Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

.pdf
Скачиваний:
35
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
14.37 Mб
Скачать

Всякое банахово пространство, в котором любым двум его элементам f и g сопоставлено вещественное число, называемое их скалярным произведением, обо­ значаемое (f, g), причем выполнены свойства а)—г), а норма любого элемента выражается через скалярное произведение по формуле (7), называется вещественным гильбертовым пространством*). Таким образом, L2

вещественное гильбертово пространство.

 

Покажем, что

скалярное произведение непрерыв­

ная функция своих аргументов, т. е. если fk~*f,

a gh~*g

по норме в L2, то

(Д, gh) (f, g).

скаляр­

Действительно,

благодаря дистрибутивности

ного произведения имеем тождество

(/ft. Ы - (f, g) ==» (fk - f, gk) + (f, gk ~ g).

Так как нормы элементов gh в совокупности ограничены (поскольку gh образуют сходящуюся последовательность,

см. III.6 ),

Hgftll

при всех

k, то по неравенству (6 )

\ ( f k ~f , g k ) \ < \ \ f k - n \ \ g k \ \ < C \ \ h - f \ \ - * 0 ,

 

\(f,

2 )KII/llllffk —gll-*0,

откуда (fk)

gk) -* (f, g).

произведения позволяет

Непрерывность

скалярного

установить, что оно обладает свойством дистрибутивно­ сти и по отношению к сложению бесконечного множе­

ства слагаемых

(о бесконечных

рядах см. III. 6 ). Имен-

 

оо

/<> a g — произвольный элемент из L2, то

но, если f = 2

 

1=1

 

 

 

 

 

/

ft

\

 

f t

ОО

 

(f, g) = lim

2

fi, g] =

lim

2

(fi,g) = 2 (fi, g).

(8 )

k->00 \i—l

J

k~>00

iss1

i=1

 

О п р е д е л е н и е .

Две функции /

и g

изL | назы­

ваются

ортогональными на множестве

Е

(обозначение:

f i g ) ,

если (f, g) =

0 .

 

 

Из свойств скалярного произведения непосредственно вытекает:

*) По имени знаменитого немецкого математика Д. Г и л ь ­ б е р т а (1862— 1943).

1) нулевой элемент Ѳ ортогонален любой функции

f ^ L

2\

когда f = Ѳ;

 

2)

/ J- f только в том случае,

 

3)

если f — 'EiCifi (сумма содержит

конечное

или

 

і

а g _L fi

при всех

і, то

счетное множество слагаемых),

g А- f

случае счетного множества слагаемых вытекает

из формулы (8 ) ) ;

 

 

 

4)

если множество А всюду плотно в L2, a f ортого­

нальна каждой функции из А, то f — Ѳ. Действительно,

по

определению

плотного

множества,

/ = lim Д,

где

Д е

Л.

По непрерывности

скалярного

произведения

(/, f ) =

lim (f, Д), откуда и следует, что / = Ѳ.

если

В

L2 верна

обобщенная

теорема Пифагора:

/= ~ 2

/і

(сумма может содержать конечное или счетное

І

множество слагаемых) и все элементы fi попарно орто­ гональны, то

И/и2= 2і И il2.

Действительно, благодаря дистрибутивности скаляр­ ного произведения

ІІ/ІІ2= ( /, /) = (2 /<, 2 //) = 2 2 (/ь fi).

Но (fi, fl) = 0 при і ф /, и потому

II/II2 = 2 (/г, /г) = 2 II f i II2.

ІІ

со

Т е о р е м а IX. 2.1. Для того чтобы ряд 2 /г. (=і

составленный из попарно ортогональных элементов,

сходился (по норме),

необходимо и

достаточно, чтобы

 

оо

 

 

сходился числовой ряд

2

II fi II2«

 

 

«=1

 

оо

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если ряд

2 /і сходится, то

 

 

 

і=і

оо

и ряд 2 IIfi I I 2сходится по теореме Пифагора,

Обратно, пусть сходится числовой ряд 2 II fi II2- Поло-

1=1

жим sk =

2 h-

При I > k

 

 

 

І=Г

 

 

 

 

 

 

 

S I

s k

f i t

 

 

 

 

 

*f" 1

 

и по теореме Пифагора

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Il s ; - s *

II2

=

S II

fi II2-

 

 

 

 

 

i = k + i

 

Отсюда

видно,

что ||,Si — s* || —> 0

при k, /-> oo, T . e.

последовательность {sft} — фундаментальная. Вследствие

oo

полноты пространства L2существует lim sk, т. e. ряд 2 / i i=l

сходится.

§3. Ортогональные ряды

Вэтом параграфе мы рассмотрим вопрос о разложе­ нии функций из L2 в ортогональные ряды, т. е. ряды, со­ ставленные из функций, попарно ортогональных между собой. При этом, говоря о сходимости рядов, мы все время имеем в виду сходимость в среднем 2 -го порядка,

т.е. сходимость по норме в пространстве L2.

 

О п р е д е л е н и е .

Система

функций

фЬ фг,

...,

фі, ... из

LE

(конечная

или

счетная)

называется

ортонормированной

на множестве

Е, если

фі _L ф, при

і ф

а ||фі|| =

1 при всех і.

 

 

 

 

Мы рассматриваем дальше только бесконечные орто­

нормированные системы и не оговариваем это каждый раз. Множество. Е считаем в дальнейшем фиксирован­ ным.

Если функции ф; попарно ортогональны на множе­ стве Е и отличны от Ѳ (система таких функций назы­ вается просто ортогональной), то функции Фі = фі/ІІфіІІ образуют ортонормированную систему.

Важным примером ортонормированной системы на промежутке [—я, я] из Ri может служить известная

тригонометрическая система функций

i

l

1

1

cos kx,

 

-~р ---- ■■■>— COS X,

sin X,

 

 

Ÿ 2 л

У п

у л

У л

 

 

 

 

 

 

1 sin k x , . . .

(9)

 

 

 

 

Y л

 

На промежутке [—1, 1] ортонормированную систему образуют полиномы

Рь(х)

1

 

/ А р -

- ѣ 1(х* -

*>■

( 10)

*6

!

2

 

В квадрате [—л, я; —я, я] с R2 ортонормированную систему можно составить, например из функций

cos k h sin l l 2

(k , / = 1, 2, ...)•

Ортогональные ряды обладают следующим важным свойством: если {ф<} -*• ортонормированная система функций из L2, а функция / представлена в виде

00

/ =

2

«іфі

(как

обычно,

сумма

ряда

понимается

в

і=1

 

сходимости

по

норме),

то

коэффициенты

смысле

си

определяются

единственным

 

способом,

 

а

именно

(Х г

= (/, фі)

(і == 1,

2,

...).

 

 

 

 

 

 

 

 

скаляр­

 

Действительно,

благодаря дистрибутивности

ного произведения

имеем для любого / =

1, 2 , ...

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(/» Ф/) =

2 аг(Фг. Ф/)=

 

а/ІІ Ф/ II2 — а/-

 

 

 

 

 

 

 

І=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О п р е д е л е н и е .

Пусть

задана ортонормированная

система функций {ф*} из /А

Для

произвольной

функции

f из L2 скалярные

произведения

 

(f,

фг)

=

1,

2 , ...)

называются

ее коэффициентами

 

Фурье

(относительно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

заданной

ортонормированной системы),

а

ряд

2

«»Фг,

где осі =

(/,Фі) (і == 1, 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г= 1

...), — рядом Фурье функции/.

 

*)

См.

Г.

М. Ф и х т е н г о л ь ц ,

Курс

дифференциального и

интегрального

исчисления,

т. II,

1959,

п°

320.

Указанные

полиномы

лишь множителем А

2 6 + 1

отличаются

от

широко

применяемых

 

2

ß математике полиномов Лежандра Ра.

Т е о р е м а

IX.3.1. Ряд

Фурье любой функции f из

 

L2 сходится по норме. Для того чтобы его сумма совпала

 

(в пространстве L2) с f, необходимо и достаточно, чтобы

 

выполнялось равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ІІ/ІІ2 =

2

 

 

а2

 

 

 

(1 1 )

 

 

 

 

 

 

 

<=і

 

 

 

 

 

 

(ai коэффициенты Фурье функции f).

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

 

произвольного

натураль­

 

ного k положим

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë =

î —

2

 

аіфг-

 

 

 

 

Тогда

для

любого / = 1 ,

2,

і=і

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фу) =

 

Фу)

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( g ,

( Î ,

2

ceі i ,

ф у ) =

cty — c ty || <py |j2 =

0 ,

 

T . e. g

ортогональна

всем фу

( / =

k1, 2, . . . .

k). Теперь из

 

представления f в виде f =

g +

2

агФ/ с помощью тео-

 

ремы Пифагора вытекает, что

 

 

1= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I l

/

I

I 2

 

 

 

I l

&

I I 2

+

 

 

 

k

 

 

 

 

 

І = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

2 ct2 ^ | |

/ | | 2

при любом k,

откуда видно,

 

 

ÔO

 

І = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что ряд 2 а? сходится

и что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і= і

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

а2<11/II2-

 

 

(12)

 

 

 

 

 

І =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

Тогда,

по теореме IX. 2.1 ряд

2 сс;фг сходится по норме.

 

 

 

оо

 

 

 

 

і=і

 

 

 

 

 

Если / — 2 аіФо то

равенство

(11) вытекает из тео-

 

ремы

 

і=І

 

 

 

пусть

дано равенство (11).

 

Пифагора. Обратно,

 

 

 

 

<30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим h ~ f — 2 а»Фо Как и выше (для функции g),

 

 

 

 

і=і

 

 

 

 

 

 

а тогда,

снова

 

легко убеждаемся,

что h _L ф,- при всех і,

 

с помощью теоремы Пифагора,

 

 

 

 

II/ II2 =

11Л II2 + S

а г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1=1

 

 

 

 

 

Поскольку

равенство

(11)

выполнено, h — Ѳ,

т.

е.

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ =

2 Щф,-. Теорема полностью доказана.

 

 

 

 

І =

1

мы

установили,

что

для

любой функции

( e

Попутно

t 2

справедливо

неравенство

(1 2 ),

которое

назы­

вается неравенством Бесселя*). Равенство

(11),

пред­

ставляющее

частный

случай

соотношения

(1 2 ),

назы­

вают уравнением замкнутости.

 

 

 

 

 

 

Следующая важная теорема получается как простое

следствие из предыдущих результатов.

Фишер).

Пусть

 

Т е о р е м а

IX. 3.2

(Ф.

Рисе — Э.

{ерг} — ортонормированная система

функций

из

L2,

а

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

числа ai таковы, что 2

«? <

+ °°*

Тогда:

 

 

 

 

 

оо

 

 

г= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) ряд 2

а/фI сходится в среднем 2 -го порядка к не-

 

 

1=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которой функции f из L2\

2)ai суть коэффициенты Фурье этой функции;

3)для / выполнено уравнение замкнутости.

 

 

оо

 

Действительно,

сходимость ряда

2 °іФг

вытекает

из теоремы IX. 2.1,

а тогда этот ряд,

І—І

единствен­

в силу

ности разложения, и будет рядом Фурье своей суммы. Уравнение замкнутости выполняется на основании тео­ ремы IX. 3.1.

О п р е д е л е н и е . Ортонормированная система функ­ ций {фі} cz L2 называется полной, если в L2 не сущест­ вует функции, отличной от Ѳ и ортогональной всем ф{.

Ясно, что если из полной системы удалить хотя бы одну функцию, то оставшаяся система уже не будет полной.

Если система {ф*} полна, то в L2 не существует двух различных (т. е. не эквивалентных между собой) функ­ ций, имеющих один и тот же ряд Фурье. Действительно,

*) Ф. В. Б е с с е л ь (1784—1846)— немецкий астроном.

если две функции / и g имеют одинаковые системы коэф­ фициентов Фурье, то их разность ортогональна всем ф, и потому / — g — Ѳ.

Т е о р е м а IX. 3.3. Для того чтобы ортонормирован­ ная система {ф,} обладала тем свойством, что для любой функции f из L2 ее ряд Фурье (построенный по данной системе) сходится в среднем 2 -го порядка к этой же функции f, необходимо и достаточно, чтобы система {ф;} была полной.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть система {фі} полна, Беря

f œ L2 и вводя функцию

h так

же, как это сделано по

ходу доказательства теоремы

IX. 3.1, мы увидим, что,

благодаря полноте системы {фг}, h — Ѳ. Это и значит, что f — сумма своего ряда Фурье.

Если система {фг} не полна, то в L2 существует функ­ ция f, отличная от Ѳ и ортогональная всем ф,-. Для этой функции все ее коэффициенты Фурье равны 0, следова­ тельно, сумма ряда Фурье равна Ѳ и тем самым от­ лична от /.

Докажем, что тригонометрическая система (9) полна в пространстве L2, построенном на отрезке [—л, я]. Для этого сначала установим, что множество Т всех триго­ нометрических полиномов

 

 

 

ТП

 

 

Р (х) =

а0+ 2 (фг COS kx +

bk s i n kx)

 

 

 

k = l

 

 

В С Ю Д У П Л О Т Н О

В

L [- n , Л].

f из

 

Возьмем

любую

функцию

Z,f-n, я]. Зададим

произвольное е >

0

и подберем непрерывную функцию g

на отрезке [—я,

я]

так, что [|f

— g|| <С е/3. Существова­

ние такой непрерывной функции вытекает из доказа­ тельства сепарабельности пространства LE (при Е сд Rn)

в IX. 1 *). Пусть

при

этом |£(->с)| <

М. Возьмем поло-

жительное число

Ô<

g2

что одновременно

.^—цт и такое,

ô < 2я.

 

 

 

*) Поскольку множество Е, на котором сейчас построено про­ странство L2, — конечный отрезок, то алгебраические полиномы с рациональными коэффициентами образуют совокупность, всюду плотную в L2 (см. подстрочное примечание на стр. 212),

Введем непрерывную функцию h, полагая

 

h (х) = g

(х)

при л X

л

— ô,

 

h (я) =

h ( — л ) — g (•—л),

 

и определим h (х)

на

промежутке (я — ô,

я) по закону

линейного

интерполирования. Тогда

и

\ h(x)\ <. M, а

І І £ - А | |

=

I g (х) — h {х) f d x

< Y 4M2ô < 8

 

 

 

 

 

¥*

По теореме Вейерштрасса существует тригонометриче­ ский полином Р, для которого

8

\ h ( x ) - P ( x ) \ <

3^2л на всем отрезке [—я, я]*). Тогда легко подсчитать, что

Il h Р [| < - J . Следовательно, ||f — Р|| < е. Таким об­

разом, множество Т всюду плотно в 2д_л, Л].

Теперь уже легко установить полноту тригонометри­

ческой системы (9). Если некоторая функция f е Ь{-л, Л] ортогональна всем функциям системы (9), то она орто­ гональна и любому тригонометрическому полиному, а тогда, согласно предложению 4) из IX. 2, / = Ѳ.

Еще проще доказывается, что система полиномов (10) полна в пространстве L2, построенном на отрезке [—1, 1].

Вообще можно доказать, что в любом сепарабельном

пространстве

LE ( с

цЕ >

0 )

существует

полная

орто­

нормированная система**).

функция

f

представима

Т е о р е м а

IX. 3.4.

Если

своим рядом

Фурье,

т. е.

 

оо

ß смысле

сходи-

f — 2

«гф/

 

 

 

 

 

і — І

 

 

 

мости по норме, то для любого

измеримого множества

е cz Е с ре <

+ о о

 

 

со

J <fidp.

 

 

 

 

 

 

=

 

 

(13)

 

е

 

і = 1

е

 

 

 

 

*) См. Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц ,

Основы математического ана­

лиза, т. II, п° 407.

 

Введение

в функциональный

анализ,

**) См. Б.

3. Ву л и х ,

«Наука», 1967, теорема 6,9.1.

Таким образом, для разложения функции в ряд Фурье, даже при отсутствии не только равномерной, но и про­ сто точечной сходимости, допустимо почленное интегри­

рование.

Пусть g — характеристиче-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ская функция множества е. Т о г д а ^ е І^ и, по дистрибу-

 

 

00

тивности скалярного

произведения,

(f, g) — 2 аі (фь g),

что и означает равенство (13).

i=i

 

Существование полной ортонормированной системы в

с е п а р а б е л ь н о м

пространстве

L2 позволяет устано­

вить интересную связь между этим пространством и пространством I2 (см. III. 1). Прежде всего заметим, что пространство I2 можно превратить в нормированное, если для X = {|і} положить

Проверка выполнения аксиом нормированного про­ странства не представляет труда. В частности, неравен­ ство треугольника для нормы превращается в неравен­ ство Коши для бесконечных последовательностей (см. формулу (1) из гл. III). Алгебраические операции в пространстве Z2, как и во всяком пространстве последо­ вательностей, были определены еще в III. 6 .

Пусть функции фг ( t = l , 2, ...) образуют полную ортонормированную систему в ІА Возьмем любую функ­

цию / е L2

и сопоставим ей последовательность ее коэф­

фициентов

Фурье а i = ( f , фг)- Согласно неравенству

Бесселя (12) последовательность чисел а, представляет

элемент из пространства I2, т. е. а = {а,} е I2.

При этом

из теорем IX. 3.3 и IX. 3.1 сразу следует, что

||/|| = ||а||.

Таким образом, мы установили отображение простран­ ства L2 в пространство /2, сохраняющее норму.

Из теоремы

Рисса — Фишера (IX. 3.2) сразу следует,

что указанным

способом пространство L2 отображается

на I2, т. е. что

каждая последовательность

а из I2 слу­

жит образом

некоторой функции ІА

Кроме того,

благодаря полноте системы {фг} построенное отображе­ ние взаимно однозначно, т. е. по каждой последователь­ ности а = {аг} е I2 функция, для которой заданные

§ 4]

числа ai служат коэффициентами Фурье, определяется единственным образом с точностью до эквивалентности.

Установленное взаимно однозначное

отображение

пространства L2 на I2 обладает еще следующими свой­

ствами:

{ß,} — последо­

а) если /, g <= L2, а а — {ai} и ß =

вательности их коэффициентов Фурье (соответственно),

то сумме f

g

соответствует сумма a -}- ß =

{ai +

ßi};

б) если

( e

l 2, а — соответствующая

ей

последова­

тельность, а с — вещественное

число, то

функции cf

со­

ответствует

последовательность

ca — {cat}.

 

 

При наличии взаимно однозначного отображения од­ ного нормированного пространства на другое, сохраняю­ щего норму и обладающего отмеченными выше свой­

ствами а)—б), говорят, что эти пространства

алгебраи­

чески изоморфны и изометричны.

 

 

Таким образом, мы показали, что сепарабельное про­

странство U

и пространство I2 алгебраически изоморфны

и изометричны.

 

ввести скалярное произве-

В пространстве I2 можно

 

 

ОО

 

 

дение по формуле

(а, ß ) ~ 2

aiß;

(оно будет обладать

свойствами

а)—г),

і=і

в IX. 2).

При этом

отмеченными

нетрудно проверить, что для любых f, g œ L2 н соответ­ ствующих им а, ß <= I2 справедливо равенство

(f. g) (a, ß).

§ 4. Линейные функционалы в L2

Пусть в скалярном произведении (f, g) второй сомно­ житель g зафиксирован, а первый пробегает все про­ странство L2. Тогда такое скалярное произведение можно рассматривать как функционал F(f) с аргументом f e L 2. По свойствам скалярного произведения этот функционал дистрибутивен, а по неравенству БуняковСКого

\F(f)\<\\f\\\\g\\.

Следовательно, функционал F ограничен. Тогда по тео­ реме III. 7.2 этот функционал линеен, а 11^1! ^ llg||..

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ