книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

Обратно, пусть сходится числовой ряд 2 II fi II2- Поло-

1=1

последовательность {sft} — фундаментальная. Вследствие

oo

полноты пространства L2существует lim sk, т. e. ряд 2 / i i=l

сходится.

§3. Ортогональные ряды

Вэтом параграфе мы рассмотрим вопрос о разложе­ нии функций из L2 в ортогональные ряды, т. е. ряды, со­ ставленные из функций, попарно ортогональных между собой. При этом, говоря о сходимости рядов, мы все время имеем в виду сходимость в среднем 2 -го порядка,

т.е. сходимость по норме в пространстве L2.

нормированные системы и не оговариваем это каждый раз. Множество. Е считаем в дальнейшем фиксирован­ ным.

Если функции ф; попарно ортогональны на множе­ стве Е и отличны от Ѳ (система таких функций назы­ вается просто ортогональной), то функции Фі = фі/ІІфіІІ образуют ортонормированную систему.

Важным примером ортонормированной системы на промежутке [—я, я] из Ri может служить известная

если две функции / и g имеют одинаковые системы коэф­ фициентов Фурье, то их разность ортогональна всем ф, и потому / — g — Ѳ.

Т е о р е м а IX. 3.3. Для того чтобы ортонормирован­ ная система {ф,} обладала тем свойством, что для любой функции f из L2 ее ряд Фурье (построенный по данной системе) сходится в среднем 2 -го порядка к этой же функции f, необходимо и достаточно, чтобы система {ф;} была полной.

благодаря полноте системы {фг}, h — Ѳ. Это и значит, что f — сумма своего ряда Фурье.

Если система {фг} не полна, то в L2 существует функ­ ция f, отличная от Ѳ и ортогональная всем ф,-. Для этой функции все ее коэффициенты Фурье равны 0, следова­ тельно, сумма ряда Фурье равна Ѳ и тем самым от­ лична от /.

Докажем, что тригонометрическая система (9) полна в пространстве L2, построенном на отрезке [—л, я]. Для этого сначала установим, что множество Т всех триго­ нометрических полиномов

ние такой непрерывной функции вытекает из доказа­ тельства сепарабельности пространства LE (при Е сд Rn)

*) Поскольку множество Е, на котором сейчас построено про­ странство L2, — конечный отрезок, то алгебраические полиномы с рациональными коэффициентами образуют совокупность, всюду плотную в L2 (см. подстрочное примечание на стр. 212),

Введем непрерывную функцию h, полагая

По теореме Вейерштрасса существует тригонометриче­ ский полином Р, для которого

8

\ h ( x ) - P ( x ) \ <

3^2л на всем отрезке [—я, я]*). Тогда легко подсчитать, что

Il h — Р [| < - J . Следовательно, ||f — Р|| < е. Таким об­

разом, множество Т всюду плотно в 2д_л, Л].

Теперь уже легко установить полноту тригонометри­

ческой системы (9). Если некоторая функция f е Ь{-л, Л] ортогональна всем функциям системы (9), то она орто­ гональна и любому тригонометрическому полиному, а тогда, согласно предложению 4) из IX. 2, / = Ѳ.

Еще проще доказывается, что система полиномов (10) полна в пространстве L2, построенном на отрезке [—1, 1].

Вообще можно доказать, что в любом сепарабельном

«Наука», 1967, теорема 6,9.1.

Таким образом, для разложения функции в ряд Фурье, даже при отсутствии не только равномерной, но и про­ сто точечной сходимости, допустимо почленное интегри­

ская функция множества е. Т о г д а ^ е І^ и, по дистрибу-

вить интересную связь между этим пространством и пространством I2 (см. III. 1). Прежде всего заметим, что пространство I2 можно превратить в нормированное, если для X = {|і} положить

Проверка выполнения аксиом нормированного про­ странства не представляет труда. В частности, неравен­ ство треугольника для нормы превращается в неравен­ ство Коши для бесконечных последовательностей (см. формулу (1) из гл. III). Алгебраические операции в пространстве Z2, как и во всяком пространстве последо­ вательностей, были определены еще в III. 6 .

Пусть функции фг ( t = l , 2, ...) образуют полную ортонормированную систему в ІА Возьмем любую функ­

Бесселя (12) последовательность чисел а, представляет

Таким образом, мы установили отображение простран­ ства L2 в пространство /2, сохраняющее норму.

благодаря полноте системы {фг} построенное отображе­ ние взаимно однозначно, т. е. по каждой последователь­ ности а = {аг} е I2 функция, для которой заданные

§ 4]

числа ai служат коэффициентами Фурье, определяется единственным образом с точностью до эквивалентности.

вательности их коэффициентов Фурье (соответственно),

При наличии взаимно однозначного отображения од­ ного нормированного пространства на другое, сохраняю­ щего норму и обладающего отмеченными выше свой­

нетрудно проверить, что для любых f, g œ L2 н соответ­ ствующих им а, ß <= I2 справедливо равенство

(f. g) —(a, ß).

§ 4. Линейные функционалы в L2

Пусть в скалярном произведении (f, g) второй сомно­ житель g зафиксирован, а первый пробегает все про­ странство L2. Тогда такое скалярное произведение можно рассматривать как функционал F(f) с аргументом f e L 2. По свойствам скалярного произведения этот функционал дистрибутивен, а по неравенству БуняковСКого

\F(f)\<\\f\\\\g\\.

Следовательно, функционал F ограничен. Тогда по тео­ реме III. 7.2 этот функционал линеен, а 11^1! ^ llg||..