книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

в теории вероятностей. Само понятие функции распределения воз­

—ОО

Дания,

Поясним сказанное на примере дискретной случайной вели­ чины. Пусть вероятность р сосредоточена в точках /ь tî, . •. и имеет в этих точках значения рі, рг, . . . (соответственно). При

АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВА

§ 1. Определение абсолютно непрерывных функций

Выше, изучая интеграл Лебега, мы установили свой­ ство его абсолютной непрерывности (теорема VIII. 3.3). В этой главе мы займемся общим исследованием счетно­ аддитивных функций множества, обладающих свой­ ством абсолютной непрерывности, и покажем, что этим свойством полностью характеризуются те функции, ко­ торые представимы в виде интегралов. Однако опреде­ ление абсолютной непрерывности мы дадим сейчас в не­ сколько иной форме, равносильность которой с преж­ ней формой будет доказана для функций с конечными значениями. Рассматривая аддитивные функции, допу­ скающие бесконечные значения, мы будем считать, что значение —оо исключено.

О п р е д е л е н и е . Пусть X — пространство с о-конеч- ной мерой р, заданной на а-алгебре ©, а <р — произ­ вольная счетно-аддитивная функция, определенная на той же а-алгебре ®. Функция ср называется абсолютно

все три ее вариации тоже абсолютно непрерывны отно­

а-алгебре ©, была абсолютно непрерывной относительно меры р, необходимо и достаточно, чтобы для любого

очевидна для любой счетно-аддитивной функции ф. До­ кажем его необходимость.

Допустим, что, несмотря на абсолютную непрерыв­

Тогда pß = 0, следовательно, |ф|(Б)==0. Н о '|ф |(0 р)|> ^ |ф |( Л р) ^ е при любом р, что противоречит теореме IV. 1.2.

Приведем пример, показывающий, что доказанная теорема перестает быть верной, если отказаться от усло­ вия конечности функции ф. При этом в нашем примере функция ф будет a-конечной. Именно, разобьем /?і на счетное множество дизъюнктных множеств Еп с p£n= 1 (здесь р — мера Лебега) и положим для любого изме­ римого множества Л с ^ і

ф ( Л ) = І п ц ( Л П Д я ) .

Ясно, что ф абсолютно непрерывна, однако условие (1) для нее не выполнено, поскольку для любого измери­ мого Л с £ „ имеем ф(Л) = п-рЛ, и таким образом, как бы мало ни было рЛ, значение ф(Л) может быть сколь угодно большим.

Как показывает следующая теорема, условие (1) представляет интерес не только как характеристика аб­ солютно непрерывных функций,

h(x)< . 0 на множестве А0 с соЛ0 > 0 , то по (4) и по теореме VIII. 3.6

<р (Ло) = ^ h diо < 0 , Ао

а у нас функция ср неотрицательна. Кроме того, ф(Л)<с; ^со(Л ) для любого A œ <5, а потому

J h diù^iù (А).

А

Отсюда совершенно аналогично вытекает, что h ( x ) ^ l почти всюду на X относительно меры м. Не уменьшая общности, можно считать, что 0 ^ h ( x ) ^ \ при всех л е Х .

Введем множество

N — X[h (х) = I].

С помощью формулы (4) имеем

Ф (N) = J h da = (Ù (N) = ф (N) + piV,

N

следовательно, рУѴ= 0, т. e. h(x)<C 1 на всем X, за исключением множества N с ріѴ = 0. Заметим, что бла­ годаря абсолютной непрерывности функции ф также и

няя теорему Леви, мы снова получим это же равенство

(5) и для g.

Теперь определим искомую функцию /, полагая

Проверим равенство (2). Для этого зададим g по фор­ муле

(Ха — характеристическая функция множества А). Ясно, что эта функция неотрицательна, измерима и конечна. Подставляя ее в равенство (5), получаем, что для про­ извольного А е ©

fäii*).

Существование требуемой функции / доказано. При этом построенная нами функция f неотрицательна.

Переходим к случаю, когда мера р a-конечна. Разо­ бьем пространство X на счетное множество дизъюнкт­ ных подмножеств Xt с рАч < + оо (і = 1, 2, ...). По доказанному на каждом из Xt существует такая неот­ рицательная суммируемая функция /*, что для любого измеримого А c z X i

Полагая

g(x) = gi(x), если х ^ Х і (і = 1, 2 , ...),

мы, как и в конце доказательства теоремы XII. 2.1, легко убедимся, что

А

для любого /1 е ® .

Так как функция ф не принимает значения —оо, то по теореме XI. 1.5 она ограничена снизу, и потому ф_ конечна. Тогда по доказанному в теореме XII. 2.1 су­ ществует такая суммируемая на X функция h, что

любого / l e S .

А

когда ф была конечной, f на этот раз не обязана быть суммируемой на всем X.

Функция /, определяемая по заданной функции ф на

вычисления в отдельных точках, как для обычной про­ изводной, а она строится лишь «глобально» на основе соотношения (2) (с точностью до эквивалентности). Не­ которые указания по поводу возможности определения производной Радона — Никодима в точке будут приве­ дены в следующей главе.

Производная Радона — Никодима играет ту,же роль, что и обычная производная от функции одной перемен­ ной, в вопросе о замене переменной под знаком инте­ грала. Это становится ясным, если равенство (19) из гл. XI переписать в виде