книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

Обычно множества определяются указанием какогонибудь признака, по которому относительно произволь­ ного объекта можно судить, входит он в данное множество или нет. Конечное множество, т. е. множе­ ство, состоящее из конечного числа элементов, может быть задано также перечислением всех его элементов. Однако иногда, определяя какое-нибудь множество, мы можем еще не знать, содержит ли это множество по крайней мере один элемент. Например, нас может инте­ ресовать множество вещественных корней того или иного алгебраического уравнения, но дальнейшее исследова­ ние может показать, что данное уравнение совсем не имеет вещественных корней. В связи с этим вводится понятие пустого множества. Так называется множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обозначается 0 и, следовательно, запись

А = 0

Определим некоторые операции, которые часто при­ ходится производить над множествами. Точнее, мы да­ дим определения не самих операций, а тех множеств, к которым эти операции приводят.

Объединением двух множеств А и В называется мно­ жество, обозначаемое

А[]В,

которое состоит из всех элементов, входящих по край­ ней мере в одно из множеств А или В.

Аналогично определяется объединение любого коли­ чества множеств. При этом, если заданные множества обозначены Аа (значок а может при этом сам пробегать какое угодно множество, это не обязательно порядко­ вый номер), то их объединение обозначается

IM «

а

и, по определению, это объединение состоит из всех элементов, входящих по крайней мере в одно из Аа. При

этом мы будем считать, что если под знаком объедине­ ния не указана область изменения значка а, то объеди­ нение распространяется на все значения, которые а мо­ жет принимать в рассматриваемой задаче. То же от­ носится и к вводимому ниже знаку пересечения.

Приведем два примера.

1. Пусть множество А состоит из всех четных чисел, множество В состоит из всех натуральных чисел, деля­ щихся на 3, и множество С состоит из всех нечетных чи­ сел, не делящихся на 3:

А — {2, 4, 6, 8, ...}, В = {3, 6, 9, 12,

С = {1,5, 7, 11, ...} .

Тогда их объединение А (J В (J С совпадает с множе­ ством всех натуральных чисел.

2. Пусть для каждого вещественного числа х мно­ жество Ах состоит из всех точек плоскости XOY, имею­

щих заданную абсциссу х*). Тогда объединение (J Ах

X

есть совокупность всех точек плоскости.

Пересечением двух множеств А и В называется мно­ жество, обозначаемое

А(] В,

состоящее из всех элементов, которые входят и в А, и

в В.

Аналогично определяется пересечение

П

а

любого количества множеств Аа: это есть множество всех элементов, входящих в каждое Аа.

Для множеств А и Б из приведенного выше приме­ ра 1 их пересечение состоит из всех чисел, кратных 6.

Если Б с: А, то

А U Б *= А, А Л Б =*= Б.

Разностью

А \ Б

*) Таким образом, каждое Л* заполняет прямую, параллель­ ную оси OY.

§ Ч

называется подмножество множества А, состоящее из всех элементов А , не входящих в В. При этом в опре­ делении разности Л \ 5 не требуется, чтобы В а А.

Легко проверить, что

А \ В = А \(А [ \В ) .

Если В а А (и только в этом случае), то

( Л \ В)\)В = А.

( U A ^ n ß - U ^ n ß ) .

пересечения обладает рас­ пределительным свойством по отношению к объедине­ нию множеств.

Требуемое равенство мы установим с помощью двух

(lK )flß c:(J(A .n ß ).

а

при некотором а. А тогда х е Аа и, следовательно, X е [J Д,; кроме того, x e ß , Тем самым х е /[J ДЛ П В .

(А \ ( J ß a ) < = r ) Ca-

\а / а

Обратно, пусть х œ Q Са. Это значит, что

а

при всех а. Следовательно, х Œ А, но т ё В а ни при одном а. Тогда х ë=(J Ва и потому х œ А \ (J Ва. Таким

Из двух доказанных включений следует, что

л \ и ^ а = П с а

аа

Два множества А и В называются дизъюнктными, если их пересечение пусто: А П В = 0 *). Иными сло­ вами, это значит, что у множеств А и В нет ни одного общего элемента. Например, множества рациональных и иррациональных чисел дизъюнктны. Если задана не­ которая совокупность множеств Аа и любые два мно­

множества Ла попарно дизъюнктны или, короче, просто дизъюнктны. Так, множества Ах из рассмотренного выше примера 2 дизъюнктны.

§2. Некоторые вспомогательные соотношения

Вэтом параграфе мы выведем ряд соотношений, часто используемых в последующем. Сами выводы мож­ но рассматривать как хорошие упражнения на основ­ ные операции над множествами.

*) Часто в этом случае говорят, что А и В не пересекаются.

включение левой части в правую, так как обратное вклю­

§ 3. Мощность множества

Конечные множества можно легко сравнивать между собой в количественном отношении, т. е. по числу содер­ жащихся в них элементов. При этом осуществить такое сравнение можно как с помощью непосредственного подсчета элементов, так и без него. Пусть, например, нужно сравнить число студентов, пришедших в аудито­ рию, с числом имеющихся там стульев. Достаточно пред­ ложить студентам рассесться так, чтобы каждый сту­ дент сидел на отдельном стуле. Если всем студентам удастся сесть и свободных стульев не останется, го это и будет означать, что число студентов совпадает с чис­ лом стульев. В противном случае мы легко обнаружим, чего в аудитории больше — студентов или стульев. Не­ посредственный подсчет числа элементов, очевидно, те­ ряет смысл при переходе к бесконечным множествам. Однако второму способу сравнения можно придать та­

2. Множество N натуральных чисел и множество Р всех четных положительных чисел. Если каждому пе.Ѵ сопоставить число 2 п е Р , то получается взаимно одно­ значное соответствие между элементами множеств N и Р. Таким образом, N ~ P и при этом PczN, но РфЫ. Этот пример показывает, что бесконечное множество может быть эквивалентно своей части в собственном смысле (т. е. части, отличной от всего множества). Такое поло­ жение не может встретиться среди конечных множеств.

3. Множество Е всех вещественных чисел и множе­

ство / всех вещественных чисел из интервала ( — -2-, -^-1.

этой прямой с КМ, принимаем за образ точки а. Это соответствие между точками сторон КЕ и КМ, очевидно, взаимно однозначно, следовательно, А ~ В.

Заметим, что в качестве КЕ и КМ могли быть взяты отрезки любой длины. Таким образом, любые два от­ резка эквивалентны (как множества точек) независимо от соотношения между их длинами.

Приведем два предложения, часто используемые в дальнейшем.

1°. Если А ~ В, а В ~ С, то А ~ С (два множества, порознь эквивалентные третьему, эквивалентны между собой).

2°. Если множество А — (JАа, причем множества Аа

а

дизъюнктны, а множество В — (JВа (область изменения

а

значка а в обоих случаях одна и та же!) и Ва также дизъюнктны, и если Аа ~ Ва при каждом а, то А ~ В.