книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из леммы V. 2.2 следует, что при любом конечном р имеет место неравенство (5). От­ сюда при р —» оо получаем, что

то

Неравенства (11) и (13) вместе и дают равенство (10). Пусть теперь нА = +оо. По произвольному е > О подбираем открытые параллелепипеды Aft, удовлетво­ ряющим тем же условиям, что и выше. Далее, задаем произвольное натуральное число N. Заменяя «бесконеч­ ные ребра» параллелепипеда А достаточно большими «конечными» и уменьшая достаточно мало «прочие реб-

Т е о р е м а V. 3.1. Функция ѵ, заданная на полуколь­ це &1 и равная для каждой ячейки ее объему, — а-конеч-

зана в V. 2. Наконец, пространство R n представимо в виде счетного объединения ячеек с конечными объемами, например, ячеек

à p = [ - p , р; - р , р; — р, р) (р = 1, 2, ... ) *). (14)

§4. Представление открытого множества

спомощью ячеек

ВII. 5 мы уже установили одну теорему о строении

открытых множеств в пространстве R n, Эта теорема была аналогом теоремы II. 4.1 о структуре линейного открытого множества лишь в одном отношении: произ­ вольное открытое множество представимо в виде объеди­ нения простейших открытых множеств — шаров. Однако эти шары могли пересекаться друг с другом. Сейчас мы установим, что всякое открытое множество в Rn может быть разложено (не единственным способом) на дизъ­

G a R n представимо в виде не более чем счетного объе­ динения дизъюнктных n-мерных ячеек с конечными реб­ рами**).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для каждого натурального m образуем разбиение пространства Rn на ячейки [а, Ь), где каждое из йі может иметь любое значение вида &/2 т , причем k — любое целое число (k = 0 , ± 1 , ± 2 ,...),

Пусть дано открытое множество G cz Rn. Будем счи­ тать, что G ф 0 ; в противном случае само G — ячейка. Из совокупности ячеек 1-го ранга выберем все те, ко­ торые целиком содержатся в G; множество этих ячеек обозначим 2 і (это множество может оказаться и пу­ стым) *). Далее, из совокупности ячеек 2-го ранга вы­ берем все те, которые целиком входят в G, но не содер­

чем счетно, а потому и множество Я — объединение не более чем счетного множества ячеек. При этом, по са­ мому построению, ячейки, из которых мы образовали множество Я, дизъюнктны.

Докажем, что G — Я. Включение Я a G очевидно по построению; остается проверить обратное включение.

сосчитать, что та ячейка m-го ранга, которая содержит точку Хо, сама целиком содержится в S(xo, е), а следова­

*) Поясним, что под Si мы понимаем м н о ж е с т в о яч е е к, а не множество всех точек этих ячеек.

как стандартное распространение объема ѵ, то, как от­ мечено в IV. 4, она полна, т. е. всякое подмножество множества меры 0 измеримо (и тоже имеет меру 0 ).

Так как мера Лебега порождена внешней мерой, то для нее справедлив критерий ^-измеримости (предло­ жение 4° из IV. 3) : если Е а Rn и для любого е > 0 су­ ществуют такие два измеримых множества А и В, что

оо

Е — (J £р> и потому Е тоже измеримо.

Р=Ро

Т е о р е м а V. 5.1. Каждое открытое множество и каждое замкнутое множество из Rn измеримы.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Измеримость открытого мно­ жества вытекает из измеримости ячеек и теоремы V. 4.1. Поскольку каждое замкнутое множество — допол­ нение к некоторому открытому, то оно тоже измеримо.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Измеримость открытых и замкнутых параллелепипедов вытекает из предыдущей теоремы. Проверим, что их мера совпадает с объемом.

Рассмотрим сначала открытый или замкнутый парал­ лелепипед А с конечными ребрами. Зададим произволь­ ное е > 0. Рассуждая, как в V. 2, легко подобрать две ячейки А' и А", для которых выполнены условия (8 ) и

(9). А тогда оА — е < ѵА" — рА" ^ (Д.А^ рА' — ѵА' < ѵА + е,

откуда ѵА — е < рА < ѵА + е и, вследствие произволь­ ности е, рА = ѵА.

Пусть теперь А = (а, Ь) — произвольный параллеле­ пипед с конечными ребрами. Вводим параллелепипеды Ао = (а, b) и А* = [а, Ь]. Тогда А0 ед А с: А* и рД0 =

ки, определенные по формуле (14). При всех достаточно больших р параллелепипед А и ячейка Ар налегают друг на друга, а тогда их пересечение Еѵ — параллеле­ пипед (с конечными ребрами). Следовательно, оно изме­ римо. Тогда, как отмечено выше, и параллелепипед А измерим. Ясно, что в А содержится и некоторая ячейка

Из доказанной теоремы, в частности, следует, что мера любого промежутка в Ri равна его длине. Тогда из теоремы II. 4.1 следует, что мера линейного непустого открытого множества равна сумме длин его составляю­ щих интервалов.

можно заключить в параллелепипед сколь угодно ма­ лого объема, то его мера равна 0 . Из измеримости од­ ноточечных множеств вытекает измеримость любого ко­ нечного или счетного множества. Мера такого множест­

щая все замкнутые множества из /?„. Совокупность © всех измеримых множеств из Rn — тоже ст-алгебра, со­ держащая все замкнутые множества из R n. Следова­ тельно, 23 а ©.

Однако совокупность 23 далеко не исчерпывается борелевыми множествами и существуют не борелевы из­ меримые множества. Этим подтверждается сделанное в IV. 4 замечание о том, что стандартное распространение может не быть минимальным. В пространстве R 4 мини­ мальным распространением объема ѵ с полукольца яче­ ек было бы его распространение на а-алгебру 23 борелевых множеств, т. е. сужение меры Лебега на 23.

Т е о р е м а V. 5.5. Внешняя мера любого множества Е а Rn равна точной нижней границе мер всевозможных открытых множеств G *), содержащих Е:

кk

*) Такие открытые множества G всегда существуют, например,

G .= Rn-