книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

Л е м м а 1.5.1. Множество Е всевозможных беско­ нечных последовательностей натуральных чисел

из которых независимо от остальных может принимать любое значение из некоторой совокупности мощности с. Тогда множество А имеет мощность с.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Запишем элементы мнбжества А в виде ûp,.p2..... рг> где ри рг.......... Рг — параметры.

Для каждого из параметров установим взаимно одно­ значное соответствие между всевозможными его значе­ ниями и последовательностями из множества Е (см. предыдущую лемму). Пусть теперь

*) Не только возрастающих!

валентно совокупности всех точек плоскости XOY, имеющих данную абсциссу X. По принципу склеивания А эквивалентно объединению

«всех этих прямых», т. е. совокупности всех точек плоскости. Следо­ вательно, А имеет мощность с.

§6. Сравнение мощностей

Впредыдущих параграфах, доказывая эквивалент­ ность тех или иных множертв, мы стремились устано­ вить взаимно однозначное соответствие между их эле­ ментами. Однако часто эквивалентность двух множеств проще установить не непосредственно, а с помощью сле­ дующего признака, который мы сформулируем без до­ казательства: если множество А эквивалентно некоторо­ му подмножеству ßi с: В, а множество В эквивалентно некоторому подмножеству A i-а А, то А ~ В. Из этого

признака сразу вытекает, что всякое подмножество мощ­ ности с, содержащее в себе более узкое подмножество мощности с, само имеет мощность с*).

Используя это замечание, легко распространить дока­

то говорят, что мощность множества А меньше, чем мощность множества В ■(или что вторая из них больше первой).

Согласно этому определению мощность счетного мно­ жества меньше мощности любого несчетного множества, в частности, меньше мощности с. С другой стороны, мож­ но доказать, что мощности любых двух множеств срав­ нимы между собой в том смысле, что либо они равны, либо одна из них меньше другой. Таким образом, по от­ ношению к любому множеству можно утверждать, что его мощность или равна с, или больше с, или меньше с. Естественно, что уже давно был поставлен вопрос, су­ ществуют ли несчетные множества, мощность которых меньше с. При этом Г. Кантором было высказано пред­ положение, что таких множеств нет, т. е. что с — наи­

меньшая из мощностей несчетных множеств. Это пред­ положение получило название гипотезы континуума. Од­ нако более поздние исследования показали, что сама формулировка гипотезы континуума требует уточнения и что эта гипотеза тесно связана с аксиоматикой теории множеств. В рамках настоящей книги мы не можем вхо­ дить в какие-нибудь подробности по этому вопросу*).

Легко построить пример множества, мощность ко­ торого больше с. Пусть Ф — множество всех веществен­ ных функций /, заданных на отрезке [0, 1]. Множество Ф содержит, в частности, все функции, равные постоян­ ной, которые образуют подмножество Фі мощности с. Если мы установим, что мощность самого Ф отлична от с, то это и будет означать, что она больше с.

Рассуждая от противного, допустим, что Ф ~ [0, 1]. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между функциями / из Ф и числами t е [0,1]. Будем при­ писывать каждой функции f соответствующее ей число t в виде индекса: ft. Теперь построим функцию g(x) = = fx(x) + 1 (здесь индекс изменяется вместе с аргу­ ментом). Эта функция входит в Ф, следовательно, она должна совпадать с одной из ft. Однако при любом t,

построить множество большей мощности. Именно, сово­ купность 51 всех подмножеств множества А имеет мощ­ ность большую, чем мощность самого А. В частности, можно доказать, что если А счетно, то 51 имеет мощ­ ность с, а если А имеет мощность с, то 51 ~ Ф.

§7. Кольца, полукольца и алгебры множеств

Вэтом параграфе'мы введем некоторые понятия, не связанные со сравнением множеств по мощности.

Оп р е д е л е н и е . ПустьМ—произвольное множество.

Непустая совокупность 51 некоторых его подмножеств

*) Современное состояние вопроса о гипотезе континуума из­ ложено в книге: П, Дж. Ко э н , Теория множеств и континуум-гипо­ теза, «Мир», 1969.

2 Б, 3, Булях

называется кольцом, если для любых А, В е 51

1)А U B œ %;

2)А\В< =% .

Ясно, что условие 1) по индукции распространяется

на любое конечное число множеств из 51, т. е. если

П

А = (J At и все Ai е ä , то и Л е Я. Таким образом, «•=I

кольцо может быть охарактеризовано как непустая со­ вокупность подмножеств некоторого множества, замкну­ тая относительно операций объединения конечного чис­ ла множеств и вычитания.

Тривиальными примерами кольца могут служить со­ вокупность всех подмножеств множества М и совокуп­ ность, состоящая из одного пустого подмножества*). Совокупность всех конечных подмножеств множества М (в число конечных включается и пустое) также пред­ ставляет кольцо. В дальнейшем мы встретим более ин­ тересные примеры колец.

Всякое кольцо 51 содержит пустое множество. Дей­

Всякое кольцо 51 замкнуто относительно образования пересечения конечного числа множеств. Достаточно про­ верить это для пересечения двух множеств. Пусть А, В œ 51. Тогда из формулы

Л П В = Л \ (Л \ В)

жеств множества М называется алгеброй, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

подмножеств множества М была алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была кольцом и чтобы М е 51.

*) Последняя совокупность сама не пустая! Она содержит эле­ мент 0 ,

Аналогично вводится понятие сг-алгебры. Непустая совокупность 51 подмножеств множества М называется cs-алгеброй, если она удовлетворяет условию 1) из опре­ деления a-кольца и условию 2) из определения алгебры. Дословно повторяя доказательство теоремы 1.7.1, мы можем установить, что для того, чтобы совокупность 51 была а-алгеброй, необходимо и достаточно, чтобы она была a-кольцом и чтобы М œ 51.

Совокупность всех подмножеств множества М — три­ виальный пример а-алгебры. Совокупность всех счетных подмножеств множества М, а также совокупность, со­ стоящая из одного 0 , — примеры сг-кольца.

Если дано некоторое множество колец (соответствен­ но алгебр) 51а, состоящих из подмножеств множества М,

множеств множества М, то всегда существует наимень­ шее кольцо (соответственно алгебра, о-кольцо или а-алгебра) 51, содержащее 53 (53 с: 51). Действительно, таким 51 будет пересечение всех колец 51' (соответствен­ но алгебр, a-колец или а-алгебр), состоящих из подмно­ жеств множества М и содержащих 53**). Эта совокуп­ ность 51 называется кольцом (соответственно алгеброй, cs-кольцом, а-алгеброй), порожденным совокупностью 53.

Введем еще одно понятие, более общее, чем понятие кольца.

О п р е д е л е н и е . Совокупность 9? подмножеств мно­ жества М называется полукольцом, если она удовлетво­ ряет следующим трем условиям:

1) 0 e 9 S ;

*) Это пересечение не пусто, так как 0 е 51.

**) Такие 51' существуют; например, совокупность всех подмно­ жеств множества М,

или счетная совокупность таких дизъюнктных множеств

Сп<= 9Î, что А \ В = (J Сп.

П

Тривиальным примером полукольца может служить совокупность всех промежутков на прямой (включая и «вырожденные» — состоящие из одной точки и пустое множество). При этом разность двух промежутков пред­ ставима или в виде промежутка или в виде объединения двух дизъюнктных промежутков. Более интересный при­ мер полукольца мы встретим в гл. V.

Отметим некоторые свойства полукольца,

A \ ( j A t = {JCn.

W п

Это утверждение очевидно представляет усиление условия 3 из определения полукольца.

Доказательство будем вести по индукции. Имеем

А \ Л х= Л \ (Л Г Ш ,

и, так как А П Лі е SR, то А \ А , = (J Dk, где Dk <= 91 и k

дизъюнктны, а совокупность значений k не более чем счетна. Далее

л \ ( л , и л 2)= - (л \ л,)\ л2= и ( я * \ А2).

k

По уже доказанному каждое из множеств Dk \ Л2 пред­ ставимо в виде конечного или счетного объединения дизъюнктных множеств Еы е 9Î,

Dk \ A2 = \} E ki.

Л \ ( Л 1иЛ2) = и ^ г -