Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3628 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Так как в наших условиях функция <р_ конечна, то

равенство (6 )		равносильно тому,					что ср+(Л) =	ф(Л) +
+ Ф_(Л)	для	любого А <= <5. Если ф(Л)— +оо, то и
Ф+(Л) — -f- оо,			и предыдущее			равенство тривиально.
Если же ф(Л) <			+ 0 0 , то имеем
ф И ) + Ф_(Л) =			ф(Л) +	sup		{-ф(Д)} =
			Вег A, B e ®
		=	sup	{ф(Л) — ф(Д)} =
			В<=А, В е @
=	sup	{ ф (Л \£ )} =			sup		{ф(Д')}*) =	Ф+ (А).
ВаА, В^<3				B'œ A, В ' е ®
Полная вариация функции ф может быть определе
на и по формуле							^
			I Ф I (Л) =	sup І		і ф	( Л , ) і,	(7)
				і=і

где точная верхняя граница берется по всевозможным разбиениям множества А на конечное число дизъюнкт ных множеств А і е

Действительно, если ф ( Л ) = ± о о , то | ф | ( Л ) = + ° ° . а в каждом разбиении по крайней мере одно из значе ний ф(Лі) = ± оо; тогда равенство (7) тривиально.

Будем дальше считать, что ф(Л) конечно. В этом случае для любого разбиения множества Л на конечное

число дизъюнктных множеств А і объединим				в одну
группу все те множества		А і, на	которых ф(Л,) > 0, а
во вторую — все те, на которых			ф(Л*) < 0 . Обозначим
через ВI	объединение всех множеств из первой группы,
а через	Д2— из второй.	Тогда,	с помощью	формулы
(1 ), имеем

2 I Ф (At) I = ф (Д,) — ф(Да) < I Ф I (А).

і=і

Следовательно, если через М обозначить правую часть формулы (7), то и

М< | ф| ( Л) .

(8 )

*) Когда В пробегает все	подмножества из А,	входящие в ©,
В' = А \ В тоже пробегает	все подмножества	из А, входя
щие в ©.

С	другой			стороны,		по	произвольному			числу
/ < \| ф ) ( Л )		подберем Ви			ß 2 с: Л		(Ви ß 2 е		®) так,		что
				qp(ß,) — <p(ß2) > /•							(9)
Положим		ß =		ß, П ß 2. Л, =		ßj \	ß,	Л2 = ß 2 \	В. Все эти
множества		входят в © и ЛгПЛ2 =						0 . При этом
	ф(Ві) =		ф(В) + ф(Л,),			ф(ß2) === ф (ß) Н			ф(Л2). (10)
Положим		еще		А3 — А \	(Л, (J Л2).			Теперь из (9)		и (10)
следует, что
/ <	ф(Л,) -		ф(Л2) < I ф (Л,) I + 1Ф (Л2) I + I Ф (Л3) I < М .
Благодаря произвольности I отсюда вытекает неравенст
во, противоположное (8 ),					а вместе с тем и равенство (7).
Формула		(7) позволяет указать другой подход к							введению		по
ложительной,		отрицательной			и	полной		вариации	о г р а н и ч е н
но й	аддитивной			функции множества.			Сначала по		формуле		(7)

можно определить полную вариацию и с помощью некоторых не сложных рассуждений доказать ее аддитивность. После этого по ложительная и отрицательная вариации могут быть определены формулами

Ф+ = 4 ‘(ІФІ + Ф)>	Ф_ = -^- ( I Ф1—Ф)-
Т е о р е м а XI. 1.3. Если	функция ф счетно-аддитив

на на алгебре ©, то все три ее вариации ф+, ф_ и \|ф)
тоже счетно-аддитивны.	со

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Л = У Л(,		причем Л
	і = і	конечной
и все Л; входят в © и Л/ дизъюнктны. Из

аддитивности и монотонности ф+ вытекает, что для любого k

2	ф+ (лг) = ф+ ( U л ‘-) < ф+(■д)>
і = і	\ ( = і /
а тогда и	оо
	оо
	2 ф + (л г) < Ф+(Л).	(11)
Возьмем произвольное В cz А ( ß e S ) и		положим
	оо

Ві = В[)Аі (і— 1 , 2 , . . . ) . Тогда B — { j Bi , причем

Bi е © и они дизъюнктны. Отсюда следует, что

оо	со
ф (в) = 2	ф (Bö < 2 ф+ (Л;).
і=І	і—\

Переходя в левой части к точной верхней границе, мы
получим, что
ОО
ф+ ( Л ) < 2 ф+ (4,).	(12)

Из (11) и (12) и вытекает счетная аддитивность функ

ции ф+. Одновременно	доказана	и счетная		аддитив
ность функции ф_, так	как ф_ — положительная вариа
ция для —ф. Тогда и	\|ф\| = ф+ +	ф_	тоже	счетно-ад
дитивна.		©	предполагается
В двух последующих теоремах

сг-алгеброй.

Т е о р е м а XI. 1.4. Если функция ф с конечными зна чениями счетно-аддитивна на о-алгебре ©, то она огра ничена.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что

sup |ф(Л)| = +оо, Ac:X, Не®

и положим А\ = Х. Тогда найдется такое B c z A {, для которого |ф(В) I > )ф(Лі) I -)- 1. Отсюда уже будет сле довать, что

І Ф ( Л , \ Б ) | > | Ф ( Б ) | - І Ф ( Л 1) | > 1.

Обозначим через Л2 то из множеств В или А \\В , на совокупности подмножеств которого (входящих в ©) функция ф не ограничена. Таким образом,

sup	\|ф(Л) \| = +оо,

Аа Аѵ А = @

аI ф(Л4 — ф (Л2) I > 1.

Продолжая этот процесс, мы построим бесконечную убывающую последовательность множеств Л „ е © так, что

]ф (Л „)-ф (Л „+1)1> 1

при каждом	п — 1,	2, ... Так как <5 — ст-алгебра, то
оо
Л — f") Ап е	<В (см.	1.7) и, по теореме IV. 1.2, ф(Л„)—>
П=*1

->Ф(Л). Но это противоречит предыдущему неравенству. Тем самым теорема доказана.

С л е д с т в и е . Если счетно-аддитивная функция ф, заданная на о-алгебре ©, о-конечна*), то ее полная ва риация |ф| (а вместе с ней ф+ и ф_) тоже о-конечна.

Действительно, если ф a-конечна, то по доказанной теореме пространство X представимо в виде счетного объединения таких множеств Хп, что при каждом п функция ф ограничена на той части о-алгебры ©, кото рая содержится в Хп.

Т е о р е м а XI. 1.5. Если функция	ф	счетно-аддитив
на на о-алгебре © и не принимает	значения -j-оо (со
ответственно —о о ), то она ограничена		сверху (соответ
ственно снизу).	от	противного, до
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассуждая

пустим, что счетно-аддитивная функция ф не принимает

значения		+ о о , но не ограничена сверху. Тогда				суще
ствует такое множество Л і е © ,					что ф(Л!)> 1 . Так как
при	этом	ф ( Л і ) # + о о ,		то ф(Лі)	конечно, следователь
но,	ф(Л)	конечно и	при	любом	Л с: Л! ( Л е © ) ,	и по
тому по		предыдущей	теореме ф ограничена на той ча

сти а-алгебры ©, которая содержится в Л!. Но тогда ф не может быть ограничена сверху на той части ст-ал-

гебры ©,	которая	содержится	в Л \ Л Ь Следовательно,
существует такое		множество Л2 с : Л \ Л і		(Л2 е © ) , что
Ф(Л2) > 1.	Затем	аналогично	найдем Л3 сг Л \ (АхU Л2)
(Л3 е @) ,	на котором ф(Л3) >		1, и этот	процесс может

быть продолжен до бесконечности. В результате мы по

строим		последовательность дизъюнктных					множеств
Ai е © (і = 1, 2, ...),				на	каждом из которых ф (Л ,)> 1 .
			оо
Положим		В =	(J А{.	Так как © — а-алгебра, то Д е© .
			і=і
*)	ст-конечность функции				<р, заданной на	алгебре	®, означает
					ОО
то же,	что	и для	меры: X =		Хп, где Хп е	3 и ф (Хп) конечно
					п=1

при каждом п.

При этом ф(Б) = 2 ф(Л;) — + 00. что противоречит г=і

условию. Тём самым предположение о неограниченно

сти ф сверху опровергнуто.					Пусть р — a-конечная				мера
Приведем примеры.				1)	Пусть р — a-конечная				мера
в X, заданная на о-алгебре ©, и на измеримом множе
стве	Е cz X задана		измеримая			почти	всюду конечная
функция g, интеграл от которой						J g du	по мере ц имеет
смысл.		Положим для		любого		Е		множества
смысл.		Положим для		любого		измеримого		множества
Л с	£
			ф ( Л ) = J gd\i.
					А
Тогда		ер — счетно-аддитивная функция					множества,		По-
кажем, что
		Ч>+(А)= f	g +dp,		Ф_ ( A ) = f g _ d n ,
		А				А			(13)
		ІФ ІМ ) =			JI g №				(13)
		ІФ ІМ ) =			JI g №
					А
(см.	V III.2, в частности,				формулу		(4)).	Достаточно

установить первую из трех формул, остальные будут следовать из нее.

Действительно, по определению функции g+ суще

ствует такое измеримое	множество^ В cz А, что
\	g(x)	на	В,
g+ № ~ (	0	на	А \ В.
Тогда	g dp = ф (£)<ф+ (Л).
J g+ dp = j	g dp = ф (£)<ф+ (Л).

AВ

Сдругой стороны, для любого измеримого В cz А имеем

Ф ( й ) = j g d \i= J g+dii j g_d\i < j g + d p < J g+d\i,

B B B B A

а потому Ф+ (Л )^	J g +d\i.		Из	двух		противоположных
	А			равенство.
неравенств вытекает требуемое
Легко видеть, что функция ср в этом примере сг-ко-
нечна.	теперь		пример,			представляющий
2) Рассмотрим
обобщение одного из примеров, приведенных в VII. 1.
Пусть в произвольном бесконечном множестве X выде
лено счетное подмножество			точек		{х,},		а заряды — ве-
	ф,- ф 0 — таковы,						оо
щественные числа					что		ряд 2 Фг аб-
солютно сходится. Для любого E c z X						положим
	ф( £ ) =		2
		I (х^Е)

Таким образом, ср(Е) равна сумме всех зарядов ф<, ко торые попадают в Е, но заряды могут теперь быть лю бого знака. Ясно, что ф — ограниченная счетно-аддитив ная функция множества. При этом

ф+ ( £ ) =

где

е +

і(хі еЕ)

1Ф 1(Е) —

Ф_ ( £ ) = I 2е Е ) ф ; >

2і ф і і »

і(* ,е £ )

( Фь

если

Фг >

0 ,

если

фг >

о,

“Н

о ,

если

фг <

0 ,

ФГ“ \| фг

1 если

Фг <

Пусть на отрезке

I =

[a, b] cz R\

задана

произ

вольная возрастающая в широком смысле (т. е. неубы

вающая)

функция

порожденная

со

вокупностью

всех

ячеек

Д с [а ,і)* ) .

Иными

словами,

каждое Д е ®

представимо в виде конечного объедине-

А =

ния дизъюнктных

ячеек:

(JА,-.

Если

ячейка А =

[а, ß) с: /, то положим

(SE=1

Ф(А) =

F ( ß ) - f ( a ) .

(14)

Для пустой	ячейки полагаем ф (0) = 0.	Для	произволь
ного А е ®,	используя указанное выше	его	представле
ние с помощью дизъюнктных ячеек, полагаем
	Ф( А) = 2 ф (АД		(15)
	г—і

Легко проверить, что притаком определении ф(Л) не зависит от способа представления А в виде объедине ния дизъюнктных ячеек и что функция ф аддитивна. Од нако, если F не непрерывна слева, то ф не будет счетно аддитивной *).

Действительно, пусть функция F имеет разрыв слева в некоторой точке с. Зададим возрастающую последова

тельность		чисел сп—*с — 0 (считая,	что	С\ = а) и по
ложим	Ап = [сп, сп+\). Тогда ячейки		Ап	дизъюнктны,
оо
(J Д„ =	А,	где А = [а, с),

п=1

оооо

	2 Ф (Ап) = 2 IF (ся+1) -			F (сп)} =» F (с - 0) -		F (а),
	п= 1	■п= 1
a	ф (А) =	F (с) — F (а).	Но	F (с) > F (с — 0)	и	потому
функция		ф не счетно-аддитивна.
что	Аналогичный пример можно построить, предполагая,
	F — произвольная		функция ограниченной		вариации

на отрезке [а, 6 ]**). Тогда ф, определяемая по формулам

*) Наоборот, если F непрерывна слева,							то можно доказать,
что ф счетно-аддитивна. Cp. XI. 6,				в частности,			теорему XI. 6.1.
**) Напомним, что функция F, заданная на отрезке [а, Ь], назы
вается функцией ограниченной			вариации			(на	этом	отрезке),	если
для любого разбиения		отрезка	[а,	Ь\	на	конечное		число участков
с помощью точек а =		Хо < Х\ <		...	<	xm =	b выполняется		нера
венство	т -і
	т -і	\F(xi+ l) - F ( Xi) \ ^ K ,
	2	\F(xi+ l) - F ( Xi) \ ^ K ,
	і= 0

где К — некоторая постоянная. Наименьшая из постоянных К назы-

вается полной вариацией функции F на [a, b] (Var F). О свойствах

функций ограниченной вариации от одной переменной см., напри мер, Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц , Курс дифференциального и интеграль ного исчисления, т. III. В частности, крайне важно, что всякая функ ция ограниченной вариации представима в виде разности двух воз растающих функций. Верно, и почти очевидно, и обратное.

(14) и (15), тоже будет ограниченной аддитивной функ цией на ©, но при этом она может иметь отрицательные значения. Из формулы (7) сразу следует, что функция IфI совпадает с полной вариацией функции F, т. е., точ нее, для любой ячейки А = [a, ß) er /

I cp |(А) = Var F. a

§ 2. Интеграл Радона

Обобщение интеграла, введенное Радоном, заклю чается в том, что интегрирование производится не по мере, а по произвольной счетно-аддитивной функции множества (которая может принимать и отрицательные значения). При этом, однако, интеграл Радона весьма близок по своим свойствам к интегралу Лебега.

Начнем с вспомогательной леммы.

Л е м м а XI. 2.1. Пусть X — абстрактное множество, в котором выделена о-алгебра © его (измеримых) под множеств, и на © заданы две о-конечные меры р и ѵ. Пусть функция f суммируема на множестве Е е © по каждой из этих мер. Тогда f суммируема на Е и по их

сумме а) = р + V и при	этом	J f dv.
J fd(ù =	J f d p +	J f dv.	(16)
Е	Е	E
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Пусть сначала		функция f из

мерима и ограничена на Е, а рЕ и ѵЕ конечны. Для

произвольного разбиения			т множества Е			на	дизъюнкт-
ные	измеримые	подмножества		/		р	\
ные	измеримые	подмножества		е ( І£ =(J			J суммы
Лебега — Дарбу				^		i—l
Лебега — Дарбу		связаны очевидным			соотношением:
	P	P	P
s«, (т,	/) = 2 ШіЫві =		т-ірві +	Шіѵеі <
	t»l	tel	P	і»1	Р
			P		Р
	< J / d p	+ J " / d v < ^ Мірві +			^	МіѴві =
	Е	Е	І=\		t e l
					Р

= ^МіЮСг = 5и (т; /).

і=і

Так как / интегрируема по мере со, то суммы	sa (r,[) и
S w(r,f) сколь угодно близки друг к другу, а	их общие

точные границы на основании выписанных соотношений

совпадают с суммой		интегралов j f d p - \ - J f d v .			Тем
			E	E
самым доказано равенство (16).
Пусть теперь функция / измерима, ограничена и
неотрицательна	на	Е,	но аЕ —	оо. Представим		Е
оо
в виде E — (J	Ek, где		Eh дизъюнктны и аЕк <		+	оо
k=\
при всех k *). По доказанному
J f da = J f dp + J f dv (£ = 1 , 2 , . . . ) .
Ek	Ek		Ek
Суммируя эти равенства no k, мы приходим к (16).						/,
Теперь откажемся		от	требования	ограниченности		/,

но будем считать ее измеримой и неотрицательной.

Образуем ее срезки fm. Для них,		по доказанному, ■
J fmd(ù =	J fmdi-1 +	J fmdv.
E	E	E

Переходя в этом равенстве к пределу при т —»оо (см. VIII. 4), получим формулу (16).

В общем случае представляем f в виде	/ = /+ — /_,
записываем равенство (16) для каждой из	функций /+
и /_ и производим почленное вычитание.

З а м е ч а н и е . Из проведенного доказательства вид но, что для неотрицательной измеримой функции / ра венство (16) справедливо и без предположения об ее

суммируемости. Кроме	того,	если ц и	ю — две	а-конеч-
ные меры, заданные	на ©,	и рА ^	соЛ для	любого
A czE ( 4 е ® ) , а / неотрицательна и измерима, то
J / dp		J / da.
E		E

Переходим к определению интеграла Радона. Попрежнему считаем, что X — абстрактное множество, в

*) Из а-конечности мер р и ѵ очевидно следует, что мера <а тоже а-конечна.

a-конечная функция <р. Из предыдущего параграфа		(см.
теорему XI. 1.3 и следствие из	теоремы XI. 1.4)	выте
кает, что ф+ и ф_ — оконечные	меры в X. Кроме	того,

поскольку ф может принимать бесконечные значения одного знака, она ограничена по теореме XI. 1.5 по край ней мере с одной стороны, а тогда для нее справедливо равенство (6 ).

О п р е д е л е н и е .	Пусть / — измеримая	функция,	за
данная на некотором	измеримом множестве Е а Х .		Ее
интеграл (в смысле Радона) по функции		ф на множе
стве Е определяется формулой

/ М ф = { Мф+ -	j М ф - .	(17)
Е Е	Е

в предположении, что интегралы в правой части фор мулы и их разность имеют смысл*). В противном слу

чае мы считаем, что и интеграл J /^Ф смысла не имеет.

Если j f dq> имеет конечное значение, то функция / на-

зывается суммируемой на Е (в смысле Радона) по функции ф.

В отличие от интеграла по мере, интеграл |/< іф от

неотрицательной измеримой функции f может не иметь смысла. В частности, из того, что J fdq> имеет смысл,

не вытекает, что J | / 1öfcp тоже имеет смысл. В то же

время из предыдущей леммы (см. также замечание к ней) вытекает, что f суммируема по ф тогда и только тогда, когда она (а вместе с ней и |/|) суммируема по полной вариации |ф|.

*) Последнее означает, что или по крайней мере один из интегралов в правой части конечен, или один из них равен +оо, а другой —оо.

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3628 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ