Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3630 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

т. е. интегралы (2 1 ) от эквивалентных между собой функций равны. Таким образом, формула (21) опреде* ляет дистрибутивный функционал в М.

Для любой / е М положим

Лі = Х [ | / ( * Ж Н / | | ] , Аа = Х \ А 1.

Тогда цА2 — 0 и		потому \|/rfqp =		0, а
		I	Az
		I	fd<f= J fdy.
		X	Ai
Отсюда сразу следует			оценка
	I f d ф		ф і (Л,) =	И Л М ф і (Х).
Таким образом, функционал F, определяемый форму
лой	(21), линеен,	a \\F\|\| ^ \|<p\| (X). Два			противополож
ных	неравенства	дают	равенство	(2 2 ),	и теорема до

казана.

Пространство М можно рассматривать и как состав

ленное	из всех	функций, измеримых	и ограниченных
по чт и	в с ю д у	на X. Чтобы теорема	XI.4.2 осталась

в силе, достаточно условиться понимать интеграл от любой такой функции как интеграл от какой-нибудь эквивалентной ей измеримой функции, ограниченной на всем X.

§ 5.	Интеграл Стилтьеса на отрезке
Интеграл	Стилтьеса,	иначе называемый интегра
лом Римана — Стилтьеса,		представляет непосредствен

ное обобщение классического интеграла Римана. Мы приведем его определение в такой форме, которая наи

более близка		к определениям других		видов интеграла
в этой книге.		отрезке [а, Ь] заданы	две	,
Пусть	на			функции: произ
вольная	ограниченная функция /		и возрастающая (в

широком смысле) g. Возьмем произвольное разбиение т

отрезка [а, b]	на конечное			число	отрезков	с помощью
точек а = х0 < х{ < . . .			<	хр = Ь. Положим
M i—	sup		f(x),	Ші=	inf	f(x)
	x s l xt - v xi)				x ^ l xi - r xi]
		{I— 1 , 2 ........ p)
и образуем суммы Стилтьеса — Дарбу
s (т) =		S	Ml [g (Xt) — g (*,_!)],
		P	m i [g (xt) -
	S (T) =	2	m i [g (xt) -		g (*<_,)].
		i=i

Как и для классических сумм Дарбу, легко установить,

что		sup s (т) < inf 5 (т).						(27)
		sup s (т) < inf 5 (т).						(27)
		X			X
Если	обе эти грани		совпадают,			то общее их значение
и называется		интегралом			Стилтьеса		от функции f по
функции g и обозначается
		I fd g	^или J f (x)dg(*)j.
Заметим, что если g				и h —две возрастающие функ-
							ь
ции	на отрезке [a,		b]	и	если	оба	интеграла j	f dg и
Ь					Ъ		а
J fd h	существуют, то и				[ fd(g-j-h)		существует	и при
а
Э Т О М
	J	f d ( g +	h)	=	J f d g + f		f d h .	(28)

Доказательство этого утверждения совершенно эле ментарно.

Пусть теперь g — произвольная функция ограничен ной вариации на отрезке [а,Ь]*). Представим ее в виде разности двух возрастающих функций: g — g x— g 2.

*) f по-прежнему — любая ограниченная функция.

Если	среди таких	представлений найдется			хоть	одно,
при	котором оба	интеграла	Jb f dgx и	\|b	/ dg2	суще-
			fl	а
ствуют, то положим по определению
	ь	ъ	ь
	\fde=\ fdg\ ~ Jfdg2.
	а	а	а

Проверим, что при таком определении интеграл

J f dg не зависит от выбора gi и g2. Пусть нам дано

еще одно представление функции g в виде разности воз

растающих		функций		g — hi — h2, причем			интегралы
jb f dh1 и Jbf dh2			существуют.		Тогда	gi + h2 — g2-f
a	a	(28)
и по формуле		(28)				Jь f d h u
	Jь fdgi + ьJf dh2 =ьJf d g 2+					Jь f d h u
	a		a	a		a
откуда				f d g 2 = Jb	f d h i — Jb f dh2.
	{b f d g i — Ib			f d g 2 = Jb	f d h i — Jb f dh2.
	a		a	a		a
			b
	Докажем,	что	j f dg существует,			если f непрерывна
на	отрезке		a	Достаточно рассмотреть случай,
на	отрезке	[а, Ь].		Достаточно рассмотреть случай,
когда g — возрастающая функция. Благодаря							равномер

ной непрерывности функции /, по произвольно задан

ному е > 0 можно	подобрать		ô > 0 так,	что если все
длины Хі — Хі- 1 промежутков,			образующих	разбиение т,
меньше Ô, то Mt — m* ■< е для			всех і. А тогда
S (т) — s (т) = t=i	— Ші) [g (*,) — g (xi_i)] <
	(=i	(Xi) -	g (/-i)l = [g(b) — g (a)],

откуда и вытекает совпадение граней в неравенстве (27).

Мы не останавливаемся на элементарных свойствах интеграла Стилтьеса. Читатель может найти их во мно гих учебниках, например, в уже цитированной книге И. П. Натансона*). Установим лишь связь между ин тегралом Стилтьеса и интегралом по аддитивной функ ции множества. С этой целью используем пример 3 из XI. 1, и по заданной возрастающей функции g построим аддитивную функцию ср на алгебре @, порожденной со


вокупностью	всех	ячеек A cz[a,b) так, как		это		сделано
в указанном	примере.		f непрерывна	на		отрезке
Пусть сначала		функция
[a, b], а Е =	[а, Ь). Из сказанного в XI. 3 ясно				видно, что
J f dtp существует. С другой			стороны, любое		разбиение

%отрезка [a, b] порождает разбиение ячейки Е на дизъ юнктные ячейки ві — [Хі-и Xi) (i = 1, 2, ..., p). Благо даря непрерывности функции f ее грани на отрезках [Xj_i, Хі\ и на ячейках щ одинаковы, а потому суммы Стилтьеса — Дарбу переходят в суммы Лебега — Дарбу, Например, имеем для верхних сумм

S (т) =	S М, [я (**) -	g (xi-1)] =	S	Mt(f {et).
	i=l		i= 1
Тем самым	Jь fdg=	J fdç
	Jь fdg=	J fdç		(29)
	a	[a, b)
(слева стоит	интеграл Стилтьеса		по	отрезку [а, Ь],

справа — интеграл по аддитивной функции множества ф по ячейке [a, b) ).

*) Интеграл Стилтьеса в этой книге, как и во многих других,

определен классическим способом как предел «сумм				Римана —
Стилтьеса», причем		функция	g — любая. Определение,	приведенное
в нашей книге,	применимо		только, когда g — функция	ограничен
ной вариации,	но	в этом,	наиболее интересном случае оно не

сколько шире классического, т. е. приводит к более широкому классу интегрируемых функций. Определение, равносильное нашему

(в случае,	когда	g — функция ограниченной			вариации), дано	в
книге Э. X.	Г о X м а н а,		Интеграл	Стилтьеса	и его приложения,
Физматгиз,	1958.	В этой	же книге	содержится	ряд сведений о	со

отношении между этим определением и классическим, .

= i n î 5 ( t ) ,

К тому же результату легко прийти и в случае, если

g — любая	функция ограниченной вариации	на отрезке
[а, Ь].	если не требовать непрерывности	функции f,
Однако	если не требовать непрерывности	функции f,

то можно лишь доказать, что из существования инте-
грала	Стилтьеса		Jъf dg	вытекает существование	инте-
			а
грала	f dy	и	их равенство. Действительно, в		этом
	[Û. Ь)
с л у ч а е
	М'і — s u p	/	(х)	M i , m l — i n f f(x) ^ n i i .
	X e			X e e £

Поэтому, предполагая функцию g возрастающей (доста точно рассмотреть этот случай), имеем следующее не равенство для сумм Стилтьеса — Дарбу:

s (т )< 2	т'іЦ {ef) < 2 M'i<p (et) < S (т),
1=1	i=l

T . e . между суммами Стилтьеса — Дарбу всегда заклю

чены некоторые суммы Лебега — Дарбу. Но sups(r) =

а потому и грани сумм Лебега— Дарбу

совпадают, т. е. интеграл

fd<$ существует. При этом

[а. b)

ясно, что выполнено равенство (29).

Приведем пример, показывающий, что обратное за ключение неверно. Пусть

0 при 0 < £ < -у,

f(x) = g (х) «=

1 при Y <

1 ,

а £ = [0, 1). Разобьем Е на две дизъюнктные ячейки

== [°* т ) и е2 с= [ т • ^ Тогда т[ = М[ = 0, т'2 = = Мі = 1, ф(<?х) — 1, ф(^) — О и суммы Лебега — Дарбу

совпадают. Следовательно,

/ dq> существует (и ра-

[0. I)

вен 0 ). Однако интеграл Стилтьеса JIf dg не существует.

Действительно, для любого разбиения т отрезка [0, 1]

выберем то /, при котором xt. Тогда — 1 ,

ш,- = 0 и разность

S ( T ) - S ( ! ; ) = = £ ( * , ) - £ ( * , • _ ! ) = 1.

Таким образом, даже в классическом случае пере ход от интеграла Стилтьеса к интегрированию по функ ции множества оказывается полезным в связи с тем, что расширяется класс интегрируемых функций.

§6. Функции распределения на прямой

Вэтом параграфе мы остановимся подробнее на

вопросе, затронутом в последнем из примеров в XL 1. Мы покажем, что между мерами, заданными на полу


кольце		ячеек	в	и возрастающими			непрерывными
слева	функциями на			вещественной оси можно установить
соответствие, позволяющее					интеграл	по	мере	сводить
к интегралу Стилтьеса.
О п р е д е л е н и е .				Функцией распределения (на пря
мой)	называется любая .конечная, возрастающая							{в ши
роком		смысле)	и непрерывная слева			функция		F, за
данная		на оси	(—оо, + о о ) .		Функции распределения, от

личающиеся друг от друга на постоянное слагаемое, называются эквивалентными.

В XI. 1 мы уже видели, что всякая функция распре деления порождает по формуле (14) (при дополнитель ном условии ф0 = 0 ) неотрицательную аддитивную функцию ф. Эта функция задана на полукольце 9? од номерных ячеек с конечной длиной*). Однако за счет непрерывности слева функции F мы сможем сейчас до казать, что ф счетно-аддитивна, т. е. мы установим. еле-, дующую теорему.

*) Подчеркиваем, что, в отличие от гл. V, сейчас в ІН вклю чаются только конечные промежутки вида [а. Ь).

Т е о р е м а XI. 6.1. Для всякой	функции распределе
ния F порождаемая ею на полукольце 3Î ячеек в
аддитивная функция ф — мера'*).
Доказательство этой теоремы	проводится по анало

гии с доказательством счетной аддитивности объема ячеек (см. V. 2). Конечная аддитивность функции ф от мечалась выше и она очевидна. Далее по образцу леммы V. 2.2 доказывается, что если ячейки ДьДг, . . . , ДР

(из	3Î)	дизъюнктны	и	р		ячейка),
				( jA Äc:A (Д — тоже
	р			k=i
то			образцу леммы		V. 2.3 устанавли-
	^ф А ^^ф А . По
	k=\	что если Аь Аг,		Ар — любые ячейки		(из 9Î),
вается,
		і Рі		р	Наконец,	счетная
а ячейка A c :(jA ft, то				ф А ^ ^ ф Д А.
		А = 1		А = 1

аддитивность функции ф доказывается по образцу леммы V. 2.4. На этой части рассуждения остановимся немного подробнее.

			оо
Пусть	ячейка	А =	(JAk причем		ячейки А* дизъ-
			fe=i
юнктны. Из предыдущего сразу следует, что
		со
		2	фАй<фА ,
		k=i
и остается доказать обратное неравенство.						ah < bh
Пусть	А — [a, b),		Afe =	[ah, bh) ,	причем	ah < bh
(k — l, 2,	...)**).	Зададим		e > 0 и,	используя	непре
рывность слева функции F, подберем					числа ÔA >	0 так,
что

F(ak - Ô k) > F(ak) — - ^ .

Зададим еще число ô > 0. Интервалы (ah— ÔA, &а) об разуют покрытие отрезка [a, b — б], а тогда из них можно выделить конечное покрытие. Тем более ячейка

*) Если в определении функции		ф на	ячейках формулу (14)
заменить другой, а	именно принять	ф(Д) =	F(ß — 0)	— F(а — 0),
то ф окажется мерой и без требования непрерывности				F слева.
**) Достаточно	предполагать, что	все ячейки Да — не пустые,

§ 6]

[а, Ь—6) покрывается конечным числом ячеек [а%—Ьъ bh)

(k =	1, 2,	р). Следовательно, по отмеченному выше
F (b -	ô) -	F (а) < 2	[F (bk) - F ( a k ~		ô*)] <
	P	k=\
	P		P		<x>
	< 2	tF (bk) — F (a*)] + e = 2		фАй + e < 2 <pAé + e.
	fe=i		k=\		k—\
Переходя к пределу			при ô, е->0,	получим
		(рА = F (Ь) — F (а) ^		5	фАъ
				fc=i

что и завершает доказательство.

Аналогичную теорему можно получить и в случае, если в понятие функции распределения включить тре бование непрерывности справа. В этом случае вместо

ячеек [а, Ь)	нужно	было	бы	рассмотреть			полукольцо
промежутков вида (а, Ь].							CÎ ячеек в
Т е о р е м а XI. 6.2. Пусть на полукольце							CÎ ячеек в
/?і задана конечная мера ѵ. Тогда функция F, опреде
ляемая на прямой формулой
		0 ,		если	X =	0 ,
>(*) =		V [0 ,	* ) ,	если	А >	0 ,
		- ѵ [ х ,	0 ),	если	А <	0 ,
— функция	распределения,		а	порождаемая			ею счетно

аддитивная функция ф совпадает с ѵ. Всякая другая функция распределения, порождающая ту же меру ѵ, эквивалентна F *),

Д о к а з а т е л ь с т в о . Ясно, что для любой ячейки

Д = [а, Ь)

F (b) — F (а) — ѵА.

Проверим непрерывность слева функции F; остальные ее свойства, требуемые от функции распределения, оче

видны.	для	определенности, х0 >	0 и пусть	хп ~*
Пусть,
—* х0— 0,	строго	возрастая. Можно	считать, что	все

*) Функция распределения, порождающая меру ѵ, называется также производящей функцией для ѵ.

хп > 0. Рассмотрим ячейки Дп = [*„, а „ + 1 )			и А = [хь лг0) .
		оо
Ясно, что Д„ дизъюнктны и что	Д =	(J Д„,	а	потому
		П=1
F (х0) - F (Xl) = ѵД = 2 ѵД„ =	2	[F (хп+!) -		F (*„)],
п<=\	п~ 1

откуда F(x0) = lim F (хп).

Если G — функция распределения, также порождаю

щая меру V, то
G (а) — G (0.)	= V [0,	x) = F (х)	для	любого	а >	0,
G (A) — G(0) =	— ѵ[х,	0) — F ( а )	д л я	любого	а < 0,
а потому G(A) — F{x)-\- G(0) при			всех х. Теорема			пол
ностью доказана.

Функция распределения F может иметь разрывы справа. Выясним их смысл. Для произвольного х0

рассмотрим		убывающую	последовательность	ячеек
Дп = [-*о.	*0 +	7 ). ТогДа
F(а0 +	0) — F (х0) = lim F (а0 + -j) — F (х0) = lim <рД„,
			функцией F. Но	оо
где ф— мера,		порождаемая	функцией F. Но	(")Д„ =
				Я— 1

= (а0), следовательно, 1ітфД„ равен мере одноточеч ного множества (х0), которую, это множество получает при распространении меры ф с полукольца ячеек на ка кую-нибудь о-алгебру. Таким образом, точки разрыва функции F суть те точки, которые получают строго по ложительную меру.

Теперь читатель легко может проверить, что при распространении меры ф (меру, полученную в резуль тате распространения, обозначаем той же буквой ф) имеем для любых конечных а < b

Ф [а, Ь] = F (b + 0) — F (а),

ф(a, b) = F ( b ) - F ( a + 0 ),

Ф (а b] = F(b + 0 ) - F ( a + 0).

Кроме того, ф ( — оо,	оо) = lim F(A) — lim F (а).
	A -» + o o

Покажем, как интеграл по мере (в абстрактном про странстве) преобразуется к интегралу Стилтьеса. Мы рассмотрим только случай, когда подынтегральная функция ограничена, поскольку переход к неограничен ным функциям потребовал бы рассмотрения вместо ин теграла Стилтьеса по отрезку интеграла такого же типа по всей прямой.


Итак, пусть	X — абстрактное пространство		с мерой
P, заданной на	некоторой а-алгебре, f — ограниченная
измеримая функция		на множестве Е а X с ц£ < + оо и
пусть A < / ( x ) < ß		для всех х<=Е. На множестве ве
щественных чисел зададим функцию F с неотрицатель
ными значениями, полагая для любого t
	F(t) = lxE[f(x)<t}.		(30)
Проверим, что	F — функция распределения на		прямой.

Монотонность F очевидна, а непрерывность слева полу чается так: если tn —*t0 — 0 возрастая, то

п=\

и по теореме IV. 1.2 F (tn) -» F (t0). Кроме того, F(t) = О

при t ^ A, F(t) = \iE при t ^ B ,

Докажем равенство

J f du — Jв		tdF(t),	(31)
E	A
где слева стоит интеграл	Лебега, а		справа — интеграл-

Стилтьеса, существование которого гарантировано, по

скольку интегрируемая функция g(t) =		t	непрерывна.
С этой целью возьмем произвольное разбиение т
отрезка [А, ß] с помощью точек A = t0 <			tx < .... <. tP=.
= В и положим
é?i = Е [*/_! < / (х) < ti]	( і = 1 ,	2,	р).

Тогда \аеі = F (ti) — F {ti_x) и суммы Стилтьеса — Дарбу для функции g ( t ) ~ t имеют вид

S (т) =	2 ti [F (ti) — F (*,_,)] =	2	t i w ,
	i= 1	ï=	1
S (T > — 2	t i - x[F(ti)~ i 7 (^ i-i)] =	2 ^ - iP e , - .
	1	f=l

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3630 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ