книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

Предложение 1° почти очевидно. Действительно, пусть взаимно однозначные соответствия между элемен­ тами множеств А я В, с одной стороны, и В и С — с дру­

§4. Счетные множества

Вэтом параграфе мы рассмотрим бесконечные мно­ жества, которые в некоторых отношениях оказываются наиболее простыми по сравнению с другими бесконеч­ ными множествами.

О п р е д е л е н и е . Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству всех натуральных чисел.

Если N — множество всех натуральных чисеЖ, а мно­ жество А ~ N, то существует взаимно однозначное со­ ответствие между элементами a œ А и числами п е N. Тем самым можно считать, что каждому а <= А сопостав­

элемент, которому соответствует число п. Таким обра­ зом, элементы множества А могут быть расположены в виде бесконечной последовательности. Обратно, если множество А таково, что его элементы образуют беско­ нечную последовательность: аи а%, . . . , ап, . . . , го са­

охарактеризованы как такие бесконечные множества, элементы которых могут быть перенумерованы с по­ мощью всех натуральных чисел.

Заметим, что элементы любого конечного множества тоже могут быть перенумерованы, но при этом будут использованы не все натуральные числа.

Приведем некоторые примеры счетных множеств.

1. Множество всех четных чисел. Четные числа мож­ но перенумеровать, например, в порядке возрастания:

в порядке убывания, но можно сделать это, например, так:

Установим некоторые свойства счетных множеств. Т е о р е м а I. 4.1. Из всякого бесконечного множества

можно выделить счетное подмножество.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А — бесконечное мно­ жество. Возьмем любой его элемент и назовем его аі. Кроме аі, в А имеется еще бесконечное множество эле­ ментов. Выделим любой из них и назовем его а2. Затем возьмем какой-нибудь элемент из А, отличный от а4 и а2, и назовем его а2. Продолжая этот процесс до беско­ нечности, мы выделим из А счетное подмножество эле­

множество. Располагая в порядке возрастания номеров все элементы подмножества В,

• • ■> • • • (^1 ^ f^2 ^ ^ ^ k • • • )>

мы сможем перенумеровать их заново всеми натураль­ ными числами, взятыми по порядку (в роли нового

номера будет выступать индекс k). Следовательно, В счетно.

Т е о р е м а I. 4.3. Объединение конечного числа счет­

ных множеств — тоже счетное множество.

р

і=і А і счетны. Выпишем элементы множеств Л,- в виде сле­ дующей таблицы *) :

Теперь перенумеруем заново все элементы таблицы (6), располагая их, например, в таком порядке:

Иными словами, мы сначала занумеруем все элементы первого столбца, за ними — все элементы второго столб­ ца, и т. д. Если множества Аі содержат некоторые об­ щие элементы, то один и тот же элемент может повто­ риться в последовательности (7) несколько раз. Однако мы нумеруем его, естественно, только один раз, напри­ мер, тогда, когда этот элемент впервые встретится в по­ следовательности (7); при последующих встречах с этим элементом мы просто пропускаем его. Таким образом, все элементы множества А могут быть перенумерованы,

І=1 все множества Л, счетны. Выпишем элементы множеств

С л е д с т в и е . Множество всех рациональных чисел, содержащихся в любом заданном интервале на числовой оси, счетно.

Заметим, что рациональные числа, находящиеся в каком-нибудь промежутке, конечно, нельзя перенумеро­ вать в порядке возрастания. Это следует хотя бы из того, что за любым рациональным числом нет ближай­ шего большего. Способ нумерации может быть найден

жества с конечным или счетным множеством есть мно­ жество, эквивалентное исходному).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Не уменьшая общности, мож­ но считать, что В и С дизъюнктны. Выделим из В ка­ кое-нибудь счетное подмножество D; тогда множества В и А можно представить в виде

В = ( В \ D)[)D, A = (B\D)U(D[]C) .

Тем самым, А и В представлены каждое в виде объеди­ нения двух множеств, из которых первые совпадают, а вторые эквивалентны, так как и D и D U С счетны. По

из которых независимо от остальных может принимать любое значение из некоторой счетной совокупности. Тогда множество А счетно.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Запишем элементы множества А в виде ар р2, .... Pk, где рі, рг, . .., ри — параметры. Не

чем счетным, что противоречит условию.

уменьшая общности, можно считать, что значения пара­

что п(а) может быть любым натуральным числом, не

полиномов фиксированной степени п с рациональными коэффициентами

счетность множества всех алгебраических полиномов с рациональными коэффициентами, зависящих от любого

полинома с целыми коэффициентами. Например, число

жет иметь только конечное число различных веществен­ ных корней, то из счетности множества 3* легко следует, что множество всех алгебраических чисел счетно.

§ 5. Множества мощности континуума

Сейчас мы не только докажем, что бесконечные не­ счетные множества существуют, но и укажем простой пример такого множества. В дальнейшем термин «не­ счетное» будет применяться только к бесконечным не­ счетным множествам (конечные множества мы не будем

жество мощности с. В частности, интервал (—л/2, я/2) имеет мощность с. Множество всех вещественных чи­ сел эквивалентно этому интервалу (см. пример 3 из 3). Отсюда следует, что множество всех вещественных чисел тоже имеет мощность с. Аналогично доказывается, что всякий промежуток, бесконечный лишь в одном на­

правлении, имеет мощность с.

Из теорем I. 4.6 и I. 4.8 сразу вытекает, что множе­ ство всех иррациональных чисел имеет мощность с. По аналогичным соображениям множество всех неалгебраи­ ческих вещественных чисел (такие числа называются трансцендентными) тоже имеет мощность с. Тем самым весьма просто доказано существование трансцендентных чисел. Однако такое рассуждение не дает возможности указать ни одного конкретного трансцендентного числа. Некоторые такие числа все же извѣстны, например, п, е\

где совокупность множеств Ап конечна или счетна, а каждое из множеств Ап имеет мощность с (индекс п принимает натуральные значения). Мы ограничимся рассмотрением случая, когда множества Ап дизъюнкт­ ны. Несколько слов об общем случае будет сказано в

где объединение распространяется на те же значения п,

Знак строгого неравенства гарантирован, так как среди цифр ап+1, ап+2, ... обязательно встречаются равные 0. Если же ап = 1 (при том же п), а предыдущие цифры щ, а2, . . , , ап-і имеют прежние значения, то

Следовательно, число x не может быть в этих двух слу­ чаях одним и тем же.

Формулу (9) и называют представлением числа х в виде бесконечной двоичной дроби. Однако обычно вместо записи по формуле (9) пользуются условной за­

При этом мы исключили из рассмотрения дроби вида

(10)«с единицей в периоде»*). Обратно, всякая бес­

Следовательно, множество всех таких дробей имеет мощность с.

С другой стороны, каждая бесконечная двоичная дробь (10) характеризуется тем, на каких местах после

ницы в периоде и всевозможными возрастающими бес­ конечными последовательностями натуральных чисел. Следовательно, множество Я всех таких последователь­ ностей имеет мощность с.

*) На примере числа 5/16 легко понять, что всякое число, за­ писанное двоичной дробью с единицей в периоде, может быть пред­ ставлено другой двоичной дробью, уже без единицы в периоде.