Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3620 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

нетрудно разобрать и общий случай. Для любого х ф Ѳ из к п положим

где	“ >0
• II — евклидова норма в Rn, т.	е. \|\|* \|\|= \| /

Покажем, что функция f суммируема на А (по отноше

нию к мере Лебега),				если а < п,			и не	суммируема при
а ^ п * ) .						р	определим куб			Др =
Для		любого натурального				р	определим куб			Др =
= [“	7	’ 7 ] - Тогда
			(J ( A p \A P+i)jU(9).
			р= і
Если	х е Д р\ А р+1, то
							Уп
			р +
Отсюда следует,			что
„ а
. “ /2 (рАр — jiA p + iX				I
			дРч Ѵ и			< ( Р +			1)а (рАр — р А р+1)
						< ( Р +			1)а (рАр — р А р+1)
(р, — мера Лебега			в Rn).				2 \ п		и потому
(р, — мера Лебега			в Rn).		Но р,Др = ^—j				и потому
> а у		(Р + 1 Г -Р "				ы г
пт		»»(»+ і)"	^	А/Л	J
				А/Л	Ар+і
						< ( Р + 1)			(р + 1 )п -	рп
						< ( Р + 1)			2 - рп {р+{)П .
Если	из крайних		членов		этого неравенства образовать
ряды,		суммируя	по р от		1 до оо, то их общие члены
будут		того же порядка,			что	■■д_а+1' **). Но из теории

*) f непрерывна на И ц \ Ф ) , а потому и измерима.

**) Разность ( р + 1 ) " — рп имеет тот. же порядок, что рп~1,

рядов хорошо известно, что ряд 2 р-<"-а+І) сходится р=|

при а < п и расходится при а ~^п. Поэтому J fd\x < + оо

при а < п и J / с/ц = + оо при а ^ п.

С помощью аналогичных выкладок можно убедиться, что на множестве Rn\ à функция f суммируема при а > п и не суммируема при а ^ п.

§ 3. Распространение простейших свойств интеграла

В этом параграфе мы покажем, что почти все резуль таты, полученные в VII.2 для интегралов от ограничен ных функций по множествам конечной меры, перено сятся и на общий случай *), разбираемый в этой главе. Как и в предыдущем параграфе, все рассматриваемые ниже функции предполагаются почти всюду конечными.

Т е о р е м а V III.3.1. Для того чтобы измеримая на множестве Е cz X функция f была суммируемой на этом

множестве, необходимо и достаточно, чтобы функция			\|/\|
была' суммируемой на Е.	Если f суммируема на Е,		то,
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Если f суммируема на Е,		то,
по определению, функция	\|/\|	суммируема на каждом из
множеств
El = E[f(x)>0]	и	Е2 = E[f (х) < 0].

Атогда по лемме VIII. 2.1 |/| суммируема и на Е. Обратно, если |/| суммируема на Е, то она сумми

руема и на Еі и на Е2, т. е., по определению, f сумми руема на Е.

Доказанная теорема означает, что каждая суммируе мая функция оказывается «абсолютно суммируемой». Тем самым в одномерном случае (т. е. в /?і) интеграл Лебега от неограниченных функций или по бесконечным промежуткам по своим свойствам существенно отли чается от классического несобственного интеграла. Как

*) Т. е. на интегралы от функций со значениями любых знаков и по множествам с любой мерой,

известно, в классической теории несобственных интегра лов функция, заданная в промежутке на прямой, может быть интегрируемой в несобственном смысле, не будучи при этом абсолютно интегрируемой*). Для абсолютно интегрируемой функции легко доказать, что классиче ский несобственный интеграл в /?і совпадает с интегра лом по мере Лебега (можно использовать замечание к лемме VIII. 2.1).

Т е о р е м а VIII. 3.2.	Если интеграл	^ f dp имеет
смысл, то	•	£
смысл, то
\ f d p	< f \| / № * * ) .	(12)

££

До к а з а т е л ь с т в о . Из формулы (2) сразу следует

что

	j f d p < J \| / № +				j \ f \ d p .
	£		£,	£ 2	£
Т е о р е м а		V III.3.3. Пусть f суммируема				на	мно
жестве	Е. Тогда		для	любого е > 0	существует		такое
Ô > 0 ,	что
	J f dp	<	е,	если Е' cz Е	и рЕ' <	ô.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Эта теорема вытекает из ана логичной леммы VIII. 2.2, доказанной для неотрицатель ной суммируемой функции и неравенства ( 1 2 ), поскольку из суммируемости f вытекает суммируемость |/|.

Доказанное свойство интеграла от суммируемой функции называется его абсолютной непрерывностью.

*) В пространствё Rn при п ^ 2 это различие между инте гралом Лебега и классическим несобственным интегралом отсут ствует. См. Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц , Курс дифференциального и ин тегрального исчисления, т. III, п. 613 (по изданию 1960 г.).

**) Напоминаем, что правая часть формулы (12) всегда имеет смысл,

Свойство счетной аддитивности интеграла сохраняет ся и в общем случае и может быть выражено с помощью следующей теоремы.

Т е о р е м а V III.3.4. Пусть множество Е представле но в виде конечного или счетного объединения дизъюнкт ных измеримых множеств Ej^E = \jEj^j. Тогда:

. а) если интеграл j f dp имеет смысл, то и каждый

из интегралов J / dp тоже имеет смысл и при этом

Еі

J	= 2	\ f d v	(13)
Е	І	E j

б) если f суммируема на каждом Ej, то для сумми руемости / на Е необходимо и достаточно, чтобы выпол нялось условие

2 J l / № < + °°-

(14)

/Е,

Вчастности, условие (14) заведомо выполняется,

если Е разбито на к о н е ч н о е число множеств Ejt а по тому в этом случае из суммируемости f на каждом. вытекает ее суммируемость на всем Е.

Д о к а з а т е л ь с т в о ,	а) Используем формулу (4).
Так как интеграл J f dp	имеет	смысл,	то по	крайней
Е	J /+ dp
мере один из интегралов	J /+ dp	или \|	/_ dp	конечен.
	Е	Е

Пусть это, например, второй из них, т. е. /_ суммируема на Е. Но тогда /_ суммируема и на каждом из Ej, следо

вательно, все интегралы J f dp имеют смысл. При этом

Еі

каждый из них может иметь конечное значение или быть равен + °о. Также и J f dp или конечен, или равен

Д- оо. А тогда, с помощью леммы VIII. 2.1, мы получаем

7 Б. 3. Вулих

следующую цепочку равенств (все они имеют смысл!):

{ f dp = J /+ dp — J /_ dp =

І E j

j E j

E j

которая и приводит к формуле (13).

б) По

лемме

VIII. 2.1

j l №

jm tf p .

E j

Поэтому

условие (14) означает

суммируемость | f | на Е,

что в

свою очередь равносильно суммируемости на Е

самой

функции f.

СО

С л е д с т в и е . Если Е — (J

Е,-, причем множества Е /

измеримы

дизъюнктны,

/=і

+ 0 0

при

всех /, и

а pEj <

f (х) =

сj

на

( / = 1 , 2 , . . . ;

с} — постоянные),

причем

оо

I С/ \ pEj <

оо, то f

суммируема

на

Е и

і =

со

l f d p = ^ C j p E j

і = 1

(обобщение

следствия 1

из

теоремы

VII. 2.2).

Следствие вытекает из обеих частей доказанной тео

ремы.

(14) нельзя интегралы от |/|

Отметим, что в условии

заменить интегралами от / и потребовать, чтобы

(в слу

чае бесконечного множества слагаемых)

ряд

Ifd

Е ,

сходился. Это подтверждается следующим простым при мером.

Пусть функция / задана на промежутке (0, 1], при чем

'f(x) = (— \)п п при	1	( п = 1 , 2 , ...).
	гг+ і

Тогда

	1 in				(—пл
	Г		/ сіу =		(—пл	(ix — мера Лебега)
	J		/ сіу =		n j^ \ -	(ix — мера Лебега)
	1/(П+1)
	ОО					Г,
и ряд	VI (—1)"					Г,
и ряд	Y	+	1	сходится. В то же время
п—1
			1
			О		= S	7ГГГ=	+ °°*)-
			О		п=1
Как	и в VII. 2,				из доказанной		счетной аддитивности

интеграла вытекает, что если измеримые множества

Ер(р =	1, 2,	.. .)	образуют	возрастающую	последова-
тельность, Е =		ОО	Ер, а J / dp имеет смысл,
тельность, Е =		(J	Ер, а J / dp имеет смысл,		то
		р—1	в
			J f dy = Um J fdy.			(15)
Т е о р е м а		£		Er
Т е о р е м а		VIII. 3.5. Если f u g измеримы на множе
стве E,	f ~ g,	и хоть один из интегралов			J f	іили
				в
j* g dp	имеет смысл, то и другой тоже имеет смысл и
è
при этом			J î dp =	J gdy.
			J î dp =	J gdy.

ЕЕ

Вчастности, если f суммируема на Е, то и g сумми руема.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если f ~			g,	то	f+ ~ g+,	а
/- ~ g-, и по лемме VIII. 2.3		J L dy —		J g_dy.
J f+ dy =	J g+dix,	J L dy —		J g_dy.
E	E	E		E
*) Несколько изменяя этот пример, можно показать, что						а б
солютной сходимости	ряда из интегралов		J { d »		в условии	П 4 )
тоже было бы недостаточно,			Е1
тоже было бы недостаточно,

Отсюда сразу следует, что интегралы j f d р. и J g d\i

Е Е

имеют смысл лишь одновременно и что при этом они равны между собой.

Теперь замечание, сделанное в предыдущей главе после доказательства теоремы VII. 2.5, можно применять и к интегралам от неограниченных функций. В частно

сти, можно рассматривать интеграл | / dp от функции,

заданной лишь почти всюду на Е, и не доопределяя ее на остальной части множества Е.

Из теоремы VIII. 3.5, в частности, вытекает, что если функция f(x) ^ 0 почти всюду на £ и измерима, то ин

теграл от нее имеет смысл и при этом j f d p ^ 0. Если

f ~ 0 на Е (/ и Е измеримы), то J f dp = 0. Справед-

либо и то частичное обращение этого замечания, которое

для ограниченных функций давалось	теоремой VII. 2.6,
т. е. справедлива	почти всюду на Е
Т е о р е м а VIII. 3.6. Если f ( х ) ^ 0	почти всюду на Е
и j" f dp — 0 , то / ~ 0 .
£

Доказательство этой теоремы ничем не отличается от

доказательства аналогичной	теоремы	VII. 2.6 для	огра
ниченных функций.	f u g	измеримы на	мно
Т е о р е м а VIII. 3.7. Если	f u g	измеримы на	мно
жестве Е, g суммируема, а	\ f (х) \| ^	g (я) почти всюду
на Е, то и f суммируема и при этом
j fd p <	Jg dp.		(16)

Еè

До к а з а т е л ь с т в о . Благодаря теореме VIII. 3.5, не

уменьшая общности	можно считать, что g ( x ) ^ 0	при
в с е X X œ. Е. Тогда	по лемме VIII. 2.4 функция \|/\|	сум

мируема на Е, а вместе с ней суммируема и f. Неравен ство (16) вытекает из той лее леммы и теоремы VIII. 3.2.

Т е о р е м а VIII.3.ß. Для любых двух функций / и g, суммируемых на множестве Е, и любой постоянной с

функции f dkg и cf тоже суммируемы и при этом
J	(/ ± g) dp = J	f d\i ± \ g d p ,	(17)
В	Е	Е
	I*cf dp — с	I’ f dp.	(18)

ÈÊ

Хотя	функция f ± g	определена	лишь почти	всюду,
а на некотором множестве меры 0			может и не	иметь
смысла,	это не мешает	рассматривать интеграл от f +g

по множеству Е. То же замечание относится и к произ ведению cf*).

Д о к а з а т е л ь с т в о . При доказательстве можно счи тать, что f и g всюду конечны.

Прежде всего заметим, что из неравенства I f (х) ± g(x) К | f{x) 1+ 1 g(x) I,

леммы VIII. 2.5 и теоремы VIII. 3.7 вытекает суммируе

мость функции f +	g.
Сначала установим формулу (17) для разности двух
неотрицательных	функций		f u g .	Положим h(x)= .
— f(x) — g(x). Так как, с другой стороны,
h = h+ — h-.	и	/(х) > /z + (х),		g(x)>ft_(x)
(см. рис. 18 из VIII. 2), то
/ (х) — h+ (х) =		g (х) — А_ (х) =		k (х) > 0 .
Следовательно,
f (х) = h+ (х) +		k (х),	g (х) = 7г_ (х) + k (х).

Отсюда с помощью леммы VIII. 2.4 видно, что функция k суммируема.

	По лемме VI11.2.5
J	/ dp = J	h+ dp -f	I" k dp,	J	g dp = J h- dp -{- J		k dp.
Е	Е		È	E	E	E
	*) Если	c = 0, a	f(x) = d=oo,		то произведение	не	имеет

смысла.

В результате почленного вычитания (здесь все интегралы имеют конечные значения) получаем

J / dp — ^ g dp = J h+ dp — J h- dp =

E E E E

— j* h dp — j (f — g) dp.

E È

Теперь докажем формулу (17) для суммы двух функ ций. Имеем с помощью леммы VIII. 2.5

J fdp +	J gdp =
E	E
= J f+ du —		J f_ du +	J g+ d\x — J g_ d\i ==
E		E ,	E	E
	=	J (/+ + 8+) dp -		J (/_ + g _ ) dp. (19)
		E		E

Обе суммы, стоящие в скобках, суть суммируемые функции; их разность равна / + g и, по доказанному

выше, правая часть (19) равна | (f + g)dp.

Формула (18) очевидна, если с = 0. При с ф 0 по ложим l (x) — cf{x). Если с > 0, то l+ = cf+, l_ = cf_, и

по лемме VIII. 2.5

J /+ dp — с J f+ dp,		j	l_dp = c J f_ dp,
E	E	E	E
откуда
	1 1 dp =	c j	f dp.	(20)
	E	E

Если c < 0, TO /+ = \c\f-, L = \c\f+, и равенство (20) по лучается с помощью аналогичных выкладок.

Наконец, формула (17) для разности двух функций без предположения, что они неотрицательны, получается

очевидным образом:

J i î — g ) d i i — J			=
£	£		'			J g du.
=	J / ^ +	( - l ) j	g du =	j	f dp -	J g du.
	£	£		£		£
Т е о р е м а	VIII. 3.9.	Если	f u g	суммируемы на
множестве Е и f ( x ) ^ g ( x ) почти всюду					на Е,	то
	j K u ^ J g d p .					(2 1 )

££

До к а з а т е л ь с т в о . Так как разность g (*) —f(x) ^ О почти всюду, то

/ g du ~ J f d p = J ( g - f ) d p ^ О,

£		£	£ ,
что равносильно		(2 1 )*).
§ 4. Предельный переход под знаком интеграла
Прежде	всего	мы	покажем,	что теорема Лебега
(VII. 3.1) о	предельном		переходе	под знаком интеграла

верна в значительно более общем виде. В то же время заметим, что если весьма частным «классическим» до статочным условием для возможности предельного пере хода под знаком интеграла на множестве конечной меры является равномерная сходимость, то на множестве бесконечной меры дело обстоит иначе. Например, рас смотрим на интервале (0 , + оо) функции

*) Последние две	теоремы могут быть установлены и в случае,
если лишь известно,	что интегралы J f dp и	J g djx имеют
	£	£

смысл, но тогда в теореме VIII. 3.8 нужно сделать дополнительное предположение о том, что правые части формул (17) и (18) тоже имеют смысл,

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3620 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ