книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие
.pdfВсе эти функции непрерывны и легко найти их наи-
большие значения -3 У-з- |
е~3/2, откуда видно, что /„(«)-> 0 |
|
V п |
|
+J00 fndx — 1 при всех п, |
равномерно. В то же |
время |
|
о
следовательно, предельный переход под знаком интег рала в данном примере не допустим.
Т е о р е м а VIII. 4.1 (А. Лебег). Пусть на множестве E cz X задана последовательность суммируемых функций
fh, |
которая |
сходится |
по |
мере |
к |
некоторой |
функции |
||||||||||||
f |
(fh |
f) ■ |
Если |
существует |
такая |
неотрицательная |
|||||||||||||
суммируемая |
функция |
ф, |
что |
\fk(x) | ^ ф(х) |
|
при |
каж |
||||||||||||
дом k почти всюду на Е, то f тоже суммируема и |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
J fk d p = |
J |
fdp*). |
|
|
|
(22) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E ■ |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
По теореме |
Рисса (VI. 5.3) |
су |
|||||||||||||||
ществует |
частичная |
последовательность |
|
которая |
|||||||||||||||
сходится |
к |
f |
почти |
всюду на Е. А тогда ясно, что |
|||||||||||||||
|/(х) I ^ |
|
ф(х) |
почти |
всюду |
и по теореме VIII. 3.7 / |
сум |
|||||||||||||
мируема. |
|
е > |
0. |
Из |
определения |
интеграла |
следует, |
||||||||||||
|
Зададим |
||||||||||||||||||
что существует |
такое |
множество |
E' cz Е с р-Е' < |
+ |
оо, |
||||||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф dp, < |
-і |
|
|
|
|
|
(23) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Е\Е' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(если р£ < + с», то |
берем |
Е' = Е). |
Далее, |
по теореме |
|||||||||||||||
VIII. 3.3 существует |
такое |
ô > |
0 , что |
Jc p d p < ~ , |
если |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е" |
|
|
|
|
E" cz Е |
и \іЕ" < |
Ô. |
|
Выберем |
т] > 0 |
так, что |
т|р£' ^ |
. |
|||||||||||
*) Поскольку переход в подынтегральном выражении к экви валентной функции ■не влияет на величину интеграла, можно счи тать, что функции fh к f имеют во всех точках конечные значения. Впрочем, это замечание не имеет принципиального значения, так как сходимость по мере можно рассматривать и без этого ограни чения (cp. VI. 5),
Из определения сходимости по мере следует, что суще ствует такое К, что при k~ ^K
\ьЕ' [ I fk(x) — f (X) |> г)] < Ô.
Для каждого k множество Е разбиваем на три под множества:
|
Я,- = |
£ \ £ ' , |
E2 = E' [\fk ( x ) - f ( x ) \ > r ]], |
||
|
|
E3 = E' [\ f k ( x ) - f ( x ) \ < y ]]. |
|||
Так |
как [ fk (х) — f (х) [ ^ 2ср (х) |
почти всюду на Е, то |
|||
по (23) и по |
теореме |
VIII. 3.7 |
при всех k = \ , 2, ... |
||
|
|
J (fk — f) d\i |
|
|
|
|
|
д, |
|
|
|
Если |
k ^ K , |
то \і Е2< |
ô, а тогда, |
по выбору ô, |
|
|
|
|
(fk — f) du |
< |
- |
|
|
|
|
^ |
3 ' |
Наконец, при всех k
J (fk — f) d\i |
ГщДз < У\\іЕ' ^ |
E3 |
|
Таким образом, |
|
J fkd\i — J f d \ i < e
6
1
при k ^ К, что и доказывает равенство (2 2 ).
Теорема VII. 3.1— частный случай теоремы VIII. 4.1, поскольку в теореме VII. 3.1 [iE < + оо и, следователь но, постоянная М, ограничивающая в этой теореме функ ции fk, суммируема на Е и может играть роль функции ср.
З а м е ч а н и е . Из доказательства теоремы Лебега видно, что она остается в силе, если в ее формулировке сходимость по мере заменить на сходимость почти всюду (к измеримой функции). Действительно, в доказатель стве теоремы Лебега достаточно использовать сходи мость по мере на некотором множестве Е' с цЕ' < -f оо, а при этом условии сходимость почти всюду влечет схо димость по мере (см. теорему VI. 5.2).
Для монотонных последовательностей можно дока зать несколько более сильную теорему, принадлежащую итальянскому математику Б. Л е в и (1875—1961). Мы дадим ее для последовательности, состоящей из неотри
цательных функций. |
функции |
fk(x) ^ |
0 |
(k = |
||
Т е о р е м а VIII. 4.2. Если |
||||||
= 1, 2, . . . ) |
измеримы на множестве Е и образуют не |
|||||
убывающую |
последовательность |
(Д |
^ Д+і (*) |
для |
||
всех k), причем fh(x) ~* f(x ) при |
всех |
х ^ Е , a |
f |
почти |
||
всюду конечна на Е, то справедливо равенство |
(2 2 ) : |
|||||
|
lim J fk dp = |
J fd\i. |
|
|
|
|
|
E |
E |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из |
леммы VIII. 2.4 |
следует, |
||||
что интегралы J / Äöfp, образуют неубывающую после-
Е
довательность и J fkdp^ . | f dp, при всех k, а тогда и
Е |
Е |
J fdp. |
lim |
J fk dp < |
|
|
E |
E |
Чтобы получить обратное неравенство *), возьмем произвольное измеримое множество e cz Е с ре < + оо, на котором f ограничена. По теореме Лебега
J f dp = lim I fk d\i < lim J fk d\i.
в e E
Переходя в левой части к точной верхней границе, получим, что
J / dp, ^ |
lim J fk dp,. |
E |
E |
Тем самым равенство (22) доказано.
З а м е ч а н и е . Покажем, что в теореме Леви можно отказаться от требования, чтобы рассматриваемые функ ции были почти всюду конечными.
*) Обратное неравенство вытекает также из приводимой ниже теоремы VIII. 4.3,
Пусть при выполнении всех прочих условий теоремы
Леви ц£ [/ (х) = + °о] > 0. Тогда, по |
определению |
|
J fd\д, = |
+ оо и нужно доказать, что lim |
J fkd\i = + |
Е |
Е |
|
т. е. что интегралы J fkdp в совокупности не ограничены.
Е
Рассуждая от противного, допустим, что
Е
при всех к. Возьмем любую положительную постоянную С. Из предыдущего нера венства следует, что
|і£ [/*(*)> С]
(£ = 1 , 2 , . . . ) .
Но
£[/(*)> С] = |
(*)>£]> |
|
k = \ |
причем множества в правой части образуют возрастаю щую последовательность. Поэтому и
ц£ [/(*)> С]
Отсюда видно, что
[/ (*) = +- оо] < -§■
при любом С, т. е. ц£[/(х) = +оо] = 0, и мы приходим к противоречию.
Введем одно полезное понятие. Именно, если f — не отрицательная функция, измеримая на множестве £, то
для каждого натурального т и х е |
£ положим |
||
/«(*) = |
/(*). если f ( x ) ^ . m, |
||
т, если |
f ( x ) > m |
||
|
|||
(рис. 19). Иными словами, все значения f(x), которые больше т, мы заменяем числом т. Эти функции fm мы называем срезками функции f. Ясно, что все fm ограни чены и измеримы на множестве £. Измеримость fm
вытекает на основании леммы VI. 3.1 из очевидного ра венства
fm (х) = min [/ (у), т].
Отметим ряд следствий, которые вытекают из тео ремы Леви и доказанного замечания к ней.
а) Для всякой неотрицательной измеримой функции и последовательности ее срезок допустим предельный переход под знаком интеграла.
б) Если в условиях теоремы Леви дополнительно предположить, что интегралы J fk dp. в совокупности
Е
ограничены, то отсюда уже будет следовать, что предель ная функция f почти всюду конечна.
в) Если функции uk ( x ) ^ 0 и суммируемы на мно-
|
|
оо |
J uk d\x < + |
|
|
|
|
жестве E { k — 1 , 2 , |
...), |
а ^ |
оо, |
то |
функ- |
||
оо |
|
й = І |
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ция s(x)— '^i uk {x) конечна почти всюду |
на Е и |
|
|||||
k = \ |
|
оо = |
2Uk dy. J |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|||
E |
|
k = \ Е |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
uk (x). |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим |
sm(*) = |
2 |
|||||
Тогда sm (х) -*■ s (х) |
не |
убывая, а |
интегралы k=iJ smdy |
||||
Е
в совокупности ограничены. Согласно предыдущему предложению, отсюда уже следует, что s почти всюду ' конечна, и по теореме VIII. 4.2
J srfp= lim J smdp = limm ^ |
= ^оо |
j |
uk dy. |
|||||
E |
|
E |
|
k = l |
E |
fc=l |
£ |
|
Приведем |
еще |
теорему |
французского |
математика |
||||
П. Фа т у |
(1878—1929),-в которой |
устанавливается со |
||||||
отношение |
несколько более |
слабое, |
чем равенство (2 2 ). |
|||||
Т е о р е м а |
V III.4.3. Пусть |
на |
множестве |
Е задана |
||||
последовательность |
измеримых, |
почти всюду |
конечных |
|||||
функций fh(x) ^ |
0 , которая сходится по мере к некото |
|||
рой почти всюду |
конечной |
функции f ( f h ^ f ) - Тогда |
||
|
J fd\i < |
sup J fk d\i. |
(24) |
|
|
E |
k |
E |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о * ) . |
С |
помощью теоремы |
Рисса |
|
из {fk} можно выделить частичную последовательность {Д .}, сходящуюся к f почти всюду на Е. Отсюда следует,
что, не уменьшая общности, можно считать, что уже fk(x) —>f(х) почти всюду на Е. Кроме того, f(x) ^ 0 почти всюду на Е, а за счет перехода к эквивалентной функции можно допустить, что f (x) ^ 0 при всех X œ E.
Введем функции
gk (х) = |
min [fk (х), f (х)] |
( 6 |
= 1 , 2 , ... ). |
Они измеримы |
по лемме VI.3.1, |
gh(x) ^ . f ( x ) (k — |
|
=1, 2 , ...) и, очевидно,
gk (X) -> f (х) при почти всех х е £.
Рассмотрим два случая. Пусть сначала f сумми руема на Е. Тогда применима теорема VIII. 4.1 (см. за мечание к ней), следовательно,
f gkd\i-> J fdp.
Ho J fk d\i ^ |
E |
E |
J gk du |
при всех k, a потому |
|
E |
E |
J gk du, |
|
|
|
|
|
E |
и переход к пределу сразу приводит к (24). Предположим теперь, что f не суммируема на Е.
Выделим произвольное подмножество е с Е с конечной мерой, на котором f ограничена. По уже доказанному
sup |
i |
f fkdn^> sup |
f |
|
f fdp. |
|
k |
|
k |
J |
е |
J |
|
|
E |
|
е |
|
||
Переходя в правой части к точной верхней границе, мы снова получим (24).
*) Это доказательство сообщено автору Г. И. Н а т а н с о н о м ,
З а м е ч а н и е . Непосредственно из доказательства теоремы Фату видно, что она верна и в том случае, ко гда fh(x) -*f (x) почти всюду на Е и / измерима. Факти чески доказательство и было проведено для этого слу чая. Кроме того, покажем, что в случае сходимости почти всюду в теореме Фату можно не требовать, чтобы функции fh и f были почти всюду конечными.
Введем срезки f{p) и /<р) функций fk и / (соответ ственно)*). Ясно, что f(p) (х) /<р) W почти всюду на Е. По теореме Фату, уже доказанной для конечных функций,
J /(p)d|T<sup J d\i,
Е к Е
и, тем более,
/ /(Р) Ф < sup J fh dp..
С другой стороны, согласно следствию а) из теоремы Леви,
J f p)d\i -> J f d p ,
ЕЕ
имы приходим к неравенству (24).
Теорема Леви и теорема о счетной аддитивности интеграла' по зволяют наметить еще один способ перехода от интеграла ограни ченной функции по множеству конечной меры к интегралу от про извольной неотрицательной измеримой функции /. Сначала, если
функция / |
задана на множестве £ с ц £ < + °°, |
то |
J f dp |
можно |
|
определить |
|
|
Е |
ее |
сре |
как предел последовательности интегралов от |
|||||
зок. Затем, |
если рЕ — + °°, то подбираем возрастающую |
последо- |
|||
|
|
|
|
00 |
|
вательность множеств Ер с конечной мерой так, |
что |
Е= І К |
И |
||
интеграл от / по Е определяем формулой (15) |
|
P—1 |
|
||
|
|
|
|
||
/М ц
Е
*) Здесь индекс р означает срезку «числом р». Например,
№ (*) = min |
(ас), р]. |
Из теорем VIII. 4.2 и VIII. 3.4 следует, |
что |
построенное таким |
спо |
|
собом |
определение равносильно приведенному в VIII. I. |
|
||
С |
задачей о предельном переходе |
под |
знаком интеграла |
тесно |
связано понятие равностепенной абсолютной непрерывности инте гралов.
О п р е д е л е н и е . Пусть функции fk (k = 1, 2, ...) сумми руемы на множестве Е. Говорят, что их интегралы равностепенно
абсолютно |
непрерывны, если для всякого е > |
0 существует |
такое |
Ô> 0, что |
для любого измеримого множества |
е а Е с ре < |
Ô |
|
J\ f k \ d p < z при всех k. |
|
|
|
е |
|
|
Конечно, это определение можно сформулировать не только для последовательности функций, но и для любой их совокупности.
Легко видеть, что если у функций fk есть |
суммируемая |
мажо |
ранта <р (т. е. |/а(х)| ^ ср(х) почти всюду на |
Е при любом |
k) , то |
интегралы от fi, равностепенно абсолютно непрерывны*). Именно это обстоятельство по существу и было использовано в доказатель стве теоремы VIII. 4.1. Более детальный анализ этого доказательства приводит к теореме, представляющей частичное усиление теоремы VIII.4.1.
Т е о р е м а VIII. 4.4 |
(Дж. Витали). Если функции |
fk ( k — |
|
= 1, 2, ...) суммируемы |
на множестве Е |
с рЕ < +оо, |
f — изме |
рима и почти всюду конечна на Е и fk=^f, |
а интегралы от fk рав |
||
ностепенно абсолютно непрерывны, то f тоже суммируема на Е и справедливо равенство (22).
Однако если рЕ = + °°, то равностепенной абсолютной непре рывности уже недостаточно для возможности предельного перехода под знаком интеграла, и поэтому теорема Лебега в полном объеме не является следствием из теоремы VIII. 4.4.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Зададим е > 0 |
g |
|||
и положим п = — —. |
|||||
Затем по е подберем ô > |
0 из условия равностепенной абсолютной |
||||
непрерывности интегралов от /*. Из неравенства |
|||||
следует, что | f fe|= ^ |f | |
на |
Е. |
Поэтому, |
если е с Е и p e < ô , то |
|
по теореме |
Фату |
|
|
|
|
|
J 1/1 dp < |
sup |
J I fk | й ц < 8 . |
||
|
e |
|
|
e |
|
Теперь |
введем множества |
|
|
||
|
Ak - E [ \ f k ( x ) - f ( x ) \ < n ] , Bk = E \ A k. |
||||
*) Обратное заключение незерно, что подтверждается простыми примерами,
Если k достаточно велико, то |
ц В * < 0 |
и потому |
|
||||
|
|
| d p < |
J | f f t |rfp |
+ J |
I / I d u < |
2e. |
|
|
Bk |
|
Bk |
|
Bk |
|
|
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
JI h |
- f I |
< n • \>Ak < 'П• |
= 8- |
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f \ f k - f \ dn<3s . |
|
|
|||
|
|
E |
|
|
|
|
|
Отсюда, в |
частности, |
следует, |
что функция |
fk— f |
суммируема на |
||
Е, а тогда |
и f — fk— (fk — f) |
тоже |
суммируема и |
притом |
|||
J fk d\x -> j" f dp.
EÈ
Вкачестве примера применения последней теоремы докажем непрерывность интеграла типа потенциала.
Пусть Е — ограниченное измеримое по Лебегу множество в про
странстве Rn, В(х, у) — ограниченная непрерывная функция, задан ная при X, у Œ Е, \В (х, у) I ^ М. Положим
И У ) = |
f |
( 2 5 ) |
J |
i x - y f |
|
где 0 < а < п, р — мера Лебега, а индекс х |
при р означает, что |
|
интегрирование производится «по х»; у играет роль параметра.
Норма понимается как обычная евклидова норма в Rn- |
|||||
Так |
как |
Е ограничено, |
то существует |
такой |
параллелепипед |
Д е й » , |
что |
X — ÿ e A при |
любых х, у e |
Е. При |
этом функция |
1/||м||а суммируема на А (см. VIII. 2). А тогда для |
любого е > 0 |
||||
существует такое ô > 0, что |
|
|
|
||
|
|
Г |
du |
|
е а |
. |
|
|
|
? |
|
J |
------— < е , если |
А и- р е < 0 . |
|
|
|||
|
!1 «ІІа |
|
|
|
|
|
|
||
Проверим |
теперь |
равностепенную |
(относительно |
у) |
абсолют |
||||
ную |
непрерывность |
интегралов |
от |
функций |
В(х, у)/\\х — р||й |
||||
(«взятых по X»). Действительно, если |
измеримое |
множество e а Е, |
|||||||
то для |
любого |
у е £ |
множество |
е', |
получающееся |
из е |
трансля- |
||
цией на |
вектор |
—у |
(т. е. |
е' — {х — у), |
где г е е ) , |
содержится в А |
|
и имеет |
ту же меру, |
что |
и е. Поэтому, |
|
если ре < |
ô, то |
|
Г |
1В (X, у) |
I |
|
dVx |
|
= м |
<Мг*), |
|
|
|
|
|
|||
і |
\ \ * - y t |
|
|
\ \ х - у ІГ |
е' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что и доказывает равностепенную абсолютную непрерывность ин тегралов от рассматриваемых функций. Из непрерывности функции
В следует, что если Ук-+Уа (Ук,Уа^Е), то при х Ф у0
В (*, Ук) а В (х, у0)
IIх- |
Г |
ІИ —i/o ІГ ’ |
Сходимость при всех х ф |
у0 (х е |
Е) влечет сходимость по мере, а |
тогда по теореме VIII. 4.4 |
|
|
Г(Ук)^! (У0)’
т. е. интеграл (25) — непрерывная функция от у.
§5. Пространство L суммируемых функций
Вэтом параграфе мы рассмотрим совокупность всех функций, заданных и суммируемых на некотором фик сированном множестве Е cz X, как нормированное про странство (см. III.6 ). Обозначим эту совокупность че рез L. Если при этом обозначении потребуется указать
область задания функций, будем |
также писать t E. Как |
и при определении пространства |
S (VI 1.4), мы ото |
ждествляем в множестве L функции, эквивалентные ме жду собой, а тогда можно считать', что каждый элемент множества L изображается функцией, имеющей всюду конечные значения. Это облегчает арифметические дей ствия над функциями из L.
По теореме VII 1.3.8 множество L — линейное. Если при определении суммы f -+ g двух функций из L мы заменим каждое слагаемое эквивалентной функцией из L, f\.~ f и gi ~ g, то сумма fi + g\ окажется эквива лентной сумме f + g, т. е. эти суммы, как элементы мно жества L, совпадут. Аналогичное замечание справед ливо и по отношению к произведению функции на число. Нулевой элемент Ѳ множества L изображается не только
*) Легко понять, что среднее равенство (результат замены переменной по формуле х — у — и) очевидно.