книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие
.pdfто |
функция f называется |
суммируемой (по мере р) на |
множестве Е. |
|
|
на, |
Ясно, что если неотрицательная функция / ограниче |
|
a р£ < + 0 0 , то среди всех интегралов, входящих |
||
в правую часть формулы |
(1 ), есть наибольший — инте |
|
грал по множеству Е*). Следовательно, в этом случае интеграл от /, определяемый формулой ( 1 ), совпадает с интегралом, определенным в гл. VII с помощью сумм Лебега — Дарбу. Таким образом, на множестве с конеч ной мерой всякая ограниченная неотрицательная измери мая функция суммируема. На множестве с бесконечной мерой ограниченная функция может уже не быть сумми
руемой. Например, |
если |
f ( x ) s = c > 0 (с — постоянная), |
|
а р£ = |
оо, то |
J f dp |
= + оо **). |
в
Из определения сразу вытекает, что если измеримое
множество Е' сz Е, то |
|
J |
/ fdp. |
Е' |
Е |
Следовательно, если f суммируема на Е, то она сумми
руема и на Е', |
неотрицательная |
измеримая |
|
Если |
\іЕ = 0, то всякая |
||
функция |
/ суммируема на |
£ и J/ r f p, = 0. |
Действи- |
|
|
Е |
|
тельно, в этом случае все интегралы, входящие в правую часть равенства (1 ), равны 0 , поскольку ре = 0 , а. по тому и левая часть тоже обращается в 0 .
Если f ( x ) = 0 на Е, а Е — произвольное измеримое множество, то J fc?p = 0 (очевидно).
Дадим дополнение к определению интеграла, приве денному в начале этого параграфа. Именно опрёделим
*) См. следствие 3 из теоремы VII. 2.2.
**) Действительно, из 0 -конечности меры р вытекает, что в мно
жестве Е содержатся подмножества е со сколь угодно большой конечной мерой, и потому
f dp — sup f dp = sup с • ре = -f оо.
интеграл и для функции f ( x ) ^ |
0 , которая измерима на |
|
множестве Е с X, но ц£ [f (х) = |
ф- оо] |
> 0. В этом слу |
чае будем по определению считать, что |
J f dp = + оо. |
|
в
Если f(x)z^ 0 и измерима на множестве Е с X, то полагаем
I î du = — j | / №
ЕВ
(интеграл в правой части уже определен). При этом функция f называется суммируемой, если ее интеграл имеет конечное значение, т. е. если функция |f| сумми руема.
Понятие интеграла для функции, принимающей и по ложительные, и отрицательные значения, вводится сле дующим образом. Пусть функция / измерима на множе стве Е. Разобьем Е на два измеримых множества, пола гая
£i = £ [/(* )> 0 ], E2 = E[f(x)< 0].
Интеграл от f по множеству Е определяется формулой
J f d p = |
J f d \ i + |
J fdp = |
J I / \dp — |
J\f\dp. (2) |
E |
E\ |
Ej |
Ei |
Ei |
Однако нужно иметь в виду, что эта формула имеет смысл, только если по крайней мере один из интегра
лов J f dp, или j f dp конечен. В случае же, если они
Ei |
Ei |
оба равны бесконечности,
J/c?H = + oo, |
j f d p = - оо, |
, Ei |
Ei |
то интеграл j fdp лишен смысла.
Е
Функция f называется суммируемой на множестве Е, если она (или |/|, что равносильно) суммируема на
каждом из множеств Е\ и £г, т. е. если j fdp имеет
Е
конечное значение.
Ясно, что если функция суммируема на множестве Е, то она суммируема и на любом его измеримом подмно жестве. Если рЕ — 0, то всякая измеримая функция f, заданная на Е, суммируема и
J / dp = 0.
Е
Оба эти замечания вытекают из того, что такими же свойствами обладают неотрицательные функции.
Опять заметим, что если функция f ограничена и из мерима на множестве Е с конечной мерой, то поскольку ее интегралы по Е\ и Еч имеют в этой главе те же значе
ния, что и раньше, интеграл |
J f dp, определяемый фор- |
мулой (2 ), совпадает с |
fi |
интегралом, определенным |
в гл. VII. Таким образом, если функция f ограничена и измерима на множестве Е с ц£ <; -f- оо, то f сумми руема на этом множестве.
§ 2, Леммы об интегралах от неотрицательных функций
Докажем ряд лемм, используемых в следующем па раграфе. Соответствующие факты для интегралов от ог раниченных функций по множествам конечной меры уже были установлены в VII. 2. Все рассматриваемые ниже функции предполагаются почти всюду конечными и это не оговаривается в каждой формулировке.
Л е м м а V III.2.1 (счетная аддитивность интеграла).
Пусть множество Е представлено в виде конечного или счетного объединения дизъюнктных измеримых множеств
Ej ^Е = (J |
. Тогда для любой неотрицательной функ |
||
ции /, измеримой на множестве Е, |
|
||
|
= 2 |
j f dp. |
(3) |
|
fi |
і яj |
|
В частности, если множеств Ej всего конечное число, a f суммируема на каждом из Ej, то она суммируема и на Е,
Д о к а з а т е л ь с т в о . J fd p равен + °°. то и
Если хоть один из интегралов j fd[i = + оо, а тогда равен-
Е, |
в |
ство (3) выполняется тривиальным образом. |
|
Пусть все |
J f d\i < + оо. Возьмем любое измеримое |
ЕІ
множество е с Е с конечной мерой, на котором / огра ничена, и положим ej — ef\Ej. Тогда благодаря счетной
аддитивности интеграла от ограниченных функций
= |
i ej |
I fail. |
e |
I E] |
Переходя в левой части к точной верхней границе, получим, что
JЛ J fd \i .
В1 Е/
из |
С другой |
стороны, |
возьмем |
первые |
k |
множеств |
|
Ej, зададим произвольное |
е > 0 |
и |
для |
каждого |
|||
/ = |
1 , 2 ,1 ... , |
k подберем |
измеримое |
множество ejCiEj |
|||
с конечной мерой, на котором |
/ ограничена, |
так, что |
|||||
|
|
Jfd\ i > |
|
— |
|
|
|
|
|
el |
E1 |
|
|
|
|
k
Положим e = \Jej. Тогда ec- E , ре < + оо и f ограни-
/=1 чена на е. При этом
|
k |
|
J / d p > ^ |
J / 4 i — е, |
|
е |
1=1 |
Ej |
или |
|
|
k |
|
|
2 j fdii |
< j fdii + e < J / dix + e. |
|
i = \ E j |
e |
E |
Вследствие произвольности е отсюда вытекает, что
k |
J / Ф < |
J / d\i. |
2 |
||
/ = |
I E j |
E |
Устремляя h o o B случае, если Е разбито на бесконеч ное множество множеств Eh или беря k равным числу всех этих множеств, если их совокупность конечна, при ходим к неравенству
S |
I М и < |
{ № |
I |
E j |
Е |
Вместе с установленным выше противоположным нера венством это и дает равенство (3).
З а м е ч а н и е . Из доказанной леммы вытекает след ствие, аналогичное следствию 2 из теоремы V II.2.2.
Из леммы VIII. 2.1 легко выводится, что при опреде лении интеграла от функции f со значениями разных зна ков формулу (2 ) можно заменить равносильной форму лой
J f d n = J f +d\ i — |
J |
(4) |
|
Е |
Е |
E |
|
где (рис. 18) |
|
f (X) > |
|
|
если |
О, |
|
|
если |
/ (X) < |
О, |
|
если |
f (X) ^ |
О, |
|
если |
/ (х) > |
0 . |
Действительно, |
если |
Ех |
и |
Е2— множества из фор- |
||
мулы (2 ), то |
|
|
|
J |
|
d\\, — J f du, |
J f +d p — J f d\i -f |
0 • |
|||||
E |
|
B , |
|
E \ E i |
£ , |
|
If-.d n = |
J|/|rf[x+ |
J0 |
- r f n = J | / | r f (i |
|||
E |
|
E , |
|
E \ E , |
E 2 |
|
(измеримость |
f+ и /_ |
очевидным |
образом вытекает из |
|||
измеримости |
/). |
|
|
|
|
|
Л е м м а VIII. 2.2. Пусть f ( x ) ^ 0 и суммируема на множестве Е, Тогда для любого е > 0 существует такое ô > 0 , что
J / dp < е, если Е' cz Е и рЕ' < ô.
Е'
Д о к а з а т е л ь с т в о . По любому е> 0 , согласно оп ределению интеграла по множеству Е, подбираем такое
|
Рис. |
18. |
измеримое множество |
е czE, |
на котором / ограничена, |
что |
|
|
JMP> Jf dp, — - J - |
||
e |
E |
|
По предыдущей лемме |
|
|
J/ dp =J f d p + J f d p . |
||
E |
e |
E \ e |
Следовательно,
I / ф < у .
E \ e
Пусть 0 < f (х) < М на множестве е. Положим Ô=
и |
пусть E 'c zE , а цЕ' < ô. Множество Е' |
представим |
в |
виде Е' = Е1[)Е2, где El = E'Ç[e, Е2= |
Е' Г) (Е \ е). |
Тогда по теореме VII. 2.1 |
|
|
'Е1
аиз (5) следует, что
</ dp < 28 *
Таким |
образом, |
J f d p < e . |
|
|
|
|
Е' |
f u g |
измеримы, на множе |
Л е м м а V III.2.3. Если |
||||
стве Е, |
f ( x ) ^ 0, |
g ( x ) ^ 0 и |
f ~ g, |
то |
|
|
J fdp = |
J g dp. |
|
|
|
Е |
Е |
|
Для доказательства этой леммы нужно дословно по вторить то рассуждение, которым была доказана тео рема VII. 2.5.
Эта лемма показывает, что так же, как и в предыду щей главе (см. замечание к теореме VII. 2.5), изменение значений подынтегральной функции на множестве меры
Оне влияет на величину интеграла *). |
0 и g(x) ^ О |
Л е м м а VIII. 2.4. Если функции f(x) ^ |
|
и измеримы на множестве Е, и f(x ) ^ g (x ) |
почти всюду |
на Е, то |
(6) |
J Ми< J g d p . |
ЕЕ
Вчастности, если g суммируема на Е, то и f тоже сум мируема на Е.
До к а з а т е л ь с т в о . Не уменьшая общности можно считать, что f(x) ^ g(x) при всех х е Е.
Возьмем произвольное измеримое множество е с Е с ре < + 0 0 , на котором / ограничена, и рассмотрим два
*) Как и в аналогичных случаях выше, мы предполагаем, что изменение значений функции происходит с сохранением свойства измеримости,
случая: а) g тоже ограничена на е и б) g не ограничена на е. В случае а), по свойствам интеграла от ограничен ной функции и по определению интеграла от неограни ченной функции,
J f dp < |
J g du < |
J g dii. |
e |
e |
E |
В случае б) будем считать, что также не умаляет общ ности, что g конечна на всем е. Введем множества
еп = e [g М < я] |
(п — 1 , 2 , . . . ) . |
|
||
со |
|
|
|
|
Тогда e — (J <?„, причем |
множества еп образуют |
воз- |
||
п=1 |
|
|
|
|
растающую последовательность, и |
|
|||
{ fd p |
< |
J |
g d\iJ. |
|
en |
en |
E |
|
|
По следствию 2 из теоремы VII. 2.2 |
|
|||
\ f d p - + j f d p , |
|
|||
en |
|
|
e |
|
a потому |
|
|
|
|
j |
f dp < |
I g dp. |
(7) |
|
e |
|
|
E |
|
Таким образом, в обоих случаях мы имеем неравенство
(7). Теперь, переходя в его левой части к точной верхней
границе (по е), |
мы и получим формулу (6 ). |
|
||
С л е д с т в и е . Если f измерима |
(и неотрицательна) |
|||
на множестве Е и f(x)^t А > |
0 почти всюду на Е, то |
|
||
|
j f dp |
АрЕ. |
|
|
|
Е |
|
|
|
Л е м м а VIII. 2.5. Для любых двух неотрицательных |
||||
функций f u g , |
измеримых на множестве Е, и любой по |
|||
ложительной постоянной с |
|
|
|
|
f |
(f + g) dp — J f dp + |
j g dp, |
(8 ) |
|
E |
Е |
Е |
|
|
|
j cf dp = c |
Jf dp. |
|
|
E E
В частности, если f u g суммируемы, то и их сумма тоже суммируема.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если хоть одна из функций / или g не суммируема, то по лемме VIII. 2.4 и их сумма не суммируема, а тогда равенство (8 ) очевидно. Будем
далее доказывать формулу (8 ) |
в предположении, |
что f |
|||
и g суммируемы. |
измеримое |
множество е ci Е |
с ко |
||
Возьмем любое |
|||||
нечной мерой, на котором сумма f |
g ограничена. Ясно, |
||||
что и каждая из функций f u g |
ограничена на е, |
и по |
|||
тому по теореме VII. 2.3 |
|
|
|
|
|
{ (f + g) |
— f fd p + |
J g dp. |
|
||
e |
|
е |
е |
|
|
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
J ( / + |
g)e?p< j f d i i + |
j g d p . |
|
||
е |
|
Е |
Е |
|
|
Переходя в левой части к точной верхней границе, по лучим, что
/ (f + g ) d p < |
J /^р + |
J g dp.' |
E |
E |
E |
Чтобы вывести обратное неравенство, разобьем мно жество Е на две части. Именно, положим
E{= E [ f (х) < g (*)], E2 = E[f (х) > g (х)].
Зададим произвольное е > 0 и подберем измеримое множество е с Ех с ре < + оо, на котором g ограничена и притом так, что
Ig d p > |
g dp — |
(10) |
E , |
|
|
Тогда и f ограничена на е. |
При этом, |
по предыдущей |
лемме, |
|
|
f f dp < I g dp = |
— J gdp<~. |
|
Et \ e |
E i \ e |
Et |
e |
Следовательно, |
|
|
|
J' f d n = |
j f d p — |
^ f dn > J fdii — j . |
(1 1 ) |
|
E, |
E , \ e |
|
Складывая почленно неравенства (10) и (11) и исполь зуя теорему VII. 2.3, получим, что
■ J (f + g ) d i x > J f d i i + j g d n — e.
ê |
E\ |
Ex |
Тем более |
|
|
|
J U + g) dp > J / d\i + |
[ g dp—e. |
|||
|
Et |
|
E t |
Êi |
|
Отсюда |
благодаря |
произвольности |
e сразу следует, что |
||
|
J (/ + g) d\i > |
J /ф + |
J g du. |
||
|
Et |
|
|
E1 |
Ei |
Аналогично |
|
|
J f d n + |
J g du, |
|
|
j (f + |
g ) d n > |
|||
|
E 2 |
|
|
E 2 |
E 2 |
a тогда |
по лемме,VI1 1 . 2 . 1 |
|
|
||
|
J (/ + g) du > |
J / d\i + |
Jg d \i. |
||
|
E |
Е |
Е |
|
|
Тем самым формула |
(8 ) установлена. |
||||
Теперь докажем |
формулу (9). Ясно, что функции f |
||||
и cf ограничены на одних и тех же подмножествах е с~Е. При этом, если це < -f °°> то п° теореме VII. 2.3
J cf d[i = |
с J / ф. |
e |
e |
Переходя в обеих частях этого равенства к точной верх ней границе, мы и получаем формулу (9).
С у м м и р у е м о с т ь с т е п е н е й н о р мы в /?„, Рассмотрим один важный пример. Пусть А = [—а, а] —
куб в Rn *'). Для |
простоты будем считать, что а — 1, но |
||
*) |
Т. |
е. параллелепипед, характеризуемый неравенствам^ |
|
—<a |
| і < |
а (і = 1, |
2, . , . , п). |