книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

Т е о р е м а VI. 6.6. Если функция / измерима и почти всюду конечна на множестве Е с: Rn, то она эквивалентна некоторой функ­ ции 2-го класса. Точнее, существует такая функция g не выше 2-го класса, заданная на всем Rn, что / ( x ) = g ( x ) для почти всех X е Е.

=lim SUP {<Pfe (*)> Фй+1 (*)........Фй+р (*)}

не выше l -го класса, следовательно, g не выше 2-го класса.

Если функция f ограничена на Е, |/(х)| ^ М, то на основа­ нии замечания к теореме Лузина функцию g можно построить так, что и |g(x)|sg:M на всем Rn. В общем случае из наших построе­ ний не следует, что g непременно будет всюду иметь конечные зна­ чения. Однако, за счет некоторого усовершенствования доказатель­ ства, можно добиться, чтобы g всегда была конечной функцией.

/

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ОТ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ

§ 1. Определение интегралу Лебега

Классическое определение интеграла по Риману, при котором интеграл вводится как предел римановых сумм, рассчитано в первую очередь на то, чтобы интегрируе­ мыми оказались все непрерывные (в замкнутой ограни­ ченной области) функции, и хотя некоторые разрывные функции тоже интегрируемы по Риману, но класс таких функций весьма не широк. Это обстоятельство связано с тем, что при построении интеграла Римана область ин­ тегрирования разбивается на множества сравнительно несложной формы. Например, в одномерном простран­ стве промежуток интегрирования разбивается только на промежутки и используется лишь понятие длины проме­ жутка. Введение понятия меры позволило А. Лебегу дать новое определение интеграла, при котором класс инте­ грируемых функций оказывается значительно шире.

Кточному описанию конструкции интеграла Лебега мы

ипереходим. При этом мы не будем придерживаться пер­ воначальной схемы самого Лебега.

подмножеств из X, на которой задана мера р, а множе­ ства из © называются измеримыми.

*) Множество с мерой мы в дальнейшем, как правило, назы­ ваем пространством (с мерой).

интегралом (Лебега) функции f по множеству Е и обо­ значается j f сіц или (иногда) J /(x)c/p.

Поэтому, чтобы установить равенство К = L, достаточ­ но показать, что существуют разбиения т множества Е, для которых верхняя и нижняя суммы Лебега — Дарбу

*) Именно такой порядок: сначала разбивается промежуток, в котором содержатся значения функции, а уже по нему строится разбиение области задания функции, — и был положен Лебегом в основу его схемы определения интеграла.

составляются по тому же принципу, но при этом исполь­ зуются разбиения области D не на произвольные изме­ римые подмножества, а на множества некоторого опре­ деленного вида (например, тоже области). Следователь­ но, интеграл Лебега от непрерывной функции подавно заключен между суммами Дарбу. Но между суммами Дарбу для непрерывной функции можно вставить лишь единственное число — ее интеграл Римана, а потому

интегралы Лебега и Римана от непрерывной функции по ограниченной замкнутой области совпадают. К тому же заключению можно аналогичным образом прийти и для любой ограниченной функции, интегрируемой по

няется на все те k, при которых xh е Е *). Пользуясь фи­ зической терминологией, говорят, что в точке xh поме­ щен заряд [jfc, а тогда рЕ равна сумме всех тех зарядов, которые попадают в Е **). Ясно, что определенная таким способом функция ц — конечная мера в X.

Если теперь f — произвольная ограниченная функция,

ложительны, их можно было бы назвать также массами. Однако мы предпочли термин «заряд», имея в виду, что он сохранится в последующем и в том случае, кбгда положительные точечные на­ грузки заменятся нагрузками любого знака (см. XI. 1).

Иначе, полагая \і(х) равным для любого х е Е мере од­ ноточечного множества (х), имеем

f / Ф = Уf (х) Ц (х),

Е

т. е. интеграл равен «взвешенной» сумме значений функ­ ции / во всех точках множества Е. При этом значения

вточках, отличных от всех xh, имеют «вес», равный 0 .

2.Пусть в произвольном пространстве X с мерой р выбрано некоторое измеримое множество А. Затем для

ЕЕ(]А

Отметим без доказательства, что теорема VII. 1.1 до­ пускает следующее обращение: если ограниченная функ­

§ 2. Простейшие свойства интеграла

Перейдем к установлению ряда простых свойств ин­ теграла Лебега. Как правило, все функции, встречаю­ щиеся в дальнейшем под знаком интеграла, предпола­ гаются ограниченными, измеримыми, а интегралы бе­ рутся по множествам конечной меры. Одцако отметим, что если р £ = 0 , то любая ограниченная на Е функция интегрируема на этом множестве**). Это тривиальным образом вытекает из определения интеграла. Условимся также считать, что интеграл по пустому множеству от любой функции имеет смысл и равен нулю.

*) Без полноты меры р можно доказать, что если ограничен­ ная функция интегрируема, то она эквивалентна некоторой ограни­ ченной измеримой функции.

**) Это замечание представляет интерес, если только мера р — не полная (ср. предложение 6° из VI. 1).

ла). Пусть множество Е представлено в виде конечного или счетного объединения дизъюнктных измеримых мно­

жеств Ej (Е = \J E j). Тогда для всякой функции f, огра-

■ 1 ниченной и измеримой на множестве Е,

Д о к а з а т е л ь с т в о . Сначала покажем, что равен­ ство (2 ) справедливо в случае, когда Е разбито на два подмножества: Е = ЕХ\}Е2, причем Ех{]Е2 — 0.

Возьмем произвольное разбиение х множества Е:

и получим разбиение х' и х" множеств Ех и Е2 (соот­ ветственно):

Объединяя все множества е'( и е", получим новое раз­

Отсюда и из неравенств (3) (с учетом предложения 1°

в случае, когда Е разбито на любое конечное число дизъюнктных измеримых множеств.

оо

Переходим к случаю счетного объединения: Е — и * / .

/ = 1

00