беско­

и Xm -» X. В последовательности

нечная частичная последовательность

jxmfe],

состоящая

xmk& Ft. Но

xmk-> X

и так как F, замкнуто, то х œ Fjt

а потому X е

F.

Пересечение любого

множества

Т е о р е м а

II. 3.2.

замкнутых множеств замкнуто.

F —

Fa

Fa

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

и

все

замкнуты.

Если

хт-* х

и

а

(т — 1,

2,

...),

xmŒF

то все

xffle F a при

любом a,

a

потому и

x Œ F a при

любом

а. Следовательно,

х Œ F и F замкнуто.

Заметим, что теорема

II. 3.1.

(в отличие

от теоремы

II. 3.2)

не

может

быть распространена

на

произвольное

со

(О,

l l ^ U

n / " . П.

П—2

однако полуинтервал

(0, 1] не замкнут.

множе­

О п р е д е л е н и е .

Пусть

А — произвольное

ство точек из Rn. Точка х Œ А

называется внутренней

точкой множества А,

если при некотором е > 0 окрест­

ность S(x, е) с: Л. Множество

G с Rn называется от­

крытым, если все его точки — внутренние.

Все пространство

Rn — открытое множество;

пустое

вал

(а, Ь), множества, определяемые неравенствами

X >

а или X < Ь. Примером открытого множества в Rn

а < Іі < b,

c < l 2<d .

Покажем, что в любом Rn всякий открытый шар

5(х, г ) — открытое

множество. Пусть y ^ S { x , r ) .

Это

значит, что р(у, х)

< г. Положим е == г — р{у, х).

Если

ZŒS(y, в), то

р (г, дс)<р{г,

у) + р (у, х) < е + р (у, х) = г,

откуда 2 Ë S ( ï , f ) .

Таким

образом, весь шар S(y, е) с:

с~ S (x ,r ), следовательно,

у — внутренняя точка

шара

S{x,r).

полнение F = Rn\ G

было замкнутым.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

а)

Н е о б х о д и м о с т ь .

Пусть

G открыто, a

xm е F

(т =

1, 2, ...) и хт —* х.

Если

бы r e ö ,

то и некоторая окрестность 5 (х, е) вхо­

дила бы в G и не содержала точек из F, что невозмож­

но, поскольку

X — предел

последовательности

точек

Хт £= F. Следовательно, х œ F и F замкнуто.

а , i e ö .

б)

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть F

замкнуто,

Если бы X не была

внутренней точкой

множества

G, то