книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

Обратное заключение неверно: последовательность суммируемых функций может сходиться по мере к не­ которой тоже суммируемой функции, но не сходиться в среднем. Это подтверждается примером, приведенным

как \\fkW— 1 при всех k.

С помощью рассуждений, аналогичных тем, которые проведены при доказательстве предыдущей теоремы, мы

По лемме VI. 5.1 из {Д} можно выделить частичную по­ следовательность {Д.}, которая сходится почти всюду

на "Е к некоторой предельной функции f с конечными значениями.

Докажем, что / суммируема. Действительно, задавая ті > 0 , имеем при всех достаточно больших k и I (,k, / > К)

Il д — fl II < ч- В частности, \\fk{ — Д.|| < щ т. е.

Дг — fk,\d\i<T)

при всех достаточно больших і и / (таких, что kt, k, ^ К). При фиксированном і

I h t (х) - Д; (х) I -j-fz * I h t (x) - f ( x ) I

почти всюду на £ и по теореме Фату (VIII.4.3)

Тогда последовательность {Д} фундаментальна в смыс­ ле сходимости в среднем, а это и есть сходимость по расстоянию в CL**). С другой стороны, из единственно­ сти предела в L вытекает, что последовательность {Ы не может сходиться в среднем ни к одной непрерывной функции, т. е. не может иметь предела в CL.

Вернемся снова к общему случаю, когда X мо­ жет быть произвольным пространством с мерой, и остановимся на линейных функционалах в про­ странстве ЬЕ.

Будем говорить, что функция ф, заданная на мно­ жестве Е, ограничена почти всюду на этом множестве, если существует такая постоянная С, что | ф(*)| С почти всюду на Е. При этом среди постоянных С, удов­ летворяющих указанному условию, существует наимень­ шая. Действительно, пусть Со равно точной нижней гра­

**) Если в CL ввести норму по той же формуле, что и в £, то Сх. становится нормированным пространством с прежним определе­ нием расстояния:

т. е. линейные функционалы, определяемые функциями

Отсюда следует, что ЦЕН ^ С0 — е, а так как е про­ извольно, то \\F\\ ^ С0. Тем самым равенство (33) до­ казано.

Можно доказать, что формула (31) дает общий вид линейного функционала в L; тем самым каждый линей­ ный функционал F в пространстве L может быть пред­ ставлен по формуле (31) при надлежащем подборе огра­ ниченной почти всюду и измеримой функции ф*).

§6. Геометрический смысл интеграла Лебега

вевклидовом пространстве

Геометрический смысл интеграла мы выясним спе­ циально для евклидова пространства. Поскольку по ходу рассуждений нам придется одновременно рассматривать евклидовы пространства разной размерности, мы усло­ вимся обозначать меру Ле.бега в пространстве Rn че­ рез р„.

Введем некоторые геометрические понятия. Если точ­

странство R n будем называть точку х ~ (ці,г\2, ... ,т]п) , т. е. точку из Rn, определяемую первыми п координа­ тами точки у. Далее, обобщая понятие криволинейной

понимается объединение множеств точек всех этих от­ резков **).

Если f(x) = c ( с ^ О — конечная постоянная) на мно­ жестве Е, то ее подграфик Q на Е назовем также ци­ линдром с основанием Е и высотой с. В этом случае бу­

на с, то Q — измеримое множество в пространстве Rn+ь

По доказанному цилиндр Qi (а также и Q2) измерим, Ря+iQi =cp„G, iin+lQ2 = cnnA. Но QI CZ Q2, aQ = Q2 \Q ,, следовательно, цилиндр Q измерим и

Ря+lQ 3=: Ря+іФг Ря+ lQl == С (Ря^ РлО) =s= C » n F .

в) Пусть основание цилиндра Q — ограниченное из­ меримое множество Е. По произвольному е > 0 подбе­ рем замкнутое множество F и открытое множество G так, что F а Е cz G и что рnG — р„£ < г. Построим ци­ линдры Q' и Q" с основаниями F и G (соответственно) и высотой с. Тогда

Q 'czQ cz Q", р„+,Q '=■ ср„£, р„+,Q* = cp„G.

Следовательно,

Рл+iQ" — Ря+iQ' < ce.

Таким образом, цилиндр Q можно заключить между двумя измеримыми множествами Q' и Q", разность мер которых можно сделать сколь угодно малой. На осно­ вании критерия измеримости в евклидовом пространстве (см. V. 5) цилиндр Q тоже измерим, а тогда

При этом срп£ и есть то единственное число, которое за­ ключено между всевозможными pn+iQ' и pn+iQ", т. е.