
книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие
.pdfВсякое банахово пространство, в котором любым двум его элементам f и g сопоставлено вещественное число, называемое их скалярным произведением, обо значаемое (f, g), причем выполнены свойства а)—г), а норма любого элемента выражается через скалярное произведение по формуле (7), называется вещественным гильбертовым пространством*). Таким образом, L2—
вещественное гильбертово пространство. |
|
|
Покажем, что |
скалярное произведение — непрерыв |
|
ная функция своих аргументов, т. е. если fk~*f, |
a gh~*g |
|
по норме в L2, то |
(Д, gh) -» (f, g). |
скаляр |
Действительно, |
благодаря дистрибутивности |
ного произведения имеем тождество
(/ft. Ы - (f, g) ==» (fk - f, gk) + (f, gk ~ g).
Так как нормы элементов gh в совокупности ограничены (поскольку gh образуют сходящуюся последовательность,
см. III.6 ), |
Hgftll |
при всех |
k, то по неравенству (6 ) |
\ ( f k ~f , g k ) \ < \ \ f k - n \ \ g k \ \ < C \ \ h - f \ \ - * 0 , |
|||
|
\(f, |
— 2 )KII/llllffk —gll-*0, |
|
откуда (fk) |
gk) -* (f, g). |
произведения позволяет |
|
Непрерывность |
скалярного |
установить, что оно обладает свойством дистрибутивно сти и по отношению к сложению бесконечного множе
ства слагаемых |
(о бесконечных |
рядах см. III. 6 ). Имен- |
||||
|
оо |
/<> a g — произвольный элемент из L2, то |
||||
но, если f = 2 |
||||||
|
1=1 |
|
|
|
|
|
/ |
ft |
\ |
|
f t |
ОО |
|
(f, g) = lim |
2 |
fi, g] = |
lim |
2 |
(fi,g) = 2 (fi, g). |
(8 ) |
k->00 \i—l |
J |
k~>00 |
iss1 |
i=1 |
|
О п р е д е л е н и е . |
Две функции / |
и g |
изL | назы |
|
ваются |
ортогональными на множестве |
Е |
(обозначение: |
|
f i g ) , |
если (f, g) = |
0 . |
|
|
Из свойств скалярного произведения непосредственно вытекает:
*) По имени знаменитого немецкого математика Д. Г и л ь б е р т а (1862— 1943).
1) нулевой элемент Ѳ ортогонален любой функции
f ^ L |
2\ |
когда f = Ѳ; |
|
|
2) |
/ J- f только в том случае, |
|
||
3) |
если f — 'EiCifi (сумма содержит |
конечное |
или |
|
|
і |
а g _L fi |
при всех |
і, то |
счетное множество слагаемых), |
||||
g А- f |
(в случае счетного множества слагаемых вытекает |
|||
из формулы (8 ) ) ; |
|
|
|
|
4) |
если множество А всюду плотно в L2, a f ортого |
нальна каждой функции из А, то f — Ѳ. Действительно,
по |
определению |
плотного |
множества, |
/ = lim Д, |
где |
||
Д е |
Л. |
По непрерывности |
скалярного |
произведения |
|||
(/, f ) = |
lim (f, Д), откуда и следует, что / = Ѳ. |
если |
|||||
В |
L2 верна |
обобщенная |
теорема Пифагора: |
||||
/= ~ 2 |
/і |
(сумма может содержать конечное или счетное |
І
множество слагаемых) и все элементы fi попарно орто гональны, то
И/и2= 2і И il2.
Действительно, благодаря дистрибутивности скаляр ного произведения
ІІ/ІІ2= ( /, /) = (2 /<, 2 //) = 2 2 (/ь fi).
Но (fi, fl) = 0 при і ф /, и потому
II/II2 = 2 (/г, /г) = 2 II f i II2.
ІІ
со
Т е о р е м а IX. 2.1. Для того чтобы ряд 2 /г. (=і
составленный из попарно ортогональных элементов,
сходился (по норме), |
необходимо и |
достаточно, чтобы |
|
|
оо |
|
|
сходился числовой ряд |
2 |
II fi II2« |
|
|
«=1 |
|
оо |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если ряд |
2 /і сходится, то |
|
|
|
|
і=і |
оо
и ряд 2 IIfi I I 2сходится по теореме Пифагора,
Обратно, пусть сходится числовой ряд 2 II fi II2- Поло-
1=1
жим sk = |
2 h- |
При I > k |
|
|
||
|
І=Г |
|
|
|
|
|
|
|
S I |
s k |
— |
f i t |
|
|
|
|
|
|
*f" 1 |
|
и по теореме Пифагора |
|
|
I |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Il s ; - s * |
II2 |
= |
S II |
fi II2- |
|
|
|
|
|
i = k + i |
|
Отсюда |
видно, |
что ||,Si — s* || —> 0 |
при k, /-> oo, T . e. |
последовательность {sft} — фундаментальная. Вследствие
oo
полноты пространства L2существует lim sk, т. e. ряд 2 / i i=l
сходится.
§3. Ортогональные ряды
Вэтом параграфе мы рассмотрим вопрос о разложе нии функций из L2 в ортогональные ряды, т. е. ряды, со ставленные из функций, попарно ортогональных между собой. При этом, говоря о сходимости рядов, мы все время имеем в виду сходимость в среднем 2 -го порядка,
т.е. сходимость по норме в пространстве L2.
|
О п р е д е л е н и е . |
Система |
функций |
фЬ фг, |
||
..., |
фі, ... из |
LE |
(конечная |
или |
счетная) |
называется |
ортонормированной |
на множестве |
Е, если |
фі _L ф, при |
|||
і ф |
а ||фі|| = |
1 при всех і. |
|
|
|
|
|
Мы рассматриваем дальше только бесконечные орто |
нормированные системы и не оговариваем это каждый раз. Множество. Е считаем в дальнейшем фиксирован ным.
Если функции ф; попарно ортогональны на множе стве Е и отличны от Ѳ (система таких функций назы вается просто ортогональной), то функции Фі = фі/ІІфіІІ образуют ортонормированную систему.
Важным примером ортонормированной системы на промежутке [—я, я] из Ri может служить известная
тригонометрическая система функций
i |
l |
1 |
1 |
cos kx, |
|
-~р ---- ■■■>— COS X, |
■sin X, |
|
|
||
Ÿ 2 л |
У п |
у л |
У л |
|
|
|
|
|
|
1 sin k x , . . . |
(9) |
|
|
|
|
Y л |
|
На промежутке [—1, 1] ортонормированную систему образуют полиномы
Рь(х) |
1 |
|
/ А р - |
- ѣ 1(х* - |
*>■ |
( 10) |
|
*6 |
! |
||||||
2 |
|
В квадрате [—л, я; —я, я] с R2 ортонормированную систему можно составить, например из функций
cos k h sin l l 2 |
(k , / = 1, 2, ...)• |
Ортогональные ряды обладают следующим важным свойством: если {ф<} -*• ортонормированная система функций из L2, а функция / представлена в виде
00
/ = |
2 |
«іфі |
(как |
обычно, |
сумма |
ряда |
понимается |
||||||||||
в |
і=1 |
|
сходимости |
по |
норме), |
то |
коэффициенты |
||||||||||
смысле |
|||||||||||||||||
си |
определяются |
единственным |
|
способом, |
|
а |
именно |
||||||||||
(Х г |
= (/, фі) |
(і == 1, |
2, |
...). |
|
|
|
|
|
|
|
|
скаляр |
||||
|
Действительно, |
благодаря дистрибутивности |
|||||||||||||||
ного произведения |
имеем для любого / = |
1, 2 , ... |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/» Ф/) = |
2 аг(Фг. Ф/)= |
|
а/ІІ Ф/ II2 — а/- |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
І=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е . |
Пусть |
задана ортонормированная |
||||||||||||||
система функций {ф*} из /А |
Для |
произвольной |
функции |
||||||||||||||
f из L2 скалярные |
произведения |
|
(f, |
фг) |
(і |
= |
1, |
2 , ...) |
|||||||||
называются |
ее коэффициентами |
|
Фурье |
(относительно |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
заданной |
ортонормированной системы), |
а |
ряд |
2 |
«»Фг, |
||||||||||||
где осі = |
(/,Фі) (і == 1, 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г= 1 |
||||||
...), — рядом Фурье функции/. |
|||||||||||||||||
|
*) |
См. |
Г. |
М. Ф и х т е н г о л ь ц , |
Курс |
дифференциального и |
|||||||||||
интегрального |
исчисления, |
т. II, |
1959, |
п° |
320. |
Указанные |
полиномы |
||||||||||
лишь множителем А |
2 6 + 1 |
отличаются |
от |
широко |
применяемых |
||||||||||||
|
2 |
ß математике полиномов Лежандра Ра.
Т е о р е м а |
IX.3.1. Ряд |
Фурье любой функции f из |
|
|||||||||||
L2 сходится по норме. Для того чтобы его сумма совпала |
|
|||||||||||||
(в пространстве L2) с f, необходимо и достаточно, чтобы |
|
|||||||||||||
выполнялось равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ІІ/ІІ2 = |
2 |
|
|
а2 |
|
|
|
(1 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
<=і |
|
|
|
|
|
|
||
(ai — коэффициенты Фурье функции f). |
|
|
|
|
||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Для |
|
произвольного |
натураль |
|
|||||||||
ного k положим |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ë = |
î — |
2 |
|
аіфг- |
|
|
|
|
||
Тогда |
для |
любого / = 1 , |
2, |
і=і |
|
k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Фу) = |
|
Фу) — |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( g , |
( Î , |
2 |
ceі (ф i , |
ф у ) = |
cty — c ty || <py |j2 = |
0 , |
|
|||||||
T . e. g |
ортогональна |
всем фу |
( / = |
k1, 2, . . . . |
k). Теперь из |
|
||||||||
представления f в виде f = |
g + |
2 |
агФ/ с помощью тео- |
|
||||||||||
ремы Пифагора вытекает, что |
|
|
1= 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
I l |
/ |
I |
I 2 |
|
|
— |
|
I l |
& |
I I 2 |
+ |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
І = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
2 ct2 ^ | | |
/ | | 2 |
при любом k, |
откуда видно, |
|
|||||||||
|
ÔO |
|
І = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что ряд 2 а? сходится |
и что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
і= і |
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
а2<11/II2- |
|
|
(12) |
|
|||||
|
|
|
|
І = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
Тогда, |
по теореме IX. 2.1 ряд |
2 сс;фг сходится по норме. |
|
|||||||||||
|
|
оо |
|
|
|
|
і=і |
|
|
|
|
|
||
Если / — 2 аіФо то |
равенство |
(11) вытекает из тео- |
|
|||||||||||
ремы |
|
і=І |
|
|
|
пусть |
дано равенство (11). |
|
||||||
Пифагора. Обратно, |
|
|||||||||||||
|
|
|
<30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим h ~ f — 2 а»Фо Как и выше (для функции g), |
|
|||||||||||||
|
|
|
і=і |
|
|
|
|
|
|
а тогда, |
снова |
|
||
легко убеждаемся, |
что h _L ф,- при всех і, |
|
с помощью теоремы Пифагора,
|
|
|
|
II/ II2 = |
11Л II2 + S |
а г |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
Поскольку |
равенство |
(11) |
выполнено, h — Ѳ, |
т. |
е. |
|||||||
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = |
2 Щф,-. Теорема полностью доказана. |
|
|
|
||||||||
|
І = |
1 |
мы |
установили, |
что |
для |
любой функции |
|||||
( e |
Попутно |
|||||||||||
t 2 |
справедливо |
неравенство |
(1 2 ), |
которое |
назы |
|||||||
вается неравенством Бесселя*). Равенство |
(11), |
пред |
||||||||||
ставляющее |
частный |
случай |
соотношения |
(1 2 ), |
назы |
|||||||
вают уравнением замкнутости. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Следующая важная теорема получается как простое |
|||||||||||
следствие из предыдущих результатов. |
Фишер). |
Пусть |
||||||||||
|
Т е о р е м а |
IX. 3.2 |
(Ф. |
Рисе — Э. |
||||||||
{ерг} — ортонормированная система |
функций |
из |
L2, |
а |
||||||||
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
числа ai таковы, что 2 |
«? < |
+ °°* |
Тогда: |
|
|
|
||||||
|
|
оо |
|
|
г= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) ряд 2 |
а/фI сходится в среднем 2 -го порядка к не- |
||||||||||
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которой функции f из L2\
2)ai суть коэффициенты Фурье этой функции;
3)для / выполнено уравнение замкнутости.
|
|
оо |
|
Действительно, |
сходимость ряда |
2 °іФг |
вытекает |
из теоремы IX. 2.1, |
а тогда этот ряд, |
І—І |
единствен |
в силу |
ности разложения, и будет рядом Фурье своей суммы. Уравнение замкнутости выполняется на основании тео ремы IX. 3.1.
О п р е д е л е н и е . Ортонормированная система функ ций {фі} cz L2 называется полной, если в L2 не сущест вует функции, отличной от Ѳ и ортогональной всем ф{.
Ясно, что если из полной системы удалить хотя бы одну функцию, то оставшаяся система уже не будет полной.
Если система {ф*} полна, то в L2 не существует двух различных (т. е. не эквивалентных между собой) функ ций, имеющих один и тот же ряд Фурье. Действительно,
*) Ф. В. Б е с с е л ь (1784—1846)— немецкий астроном.
если две функции / и g имеют одинаковые системы коэф фициентов Фурье, то их разность ортогональна всем ф, и потому / — g — Ѳ.
Т е о р е м а IX. 3.3. Для того чтобы ортонормирован ная система {ф,} обладала тем свойством, что для любой функции f из L2 ее ряд Фурье (построенный по данной системе) сходится в среднем 2 -го порядка к этой же функции f, необходимо и достаточно, чтобы система {ф;} была полной.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть система {фі} полна, Беря |
|
f œ L2 и вводя функцию |
h так |
же, как это сделано по |
ходу доказательства теоремы |
IX. 3.1, мы увидим, что, |
благодаря полноте системы {фг}, h — Ѳ. Это и значит, что f — сумма своего ряда Фурье.
Если система {фг} не полна, то в L2 существует функ ция f, отличная от Ѳ и ортогональная всем ф,-. Для этой функции все ее коэффициенты Фурье равны 0, следова тельно, сумма ряда Фурье равна Ѳ и тем самым от лична от /.
Докажем, что тригонометрическая система (9) полна в пространстве L2, построенном на отрезке [—л, я]. Для этого сначала установим, что множество Т всех триго нометрических полиномов
|
|
|
ТП |
|
|
Р (х) = |
а0+ 2 (фг COS kx + |
bk s i n kx) |
|||
|
|
|
k = l |
|
|
В С Ю Д У П Л О Т Н О |
В |
L [- n , Л]. |
f из |
|
|
Возьмем |
любую |
функцию |
Z,f-n, я]. Зададим |
||
произвольное е > |
0 |
и подберем непрерывную функцию g |
|||
на отрезке [—я, |
я] |
так, что [|f |
— g|| <С е/3. Существова |
ние такой непрерывной функции вытекает из доказа тельства сепарабельности пространства LE (при Е сд Rn)
в IX. 1 *). Пусть |
при |
этом |£(->с)| < |
М. Возьмем поло- |
жительное число |
Ô< |
g2 |
что одновременно |
.^—цт и такое, |
|||
ô < 2я. |
|
|
|
*) Поскольку множество Е, на котором сейчас построено про странство L2, — конечный отрезок, то алгебраические полиномы с рациональными коэффициентами образуют совокупность, всюду плотную в L2 (см. подстрочное примечание на стр. 212),
Введем непрерывную функцию h, полагая
|
h (х) = g |
(х) |
при — л X |
л |
— ô, |
|
h (я) = |
h ( — л ) — g (•—л), |
|
||
и определим h (х) |
на |
промежутке (я — ô, |
я) по закону |
||
линейного |
интерполирования. Тогда |
и |
\ h(x)\ <. M, а |
||
І І £ - А | | |
= |
I g (х) — h {х) f d x |
< Y 4M2ô < 8 |
||
|
|
|
|
|
¥* |
По теореме Вейерштрасса существует тригонометриче ский полином Р, для которого
8
\ h ( x ) - P ( x ) \ <
3^2л на всем отрезке [—я, я]*). Тогда легко подсчитать, что
Il h — Р [| < - J . Следовательно, ||f — Р|| < е. Таким об
разом, множество Т всюду плотно в 2д_л, Л].
Теперь уже легко установить полноту тригонометри
ческой системы (9). Если некоторая функция f е Ь{-л, Л] ортогональна всем функциям системы (9), то она орто гональна и любому тригонометрическому полиному, а тогда, согласно предложению 4) из IX. 2, / = Ѳ.
Еще проще доказывается, что система полиномов (10) полна в пространстве L2, построенном на отрезке [—1, 1].
Вообще можно доказать, что в любом сепарабельном
пространстве |
LE ( с |
цЕ > |
0 ) |
существует |
полная |
орто |
|||
нормированная система**). |
функция |
f |
представима |
||||||
Т е о р е м а |
IX. 3.4. |
Если |
|||||||
своим рядом |
Фурье, |
т. е. |
|
оо |
ß смысле |
сходи- |
|||
f — 2 |
«гф/ |
||||||||
|
|
|
|
|
і — І |
|
|
|
|
мости по норме, то для любого |
измеримого множества |
||||||||
е cz Е с ре < |
+ о о |
|
|
со |
J <fidp. |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
(13) |
|||
|
е |
|
і = 1 |
е |
|
|
|
|
|
*) См. Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц , |
Основы математического ана |
||||||||
лиза, т. II, п° 407. |
|
Введение |
в функциональный |
анализ, |
|||||
**) См. Б. |
3. Ву л и х , |
«Наука», 1967, теорема 6,9.1.
Таким образом, для разложения функции в ряд Фурье, даже при отсутствии не только равномерной, но и про сто точечной сходимости, допустимо почленное интегри
рование. |
Пусть g — характеристиче- |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
ская функция множества е. Т о г д а ^ е І^ и, по дистрибу-
|
|
00 |
тивности скалярного |
произведения, |
(f, g) — 2 аі (фь g), |
что и означает равенство (13). |
i=i |
|
|
||
Существование полной ортонормированной системы в |
||
с е п а р а б е л ь н о м |
пространстве |
L2 позволяет устано |
вить интересную связь между этим пространством и пространством I2 (см. III. 1). Прежде всего заметим, что пространство I2 можно превратить в нормированное, если для X = {|і} положить
Проверка выполнения аксиом нормированного про странства не представляет труда. В частности, неравен ство треугольника для нормы превращается в неравен ство Коши для бесконечных последовательностей (см. формулу (1) из гл. III). Алгебраические операции в пространстве Z2, как и во всяком пространстве последо вательностей, были определены еще в III. 6 .
Пусть функции фг ( t = l , 2, ...) образуют полную ортонормированную систему в ІА Возьмем любую функ
цию / е L2 |
и сопоставим ей последовательность ее коэф |
фициентов |
Фурье а i = ( f , фг)- Согласно неравенству |
Бесселя (12) последовательность чисел а, представляет
элемент из пространства I2, т. е. а = {а,} е I2. |
При этом |
из теорем IX. 3.3 и IX. 3.1 сразу следует, что |
||/|| = ||а||. |
Таким образом, мы установили отображение простран ства L2 в пространство /2, сохраняющее норму.
Из теоремы |
Рисса — Фишера (IX. 3.2) сразу следует, |
|
что указанным |
способом пространство L2 отображается |
|
на I2, т. е. что |
каждая последовательность |
а из I2 слу |
жит образом |
некоторой функции fŒ ІА |
Кроме того, |
благодаря полноте системы {фг} построенное отображе ние взаимно однозначно, т. е. по каждой последователь ности а = {аг} е I2 функция, для которой заданные
§ 4]
числа ai служат коэффициентами Фурье, определяется единственным образом с точностью до эквивалентности.
Установленное взаимно однозначное |
отображение |
пространства L2 на I2 обладает еще следующими свой |
|
ствами: |
{ß,} — последо |
а) если /, g <= L2, а а — {ai} и ß = |
вательности их коэффициентов Фурье (соответственно),
то сумме f |
g |
соответствует сумма a -}- ß = |
{ai + |
ßi}; |
||
б) если |
( e |
l 2, а — соответствующая |
ей |
последова |
||
тельность, а с — вещественное |
число, то |
функции cf |
со |
|||
ответствует |
последовательность |
ca — {cat}. |
|
|
При наличии взаимно однозначного отображения од ного нормированного пространства на другое, сохраняю щего норму и обладающего отмеченными выше свой
ствами а)—б), говорят, что эти пространства |
алгебраи |
||||
чески изоморфны и изометричны. |
|
|
|||
Таким образом, мы показали, что сепарабельное про |
|||||
странство U |
и пространство I2 алгебраически изоморфны |
||||
и изометричны. |
|
ввести скалярное произве- |
|||
В пространстве I2 можно |
|||||
|
|
ОО |
|
|
|
дение по формуле |
(а, ß ) ~ 2 |
aiß; |
(оно будет обладать |
||
свойствами |
а)—г), |
і=і |
в IX. 2). |
При этом |
|
отмеченными |
нетрудно проверить, что для любых f, g œ L2 н соответ ствующих им а, ß <= I2 справедливо равенство
(f. g) —(a, ß).
§ 4. Линейные функционалы в L2
Пусть в скалярном произведении (f, g) второй сомно житель g зафиксирован, а первый пробегает все про странство L2. Тогда такое скалярное произведение можно рассматривать как функционал F(f) с аргументом f e L 2. По свойствам скалярного произведения этот функционал дистрибутивен, а по неравенству БуняковСКого
\F(f)\<\\f\\\\g\\.
Следовательно, функционал F ограничен. Тогда по тео реме III. 7.2 этот функционал линеен, а 11^1! ^ llg||..