Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3623 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

и составим суммы Лебега — Дарбу

		(т) =	р	M i l l e t , s (т) =	р
	S	(т) =	2	M i l l e t , s (т) =	2	т і] іпе{.
			І= 1		і= \
Пусть	Qi — подграфик сужения				функции		f	на	мно
жестве	ер	Q' и Q'. — цилиндры с основанием						e t	и вы-
сотами	mi	и	Мі	(соответственно),		а	Q' =		р
сотами	mi	и	Мі	(соответственно),		а	Q' =		[J Q(,
									i=i

Q"— U Q". Тогда Q't с= Q(. cz Q'f при каждом і и потому (=і

Q' с: Q а Q". При этом

рр

^n+iQ' =	S	H„+1Q• =	S	=	s (т),
	i=i		i=i		(35)
					(35)
Pii+iQ " =	S	iin+iQ r =	2	м гц / г. =	S ( T ).
	i=l		1 = 1

Так как функция f интегрируема на множестве Е, то за счет выбора разбиения т разность S(x) — s(r) может быть сделана сколь угодно малой. Следовательно, на основании критерия измеримости, множество Q изме римо и

	H/i+iQ'<H/t+iQ<tl«+iQ"-	(36)
С другой	стороны,
	s (т)< J / d\kn < S (т),	(37)
	Е
причем	указанный интеграл — единственное	число,

заключенное между верхними и нижними суммами •Лебега—Дарбу. Из (35), (36) и (37) непосредственно вытекает равенство (34).

б) Пусть теперь \іпЕ — + °°, но f ограничена на Е. Тогда представим Е в виде объединения возрастающей

последовательности , множеств		Ет	с конечной мерой
І Е	— (J Е т ) н обозначим через	Q m	подграфик суженая
\	т=1 !

функции f на множестве Ет. По уже доказанному

Pra+lQm^^ j" f d[ln,

и с помощью формулы (15) получаем
Мтм-1 Q =		lim n„+iQm=	lim	J / d\in = J / d\in.
				Em	E
в)	Е с л и ,	наконец, f	не	ограничена, то используем
ее срезки	fm. Подграфики		Qm срезок fm образуют воз-
					оо
растающую последовательность и Q — (J Qm. А тогда,
используя доказанное в п.п. а)				и б)	т=1
					и свойство интегра
лов от срезок (см. предложение а)					из V III.4), имеем
Era+iQ =:= Um l^n+iQ/n == Пт J f					J f d\in.
			E		E

§ 7. Повторные интегралы

Интегралы Лебега по множествам, лежащим в мно гомерных пространствах, как и в классическом анализе, могут вычисляться с помощью сведения их к повторным интегралам. Как мы увидим ниже, окончательный ре зультат в этом направлении имеет в теории интеграла Лебега более законченный вид, чем для интегралов Ри мана.

Предварительно мы рассмотрим вопрос о вычислении меры множества с помощью интегрирования меры его сечений. Для некоторого упрощения записей будем вести основное рассуждение для множества, лежащего в дву мерном пространстве R2. В конце параграфа будет ука зано, каким способом результат, полученный для R2, пе реносится в пространство Rn с любым большим числом измерений.

Пусть множество E ci R2. Для каждого фиксирован ного вещественного числа |і обозначим через £ (|і) мно жество всех £2, для которых точка х — (|ь \ 2) е £ , т. е. E(h) суть сечения множества Е прямыми |і = const*).

*) Точнее, это — проекции сечений на ось 0 | 2.

Множества £(£і) мы будем рассматривать как линей ные, т. е. как множества на прямой, и, говоря об их мере, мы будем иметь в виду линейную меру, т. е. меру в пространстве Ri.

Т е о р е м а	VIII. 7.1. Если множество Е с R2 изме
римо и \і 2Е <	- J - 0 0 , то для почти всех \| і сечения E(h) —

измеримые линейные множества с конечной мерой, функ ция (xi£(gi) измерима на Rx и

ц 2£ =	J И і £ ( І і ) ^ і -	(38)
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Отметим, что если Е пусто, то

формула (38) очевидна. Дальнейшие рассуждения разо бьем на ряд пунктов.

а)	Если в		качестве			Е	взять		прямоугольник		А =
= (а, Ь\ с, d)		с конечными ребрами, то
	£(Іі) =	{	(с, d)		при		а < 1 1 < Ьу
			0		при		іі < а		и при	Іі > ь.

Следовательно,
	Иі£(!і) =	і	' d — с		при		а <		I і < ь,
				0	при		іі <	а и при		Іі > b ,

и формула (38)			очевидна.						открытое	множество
б)	Пусть	G — произвольное
в R2 с р2G <		-j-oo. По теореме						V. 4.1 оно		представимо
как конечное		или		счетное объединение дизъюнктных дву
мерных ячеек Ал,				G = [J Aft			(р2АА< + °о).			Тогда	при
каждом іі					к

	G(ii)=UA*(ii).					HiG(ii)^2niMii).
			к						*

В частности, все сечения G(ii) измеримы и функция piG(ii) измерима (см. следствие из теоремы VI. 3.1). Вследствие счетной аддитивности меры и уже доказан ной для прямоугольников формулы (38)

P2G= ^ = J J ц‘Лаfêi) ^i-

к Ht

Из (39) с помощью следствия из теоремы VIII. 4.2 (см. предложение в) из VIII. 4) сразу следует, что p iG d ^ C <; + оо Для почти всех |і; кроме того, знаки суммы и интеграла в правой части (39) могут быть переставлены между собой (ср. то же предложение в)). Тем самым мы приходим к равенству

	И20= { HiG(li)rfgi.	(40)
в)	Если Е Œ R2— множество типа G6 с \і 2Е <	-{-'оо, то
представим Е в виде пересечения убывающей последова
тельности	открытых множеств Gm с конечной мерой**):
	оо
	Е = Г)
	т= 1

ТогДа £ ( |,) = P Gm(|і) при любом |, и множества Gm(|j)

т=1

тоже образуют убывающую последовательность. Отсюда

следует,

что все

сечения

£ (|,) измеримы

и pjE (|j) ==

= lirnp,1Gm( |1) <

оо

при

почти

всех |,

(поскольку

йі^і (Іі) <

4* 0 0

при почти

всех

|j).

Теперь

по

тео

реме VIII. 4.1

J PiGm (|,) d|, =

J fixE (|,) d^.

ц2Е =

lim p2Gm =

lim

я,

г)

Пусть

теперь

E — какое-то

измеримое

множество

из R. 2 с

\і 2Е =

По

теореме

V. 5.6

существует

такое

множество К типа

G6, что £ с

К и что \х2К = 0. По до

казанному выше

МС(1тМіі = М

^ 0 ,

оо

*) Если £ '= Р )

Гй,

где

Г* — какие-то

открытые множества, то

k—\

полагаем Gm =* Гі П Г2 П • • • Л Гш. Тогда множества Gmтоже открыЛг,
	ОО
образуют убывающую последовательность и Е =	Gm. Кроме

т=1

того, с самого начала можно взять G] так, что p2( G i \ £ ) < l (см. следствие 1 из теоремы Ѵ.5.5) и тогда psG i < + o o .

следовательно,

по

теореме

VIII. 3.6,

р1/( ( |1) =

для

почти

всех

gi.

Но

E (h) а К(1і)

при

каждом

£ь

так

как

мера

рі

полна,

то

сечения

£ (|і)

измеримы

pi£(g1) = 0 для

почти всех gt. Отсюда по теореме VI. 4.1

следует, что функция p ^ g j)

измерима, а

J щ£(£і) d li = 0 = n2E.

к,

д)

Пусть, наконец, Е — произвольное измеримое мно

жество

из і?2 с

р2Е <

+ 0О. Подбираем

множество

типа

Gô так, что Е с К и что

рг^Ч -Ё) =

0. Тогда

а почти все сечения множества

К \ Е ,

по доказанному

в п. г), имеют меру 0. Следовательно, сечения

Е(%і)

из

меримы и p i^ d i)

= pii/C(^і) Для почти всех |і, функция

р і£ (|і)

измерима снова по теореме VI.4.1, а

J Рі-£(?і)

= J

= Рг^-

Теорема полностью доказана.

верна

и без

предполо

З а м е ч а н и е .

Формула

(38)

жения, что рг£ <С +°о, однако в этом случае уже нельзя

утверждать, что для почти всех сечений рі£(£і) <

-f оо.

Чтобы получить формулу (38) для множества

Е а R2 с

р2£ =

+ оо * ) ,

представим

виде

объединения

воз

растающей

последовательности

измеримых

множеств

Ет с конечной мерой. Применяя

формулу

(38) к каж

дому Ет, имеем

li2Em = \

^iEm (h)dîi.

(41)

я.

E ( h ) =

ясно,

что

£ т (£і)при

всяком

следо-

т—1

всех

вательно, сечения £ ( |і) измеримы при почти

Pi'É'm(li) —» p ifd i),

возрастая. Но тогда теорема V III.4.2

*) Конечно, и предыдущий вывод формулы (38) можно с очень небольшими изменениями провести сразу без предположения, что р2£ < +00.


(см. также замечание к ней) позволяет									перейти		в ра
венстве		(41)	к	пределу		под	знаком	интеграла			(при
т —*оо)		и тем самым			получить		(38). При этом, как и в
теореме		VIII. 7.1,		функция p,i.E(\|i) измерима на Ri.
С л е д с т в и е .				Пусть неотрицательная функция							f за
дана	на	измеримом множестве					Е ci Ri	и	ее подграфик
Q — измеримое множество						в R2. Тогда		f	измерима.
Действительно, как только что было упомянуто, функ
ция p-iQ(ii) во всяком случае измерима на Ri										и, в част
ности,	на Е.		Но	для	любого		\|i œ E	сечение		Q (\|i) =
= [0 ,	f(\|i)L		а потому		mQ(gi) ~ f { b )			и,	тем	самым, f

измерима *).

Перед тем как переходить к повторным интегралам, условимся относительно некоторых обозначенийчи тер

минологии. Пусть функция		/(Iь \| 2)**)	задана на	мно
жестве E C^ R 2. Если	при	некотором	\|і сечение	£ (\|і)
не пусто и измеримо,	а для	функции / (gi, \| 2), как		функ

ции от одной переменной | 2, имеет смысл интеграл по

множеству	£ (\|і), мы записываем		этот интеграл в виде
				(42)
	E(h)
Если же \|і	таково, что Е (\|і)	= 0 ,	то хотя при таком \|і
функция f(li, \| 2) не задана		не при одном \2,		мы все же
условимся, что и в этом случае интеграл (42)				определен
и равен 0 .
Кроме того, мы условимся, что утверждение « /( \|ь \|2)
измерима (соответственно, суммируема) по \| 2				на сечении
£ ( \|і) при	почти всех \|і f= /?і» означает, что			для почти

Е(11) = 0 .

Т е о р е м а VIII. 7.2. (Г. Фубини ***) ). Если функция

f(gi, I2 )	суммируема на множестве E c z R 2, то при почти
*)	Если же Ц2<3 .< + °°, то, как это следует из формулы (38),

f суммируема.

**) В этом обозначении мы вводим явно оба аргумента функ

ции, т. е. координаты \|і	и	точки х.
***) Г. Ф у б и н и	(1879— 1943)— итальянский математик,

8 Б, 3, Вулих

всех gi она суммируема по £ 2 на £(£і) и при этом спра ведливо равенство

		J /(£„ &)dg2.	(43)
Е	H,	£(!,)

При этом, конечно, внутренний интеграл представляет измеримую, и даже суммируемую, функцию от £ь

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Пусть сначала	функция f(x)^s
^ 0 на множестве Е, a	Q — ее подграфик. По теореме
V III.6.1
j f d \ i 2 = \i3Q,		(44)
Е

причем p3Q < + 0 0 . Множество Q расположено в про странстве Яз и для него справедлива теорема, аналогич ная теореме VIII. 7.1. Следовательно, для почти всех £і плоское сечение Q(£i) множества Q *) измеримо и p2 Q(£i) < + 0 0 . При этом

		VL3Q = \		\i2Q (h)dh.	(45)
Обозначим через А множество всех £і е					JRI, для которых
оба	сечения	Q(£i) и Д(£і)		измеримы и p2Q(£i) < +°°-
Из	теоремы VIII. 7.1		(и замечания к ней) вытекает, что
ц і(/?Г\/4) =		0. При	этом,	если Е(% \)Ф 0, то Q(£i) —

подграфик функции /(£ь £2), рассматриваемой на Д(£і)

при фиксированном £ ь	Таким образом,			если h Œ . A и
£(£\ ) Ф 0 , то по следствию		из	теоремы	VIII. 7.1 функ
ция f{\ 1, \| 2) измерима по £2		на £ (Іі), а тогда она и сум
мируема и
HïQ (ii)=	f	f(lu	W d h '	(46)
	E (il)

Если же E (li) = 0 , то равенство (46) справедливо три виальным образом.

Сопоставляя формулы (44), (45) и (46), мы прихо дим к равенству (43).

*) Т. е.	множество, состоящее из всех таких точек ( \|2, \| 3) е # 2,
что (£і, Іа,	Q-


Если /(\|і,	\| 2)	— произвольная функция, суммируемая
на множестве Е,		то вводим функции /+ (іі,\|2) и /_(\| ь \| 2)
(ср. формулу	(4)). Записывая для		каждой из этих функ
ций формулу	(43) и производя		почленное вычитание,

мы получим ту же формулу и для функции f(li, | 2). Сведение двойного интеграла к повторному по фор

муле (43) возможно и без условия суммируемости /;

достаточно предполагать, что интеграл J / d p 2 имеет

смысл. В частности, верна следующая теорема, в основ ном принадлежащая итальянскому математику Л. То- н е л л и (1885—1946).

Т е о р е м а		V III.7.3 Пусть		функция	/(\| ь	\| 2) ^ 0 и
измерима на множестве Е a			R2.
Тогда:		измерима по \|г		на Е(\|і)	при	почти всех
1 )	f i l ь Ы
І і s R ь			(43) ;
2)	справедлива формула
3)	если функция <р (\|,) =			/(Іі, W d \2 суммируема
			Е ( 1 , )

на R 1, то функция /( |,, | 2) суммируема наЕ.

Для доказательства первых двух утверждений доста точно повторить первую часть доказательства теоремы Фубини, не выделяя при этом сечений Q(ii) с конечной плоской мерой*). Однако вместо суммируемости функ ции /(Іь I2) по І2 при почти всех |і можно будет уста новить лишь ее измеримость, а внутренний интеграл бу дет лишь измеримой функцией от |ь Третье утверждение вытекает из формулы (43) :

j	f dp2= { d \| ,	J / ( І ь і 2) d \| 2=	J < p ( i , ) d i , < + 0 0 .
E	R ,	E ( h )	/?•

При вычислении повторного интеграла в формуле (43) нас фактически интересуют только непустые сечения £ (!,). Множество всех |,, для которых Д(Іі) Ф 0 , на зывается проекцией множества Е на первую коорди натную ось и обозначается РпЕ. Легко понять, что из

*) Напоминаем, что теорема VIII. 7.1, на которую опиралось доказательство теоремы Фубини, справедлива и для множеств с бесконечной мерой.

измеримости множества Е в пространстве /?2 не вытекает измеримость Ргі£ в пространстве R,. Однако, если Е та ково, что Ргі£ измерима, то внешний интеграл по R , в формуле (43) можно заменить интегралом по Ргі£, поскольку

f /(Іі, У d%n = 0 при 1,ШРѵ,Е.

£(!<>

Тем самым формуле (43) можно придать следующий, ча сто встречающийся вид:

	J fd p 2 =			J	d\ 1		J f (Іі, W d l2.
	E			Pr ,E		£ « , )
В частности,			если		множество				£ — прямоугольник
Д = (a, b; с,	d),	то				d
				6		d
	J М и2= J di,					J / (Іь			W d h .
	A			a		c
Аналогично		получается,				что
				d			b
	\	f	d ^	j	d\2 J f ( i „				h )d h .
	A			c		a
Отсюда	вытекает,			что если функция f суммируема
в прямоугольнике			Д	=	(a,b; с, d), то
b	d						d	Ь
J d \{ j		П і„ h )d l2=				J	dh	j	/(i„ l2) d lx.
a	c					c	d

Теорема Фубини указывает путь, по которому можно осуществить изменение порядка интегрирования и в бо лее сложных случаях, если заданный повторный инте грал удается представить как результат вычисления не которого двойного интеграла. В частности, для неотрица тельной функции из теоремы VIII. 7.3 вытекает:

если	функция [Ці,1 я )^ 0		и измерима на множестве
E CZ/?2,	ТО	f	dl2 f H lu lù d l, .
f	dl, f f(l„ i2)d i2=	f	dl2 f H lu lù d l, .	(47)
Я,	E(l,)	Яг	£ (S »)

В заключение параграфа наметим, как обобщается

теорема

Фубини на случай

интегралов

пространствах

с любым числом

измерений,

большим

двух.

Пусть

функция

f (і|,

I 2.........ln)

суммируема

на

множестве

Е cz Rn с

цпЕ <

оо. Разобьем

все

аргументы

на две

группы:

І|. І 2> •••>

l /г (k<n)

і А +1,

%п.

Для

каждого

фиксированного

набора

вещественных

чисел

|j, g2,

... ,

%k обозначим через

E (|j,

i 2, .

%k)

множество

всех

точек

(lk+v ....

i„)

из

пространства

Rn- k .

для которых

Л —(І[,

І2>•••’

£k’

•••’

Тогда

оказывается,

что

при

почти

всех (!,, ... , | А) e

или

функция f ( l r

g2,

... , l k,

... , 1Л) суммируема на

£ (g,,

| 2,

...,

|^),

как функция от переменных gA+I, ... ,

gn, или

£ (g,, g2........| ё) =

0 .

При этом

справедливо равенство

J / dpa =

{

f (g,,

| 2,

... ,

g,,

... , g„) dK _ k *),

52. •••.

если,

как

выше,

условиться,

что

внутренний

интеграл

равен О

в случае, когда £(gi, . . . ,

g*)

0 .

В частности,

беря

k = 1,

мы

получим, что

f d\tn =

J d h

f( g,,

g2,

.. . ,

ln) dun-i-

R ,

£(?,)

Применяя к последнему интегралу еще раз теорему Фубини, мы придем к равенству


J f d[in =	J dl,	J" d l 2		J f ІЛи Іг> •••> ія) dpn-2.
E	R,	R,	£(\|„5г)

Продолжая эти преобразования, мы получим в конце концов пред ставление интеграла по множеству Е в виде повторного инте грала, содержащего п однократных интегралов. В частности, если

множество Е есть	параллелепипед	à =	(а, Ь) ,	то предыдущей
формуле можно придать более простой вид:
Ь,	ь2	ьп
j	dg, j dg2 ...	J f ( \| „	g2, ....	\|„)d g „.

*) Здесь внутреннее интегрирование производится «по сово купности переменных |* +і, . . . . | п».

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3623 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ