книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

Интеграл Радона иначе называют интегралом Лебе­ га — Стилтьеса *).

Из определения интеграла Радона легко следует, что почти все свойства интеграла Лебега, доказанные в VIII. 3, переносятся буквально или с небольшими из­ менениями и на интеграл Радона. В частности, сохра­ няется счетная аддитивность интеграла, остается в силе теорема VIII. 3.8. Непосредственно из формулы (17) вы­ текает следующая оценка интеграла Радона:

ЕЕ

Отсюда видно, что интеграл Радона от суммируемой функции обладает свойством абсолютной непрерывности (см. теорему V III.3.3) по отношению к мере ф|. Тео­ ремы, связанные с эквивалентными функциями и с со­ отношениями, выполняющимися почти всюду, остаются в силе, если термин «почти всюду» понимать по отно­

Отметим еще одно свойство интеграла Радона, до­ полняющее лемму XI. 2.1. Пусть ф и ф — две счетно-ад­ дитивные конечные функции, заданные на ©. Если функ­ ция f суммируема на множестве Е и по ф и по ф, то она суммируема по ф ± ф,.а

Простое доказательство этого утверждения, основанное на лемме XI. 2.1, предоставляем читателю.

Для счетно-аддитивной функции ф, построенной в примере 2 из XI. 1 по точечным зарядам, интеграл Ра­ дона сводится к сумме:

*/Жр=J 2

ЕЧ хі ^ е )

(ср. также пример 1 из VII. 1).

*) Т. И. С т и л т ь е с (1856— 1894)— голландский математик, которому принадлежит понятие интеграла, непосредственно обоб­ щающее интеграл Римана (см. XI. 5).

В качестве другого примера рассмотрим интеграл Радона по функции множества, которая сама представ­ ляется в виде интеграла Лебега от некоторой функции точки. Пусть р — o-конечная мера в пространстве X, заданная по о-алгебре ©, / и g — измеримые, почти всюду конечные функции, заданные на множестве

причем J g dp имеет смысл, а счетно-аддитивная а-ко-

Е

нечная функция ср задана для любого измеримого мно­ жества Л с: £ по формуле

суммируема на множестве Е по функции ср, необходимо и достаточно, чтобы произведение fg было суммируемо на Е по мере р, и при этом

(1 9 )

ЕЕ

Таким образом, интеграл Радона по функции ср сво­

ние т множества Е на дизъюнктные измеримые подмно­ жества ві (і = 1, 2, ..., р) и составим суммы Лебега — Дарбу. Имеем очевидное соотношение:

РР

«Ф (т; Î) — 2 гпісрві = J ] mt J g dp <

= 2 M ic p e i = 5 Ф (т ; /) .

Но так как J f dq> существует и заключен между

Е

S,P(T;/) и S(P(T;/), то, следовательно, эти суммы могут быть сколь угодно близкими друг к другу, а отсюда сразу вытекает равенство (19).

Переход к неограниченной функции f производится очевидным образом с помощью срезок и теоремы Леви.

что и приводит к равенству (19), если только предпо­ ложить, что один из интегралов в этом равенстве имеет конечное значение*).

З а м е ч а н и е . Тем же рассуждением доказывается, что для того чтобы в условиях теоремы XI. 2.1 интеграл

J f d<p имел смысл, необходимо и достаточно, чтобы

Е

интеграл | fg dg имел смысл, и при этом также спра-

Е

ведливо равенство (19).

*) В этом случае и все интегралы, записанные выше, также имеют конечные значения.

§ 3. Интегрирование по конечно-аддитивной функции множества

Дальнейшее обобщение интеграла заключается в пе­ реходе к интегралу по конечно-аддитивной функции множества. Впервые такой интеграл был изучен Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц е м и Л. В. К а н т о р о в и ч е м , а также американским математиком Т. Г и л ь д е - б р а н д т о м . Мы ограничимся рассмотрением случая, когда и подынтегральная и интегрирующая функции ог­ раничены.

Итак, пусть X — абстрактное множество, в котором выделена алгебра © некоторых его подмножеств и на © определена ограниченная аддитивная функция мно­ жества ср. Допустим сначала, что функция ф неотрица­ тельна.

Пусть на множестве Д е © задана ограниченная ве­ щественная функция точки f. Для любого разбиения т множества Е на конечное число дизъюнктных множеств

Свойства сумм Лебега — Дарбу, установленные в VII. I, сохраняются и при конечной аддитивности функции ф, поскольку при их доказательстве счетная аддитив­

ность меры не была использована. Интеграл J / с?ф

Е

определим по образцу интеграла Лебега (VII. 1), как

В общем случае, когда ф принимает значения любого

знака, j f d(f> определяется по формуле (17) при усло-

Е

вии, что оба интеграла в правой части этой формулы существуют.

ограниченных функций. Первый результат в этом на­ правлении — нахождение общей формы линейного функ­ ционала в пространстве ограниченных измеримых функ­ ций— был получен Г. М. Фихтенгольцем и Л. В. Канто­ ровичем. Им по существу и принадлежат приводимые ниже теоремы.

Пусть, как и в XI. 3, X — абстрактное множество,

а0 на этот раз — а-алгебра некоторых его подмно­

жеств, названных измеримыми. Обозначим через В (точнее, В(Х, ©)) совокупность всех ограниченных измеримых функций /, заданных на X. Так как © — а-алгебра, то из результатов гл. VI (см. VI. 2) выте­ кает, что В — линейное множество. Введем в нем норму, полагая

II/ II== sup I f (х) |.

х е Х

Ясно, что ||/|| удовлетворяет всем аксиомам нормы и, таким образом, В становится нормированным простран­ ством. Сходимость по норме в В совпадает с равно­ мерной сходимостью. Так как операция предельного пе­

До к а з а т е л ь с т в о . В XI. 3 указано, что интеграл

(21)существует для любой / Œ В, какова бы ни была функция ф, удовлетворяющая указанным условиям. По свойствам этого интеграла функционал F, определяе­

мый формулой (21), дистрибутивен. Из неравенства (2 0 ) вытекает, что для любой ( е й

МЧ/ЖІІ/ІМфК*).

Следовательно, функционал F линеен и

Обратно, пусть задан произвольный линейный функ­ ционал F в пространстве В. Для любого / 1 е ® поло­ жим

Ф (A) — F(fA),

где (л — характеристическая функция множества А. Из аддитивности функционала F сразу вытекает аддитив­ ность функции ср. Кроме того,

ІФ (А) |< II F||||fAIK ИFit

можно сделать сколь угодно малой, что и доказывает

требовалось, чтобы на о-алгебре © была определена ка­ кая-нибудь мера.

З а м е ч а н и е . Легко проверить, что ограниченная аддитивная функция ф определяется по заданному ли­ нейному функционалу единственным образом. Действи­ тельно, если линейный функционал F представлен по формуле (2 1 ), то для характеристической функции /А любого А е © непременно будет /7(/А) = ф(Л), т. е. функция ф совпадает с той, которая была построена по ходу доказательства теоремы.

Рассмотрим еще несколько иное пространство огра­ ниченных измеримых функций на X. Пусть теперь на о-алгебре © задана некоторая мера ц. Будем отожде­ ствлять эквивалентные между собой функции, а норму определим по формуле

II/|| = vrai supI / {х) I

Фтем же способом, что и выше:

Ф(A) = F(fA),

мы сразу видим, что ф — ограниченная аддитивная функ­ ция и притом ф(Л) = 0 для всех А с рА — 0. Повторяя предыдущее рассуждение, мы придем к выводу, что

на два непересекающихся измеримых множества Ех и Е2 так, что f(x) = 0 на Ех, а рЕ2= 0. Тогда

J /dq> = 0.

С другой стороны,

I fd<f < К | ф | ( Д 2) - 0 ,

Е2

где К — какая-нибудь верхняя граница для |/(х )|. Сле­ довательно,

10 Б. 3. Вулих