книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

расстоянию от / — g до Ѳ:

Р (/. g) = p(ï — g> Ѳ)

(Ѳ — нулевой элемент пространства S, изображаемый не только функцией, тождественно равной 0 , но и всякой

Это значит, что существует такое ô > 0, что для бес­ конечного множества индексов ki

pE[ \ f k.{x) — /( x ) |> e ] > ô .

из S — фундаментальная, т, е. р (Д, U) -* 0 при k, 1=> оо,

О п р е д е л е н и е . Пусть в некотором множестве У определено какое-то понятие сходимости, т. е. указано, какие последовательности считаются сходящимися и к какому пределу. Пусть эта сходимость названа (/) -схо­

димостью (запись: ук — ->у) *). Последовательность {yh}

из Y называется (*)-сходящейся к у <= У (пишем ук~ + у ),

если из любой ее частичной последовательности можно выделить подпоследовательность {ук } так, что

мость по отношению к сходимости по расстоянию в нем совпадает со сходимостью по расстоянию. Действитель­

ной, которая сходилась бы к у по расстоянию.

Таким образом, если в каком-то множестве У задано некоторое понятие (/)-сходимости, то для того чтобы множество У могло быть метризовано так, чтобы сходи­ мость по расстоянию совпала с (I)-сходимостью, необ­

мостью будет сходимость по мере, которая может не совпадать со сходимостью почти всюду (см. пример из VI. 5). Сопоставляя это с предыдущим результатом, мы видим, что в таком случае в S н е л ь з я ввести метрику так, чтобы сходимость по расстоянию совпала со сходи-

*) Например, Y может быть метрическим пространством, в ко­ тором (/) -сходимость определена как сходимость по расстоянию. Или Y — множество S измеримых функций, а (/) -сходимость опре­ делена как сходимость почти всюду.

§ 4]

мостью почти всюду. Тем самым сходимость по мере оказывается в некотором смысле проще, чем сходимость почти всюду, поскольку сходимость по мере может быть реализована как сходимость по метрике.

В связи с изучением пространства S остановимся вкратце на одном общем понятии, относящемся к произвольным множествам. Пусть в множестве М введено определение, согласно которому не­

В этом случае говорят, что в множестве Af введено отношение эквивалентности. Ясно, что отношение эквивалентности между функ­ циями из пространства S обладает перечисленными свойствами.

Докажем, что если в множестве М введено отношение эквива­ лентности, то М можно разбить на такие дизъюнктные подмноже­ ства, что все элементы каждого из этих подмножеств эквивалентны между собой, а элементы, входящие в разные подмножества, не эк­ вивалентны. Эти подмножества называются классами эквивалентных

лентны между собой. Действительно, у ~ х, z ~ х, и, используя симметричность и транзитивность отношения эквивалентности, сра­

требуемое разбиение на классы.

Допустим теперь, что в множестве М эквивалентные элементы «отождествляются». Строго говоря, это означает, что вместо М мы рассматриваем новое множество М' (называемое его фактор-множе­ ством), элементами которого служат классы эквивалентных между собой элементов из М. Однако, допуская некоторую вольность речи, мы иногда предпочитаем (как это и было сделано в отношении про­ странства S) обозначать множество с отождествленными элемен­ тами прежней буквой М, а его элементы изображать не в виде клас­ сов, а в виде элементов исходного множества. Но при этом каждый элемент из множества М в новом его понимании оказывается пред­ ставимым не только как некоторый определенный «индивидуаль­ ный» элемент исходного множества, но так же как любой элемент, ему эквивалентный (т. е. любой элемент из соответствующего клас­ са). Именно так мы и трактуем здесь пространство S, хотя, строго говоря, следовало сказать, что под S понимается не само множе­ ство всех измеримых почти всюду конечных функций на Е, а его фактор-множество,

Допустим, наконец, что в множестве Ai определены некоторые операции над элементами, не выводящие из А1 (например, сложе­ ние). Если эти операции «хорошо» согласованы с отношением эк­ вивалентности в том смысле, что при замене любых элементов на эквивалентные результат операции над ними тоже заменяется на эквивалентный элемент, то операции из М естественным образом переносятся в фактор-множество и могут рассматриваться как опе­ рации над классами. Это замечание полезно вспомнить при рассмо­ трении в следующей главе пространства L (см. VIII. 5).

Вернемся к изучению пространства S.

Т е о р е м а VII. 4.3. Для любого счетного множества

X г~~ Е

tfk (x )-T ^ 5 * 0

(напоминаем, что функции Д можно считать всюду ко­ нечными), следовательно, р(ЯД, Ѳ)—»0 при Я —►+ 0, и

Таким образом, последовательность {hh} — фундамен­ тальная и, вследствие полноты пространства S, суще­ ствует такой h е S, что p(hk,h)-+0. Это значит, что hk =$>h. Но тогда, по теореме ,Рисса (VI. 5.3), некоторая частичная последовательность hu. (х) —>h (х) почти всюду.

Так как функции hk образуют возрастающую последова­ тельность, то lim hk{x) существует в каждой точке. Вместе с предыдущим это дает, что почти всюду

h(x) = lim hk(x) = sup hk(x). Следовательно, почти всю­ ду на Е при любом k

akfk (*) < hk (х) < h (х).

Теперь мы можем усилить теорему о регуляторе схо­

при каждом р почти всюду на Е, то у всех этих последо­

Тогда g и будет требуемым общим регулятором сходи­ мости.

Действительно, при каждом р существует такая по­ следовательность Л4Р) —рц:00->0 , что

Если расположить все функции f\^ в виде матрицы

то требуемая последовательность {f(Äp>} получается так:

из первой строки берется элемент с номером ku из вто­ рой— элемент с номером &2, стоящий правее, чем

и т. д. Эту последовательность и принято называть диа­ гональной.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Ко всем последовательностям разностей [ ff — /р] и [fp — /} применим предыдущую

теорему и найдем их общий регулятор сходимости. Пусть это будет g. Далее находим а р -»0 так, что при лю­ бом р

! fp (х) — / (х) I < üpg 0*0 почти всюду на Е.

дует, что если бы мы попытались строить в евклидовом пространстве (или на его измеримом подмножестве) ана­ лог бэровской классификации функций, исходя из схо-' димости не во всех точках, а из сходимости почти всюду, то все свелось бы к определению функций 1 -го класса. Всякая функция, представимаяпочти всюду как предел последовательности функций 1 -го класса, сама была бы функцией 1 -го класса, и потому более высоких классов не получилось бы.

С помощью метрики в пространстве S можно сравнительно не­ сложно доказать одно интересное свойство этого пространства, на первый взгляд весьма не очевидное. Введем в пространстве S ча­

зывается, что в пространстве S справедлива классическая теорема о существовании точных границ у-ограниченного множества. Приве­

h ^ g. (Такую функцию h называют точной верхней границей мно­ жества Т.)

Однако если множество Т несчетно, то такое определение функции А, вообще говоря, невозможно, поскольку в этом случае функция,

мое множество, а Т состоит из характеристических функций всех

же время нетрудно сообразить, что точной верхней границей мно­

этому достаточно доказать существование точной верхней границы для множества Т'. Далее рассмотрим множество Т" всех функций

выполняется почти всюду на Е, причем множество меры 0, на кото­ ром это неравенство нарушается, может зависеть от f.

***) Если мы хотим, чтобы функция h была всюду конечной, то следует уточнить формулу (15) и на том множестве (меры 0), где supf(x) = + 00, положить Іг(х), например, равной "какой-нибудь ко­

нечной постоянной.

****) Измеримость функций ф доказана в Ѵ1.3.