книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие

Яі = Dx. Далее имеем D i = ^ J C i k , Д>2 = (JСг/, где оба объ-

ft I

единения состоят из дизъюнктных множеств (входящих в 9î). Вве­ дем множества Bhi = Cu П С2і. Тогда Bki <= 31, дизъюнктны и об­

и потому рЯ = р*£.

Т е о р е м а IV. 5.1. Пусть р — стандартное распро­ странение меры пг с полукольца CÎ на о-алгебру ©, при­ чем мера р а-конечна, а ѵ — мера, представляющая рас­ пространение меры m на некоторую о-алгебру Z =э SR. Тогда рЛ = ѵА для всех А <= & f) Z. Если же, дополни­

/1=1

Далее, у каждого Яп существует не более чем счетное покрытие с помощью множеств из Я с конечными значениями меры т. Тем самым и все X обладает покрытием такого же типа. А тогда, благо­ даря предложению б) из I. 7, X допускает покрытие дизъюнктными множествами из 9Î с конечными значениями меры т:

ОО

Эта мера не сг-конечна. С другой стороны, мера ѵ, заданная,

например, так:

ѵ ( а ) = 1 , V (b) — 1, v 0 = O, vX = 2,

тоже представляет распространение меры т на ту же алгебру всех подмножеств из X, однако она не совпадает с р.

В заключение дадим еще одну характеристику стан­

Г Л А В А V

МЕРА ЛЕБЕГА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. я-мерные параллелепипеды

Вэтой главе мы покажем, как общий метод, разоб­ ранный в гл. IV, применяется для построения меры в

евклидовом пространстве R n■ Предварительно выделим в R n некоторые простейшие множества, представляющие

этом мы допускаем, что некоторые из этих чисел могут быть несобственными, т. е. возможно, что а* = —оо или

называется открытым (я-мерным) параллелепипедом.

Совокупность А* всех точек х е Rn, координаты которых удовлетворяют неравенствам

открытое) множество. Ясно, что_До — совокупность всех

внутренних точек из А*, а А* = До, т. е. А* — замыкание открытого параллелепипеда До. Если под граничными точками открытого множества понимать все его пре­ дельные точки, не входящие в него, то можно сказать,

граничных точек, тоже называется п-мерным паралле­ лепипедом. Таким образом, параллелепипед А — это лю­ бое множество, удовлетворяющее условию Ао с= А с А*. Ясно, что совокупность всех внутренних точек паралле­ лепипеда А тоже совпадает с Ао*).

Если —оо < ai < bi < + оо при всех і, то будем го­ ворить, что А — параллелепипед с конечными ребрами. Если же хоть одна из величин щ или Ь{ равна оо, то будем говорить, что параллелепипед А имеет бесконеч­ ное ребро.

Для произвольного параллелепипеда А введем обо­

(или, коротко, А = (а,Ь)). Если параллелепипед А—> замкнутый, то пишем

А[а^, а%, ^2>• • • >

(или, коротко, А .= [а,Ь])**).

В одномерном случае параллелепипед А произволь­ ного вида превращается в промежуток {а, Ь), который Может быть как открытым, так и замкнутым и полу­ замкнутым. Это обозначение промежутка (а, Ь) сохра­ няется в дальнейшем всюду, где тип промежутка не уточняется.

Будем, как обычно, говорить, что два параллелепи­ педа дизъюнктны или не пересекаются, если у них нет

*) Заметим, что определение «-мерного параллелепипеда при­ водит в случае, когда п — 2 (соответственно, п = 3), к прямо­ угольнику (соответственно, параллелепипеду) со сторонами (соот­ ветственно, ребрами), параллельными координатным осям.

**) В отличие от обозначений, принятых в математическом анализе, мы допускаем запись А = [а, b] и в том случае, когда не­ которые из величин а, или Ьі обращаются в оо.

Доказательство аналогично предыдущему: строим сетчатое разбиение параллелепипеда А на параллелепи­ педы (2 ) так, чтобы одновременно получить сетчатые

такие, которые не входят ни в одну из Tk (рис. 12), Поэтому

(на этот раз параллелепипеды А* могут налегать друг на друга).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку, не нарушая усло­ вия леммы, от параллелепипеда А можно перейти к па­ раллелепипеду, состоящему из одних его внутренних то­ чек, можно, не уменьшая общности, считать параллеле­ пипед А открытым. Кроме того, можно считать, что каждый из Ай пересекается с А (а, следовательно, и на­ легает на А), так как добавление лишних слагаемых в правую часть неравенства (6 ) только усилит последнее,

р

Тогда А = (J А*. Теперь, как и в двух предыдущих до-

k = \

казательствах, строим сетчатое разбиение параллелепи­ педа А на параллелепипеды (2) так, чтобы одновремен­ но получить сетчатые разбиения всех А*. Если Тк — совокупность всех тех из параллелепипедов (2 ), кото­ рые образуют сетчатое разбиение параллелепипеда А'к, то каждый из параллелепипедов (2 ) входит по крайней мере в одну из Тк, но может принадлежать и нескольким Тк. Поэтому из формулы (4) следует, что

дует, что 'ѵА — непрерывная функция от аргументов аг и

прерывности объема числа а\ и а'[ можно подобрать настолько близкими к ah aft; и ft" — к ft; (сохраняя не­ равенства (7)), что

Таким образом, для любого параллелепипеда А с конеч­ ными ребрами и любого е > 0 можно подобрать откры­ тый параллелепипед А' гэ А и замкнутый параллелепи­ пед А" а А, удовлетворяющие условиям (8 ) и (9).

Л е м м а V. 2.4. Если параллелепипед А представлен в виде счетного объединения попарно неналегающих па-

со

раллелепипедов Ак, А — (J Ak, то

k<=\

QO

оА = 2 vAk. *=I