книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

Е cz Rn и любого е > 0 существуют:

а) такое открытое множество G er Rn, что Е er G и что p (G \E ) < е;

б) такое замкнутое множество F er Rn, что F er E и

где Ар — ячейки, определенные формулой (14). По дока­ занной теореме существуют такие открытыеоомножества

GpZoEp, что Ix (G p \E p < е/2 р. Пусть G — (J Gp. Тогда

р=1

множество G — открытое, Е er G, а

G \ E c z (J (GP\ E P). p=i

Следовательно, p(G \.E ) < е.

б) Эта часть нашего утверждения вытекает из пре­ дыдущей за счет перехода к дополнениям. Действитель­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Аналогично (16) имеем p F ^ip E , если F czE .

Кроме того, если рЕ < +оо, то по предыдущему след­ ствию существует замкнутое множество F er Е с мерой, сколь угодно близкой к р£. Отсюда сразу вытекает формула (17).

п. б) того же следствия, устанавливается существование множества Н типа Fa, для которого H cz Е, а р (Е \ Н ) = = 0. Отсюда

р ( К \ Н ) = р ( К \ Е ) + р ( Е \ Н ) = 0,

у Е = = у Н + у ( Е \ Н ) = уН, уК = рЕ + у ( К \ Е ) — уЕ *).

Попутно мы доказали, что всякое измеримое множе­ ство представимо в виде объединения некоторого борелева множества (типа Fa) и некоторого измеримого множества меры 0 .

В заключение отметим без доказательства некото­ рые принципиальные факты. Движением в простран­ стве Rn называется всякое взаимно однозначное преоб­ разование R„ на Rn, при котором расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между их об­ разами. Множества £і и Е2 из Rn называются конгру­ энтными, если одно из них — образ другого при неко­ тором движении. Можно доказать, что если два множе­

только в случае уН < +оо,

Установлено, что в каждом из пространств /?„ суще­ ствуют неизмеримые по Лебегу множества. Более того, доказано, что ни в одном из пространств R n нельзя по­ строить a-конечную меру так, чтобы: а) она была опре­ делена для в с ех множеств из /?„; ß) была инвариант­ на относительно движения; у) мера любого параллеле­ пипеда совпадала с его объемом. В этом утверждении крайне существенную роль играет то, что мы включили в определение меры требование счетной аддитивности. Если понятие меры несколько расширить и допустить, что мера может быть лишь конечно-аддитивной, то, как

зультат установлен немецким математиком Ф. Хаусдорфом (1868—1942).

»

ства функции /, составленные на множестве Е', изме­ римы, то говорят, что функция f измерима на Е'.

2°. Если f измерима на множестве Е, то она измі

Е' [f(x)>a] = E'Ç]E[f(x)>a],

а потому ясно, что они измеримы.

3°.Пусть функция f задана на множестве Е, которое равно конечному или счетному объединению множеств

Еі [Б —(J Дг|. Если f измерима на каждом из Е4, то

она измерима и на Е.

Д о к а з а т е л ь с т в о . При любом а

Е [/ (х) > а] = (JEi [f (х) > а\,

и так как каждое из множеств в правой части изме­ римо, то и их объединение измеримо.

Частным случаем этого предложения является сле­ дующее.

4°. Пусть Е = (J Еь где все Еі (і = 1 , 2 , ...) изме­

римы. Если функция f, заданная на Е, принимает на каждом Еі постоянное значение, то f измерима на Е.

называется характеристической функцией множества Е.

Из 4° очевидным образом вытекает 5°. Если множество Е измеримо, то его характери­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку мера ц полна, всякое подмножество множества Е измеримо, а потому все лебеговы множества функции f измеримы.

Для функций в евклидовом пространстве отметим

ft=i где Fk замкнуты. По доказанной теореме функция / измерима на каждом Fk. Тогда ее измеримость на Ех вытекает из предложения 3°. С другой стороны, f из­ мерима на Е2 согласно предложению 6 °. А тогда / из­ мерима на Е.

При выводе простейших свойств измеримых функций (кроме предложения 6 °) использовано только то, что измеримые множества образуют а-алгебру, а значения меры ц при этом не играли роли. Поэтому при введе­ нии понятия измеримой функции достаточно предпола­

Например, если в качестве множества X снова взять пространство Rn, а в качестве © а-алгебру 53 всех борелевых множеств из Rn, то определение 2 приводит к понятию 53-измеримых функций. Эти функции назы­ ваются бэровскими, по имени французского математика

всякая функция, непрерывная на замкнутом множестве из Rn, 33-измерима на этом множестве.

§ 2. Арифметические действия над измеримыми функциями

В этом параграфе мы докажем, что арифметические действия не выводят из класса измеримых функций, т. е. если операции сложения, вычитания, умножения и деления применяются к измеримым функциям, то и ре­

постоянная оно измеримо (измеримость множества Е вытекает из измеримости функции f ) . Если k Ф 0, то измеримость лебеговых множеств (первого типа) про­ изведения kf вытекает из измеримости лебеговых мно­

Отсюда и вытекает, что все лебеговы множества пер­