книги из ГПНТБ / Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля

Приведенные на рис . 2.4 и 2.5 графики

иллюстрируют

зави­

симости, вычисленные

по формулам (7.36), от к0 х

величин

( М )

\Чз (frpt)

^22 ( М )

Хзя(к0к)

( А М ( 0)

'

^зэ(О)

'

0 Ц 2 2 ( О )

'

ajx3 3 (0)

д л я случая плоской

в е р т и к а л ь н о й преграды

ширины 2к (£0 = 0).

К а к видим, изменения этих величин в зависимости от к0к

имеют

т а к о й ж е х а р а к т е р ,

как и в случае кругового

цилиндра

(рис. 2.2).

П р и А*0 -v оо давление

р

=

рсиу

в точках плоской преграды оди­

наково с обеих

сторон,

и

поэтому при

А;0 —>- оо

коэффициенты

P-mm и Ктт

обращаются

в н у л ь

дл я любой глубины

жидкости .

Проведем

еще расчет асимптотических х а р а к т е р и с т и к Q m

(k0,Q)

функций излучения <рт ,

дл я которых,

согласно

(7.10) и

(7.32),

имеем

соотношение

я

В этой формуле прежде всего упростим

выражение дл я /, п о л а г а я

ch | 0

cos 9 =

d cos и,

sh £0

sin 9 =

d sin и,

tg и = t h g0 tg 9,

(7.43)

тогда

получимit

d=

(ch2 g0

— sin 2 9)' / ! ,

Qm

(k0,

9) =

j

e o

s

(i - u) [ H*jp- _

/ A o X ( S l l

£ 0

cos 9 cos tj

+

ch | 0

sin 9 sin TJ) ф

dr]

ф ~

k0xd).

S = S „

Подставив сюда выражения

(7.33)—(7.35)

и

принимая

во

внима­

ние (7.30),

а

т а к ж е

что

njmJm

(Р) =

j

c o s ' cos mt

dt,

(7.44)

окончательно

найдем

Ql

(к0,

0) =

2 я х / sh £0

cos u / x

(Р) -f-

+

njk0K2

sh £0

2 п + 1 Go)

2 п + Ь

£ Л 2 п + 1 , 1

п=0

С ' е 2 п + 1

Йо)

<?2

№о.

6) = 2 л

И / е Ь

ЕвS i l 1 U j

1 (Р) +

(7.45)

Se.•2п+1 (So)

+

я/с0 к2

ch

£

R 2n+l,

Ban+i.1 —

п = 0

S'e.2 n + l

(lo)

Q3

(k,

9) =

_

я к 2

sin 2 u / 2

(p) +

\

£

5 2 r ! , 2

^ " f "

'

i ? 2 n ,

§ 7 О П Р Е Д Е Л Е Н И Е Д И Ф Р А К Ц И О Н Н Ы Х Г И Д Р О Д И Н А М И Ч Е С К И Х С И Л

71

где

Р2п+1

2

(— 1)™ /42 n + i,2m+i{sh £ 0

cos 8 [cos 2 (m +

l ) u x

m=0

X / г т + 2 (P) — cos 2muJ2m

(P)] +

ch £0

sin О X

CO

X

[sin 2 (m -f- 1) u/2 m+2 (P) +

sin 2muJ2m

(P)]}

(7.46)

2

/ ™ 5 , i m {sh £0

cos 8 [sin (m -f-1) и / m + 1

(P) —

— sin (те — 1) uJm-x

(P)] — ch £0

sin 6 [cos (те +

\)u

X

X

J

m +

i

(P) + cos (те — 1) u / m _ i (P)]}. J

Рассмотрим

некоторые

частные

случаи.

Пусть

6 = л / 2

(d

=

>= shgg,

и

=

я/2) . Д л я

этого

направления

Q.ik,,

n/2)

= Q3(k0,

я/2) =

0,

со

R-2n+i =

7 Ch Е0

2

]тВ2п+1,

2m+l [^2m+2 ( M s

n £o) ~~ ^2m ( M s n

Ы1-

(7.47)

Следовательно, в направлении оси у излучение имеет место

только

при колебаниях в этом ж е направлении .

d =

Пусть

теперь

имеем

плоскую

преграду

=

0,

cos 8,

и =

0); тогда из общих

выражений (7.45) и (7.46)

получаем

i

&

= 0 ,

&

= Я V 2

£

52П+1.1

, 8 С 2 " + 1 ! ?

Й2П+1,

п—0

2п+1 (0)

So2 n (0)

R 2ni

(7.48)

Rn

= —

tg 8

V mjmBnmJm

(k0x

cos 8),

0

m=l

и, в частности, для направления

8 =

я / 2

будем

иметь

соотноше-

ние

П

7

Л

\

-7

2 V

Е.2

S e 2n+l(°)

f*2

v22 / >

<?2

[К

-2}

= —

2J

В2п+\л

————2n+i (0)

=

(7.49)

\

z

7

S e„„j_, (0)

которое

т а к ж е

вытекает

из

общих

формул

(7.10),

(7.11) и

(7.32)

при

8 =

я / 2 и

go =

0.

3. С о о т н о ш е н и я д л я д и ф р а к ц и о н н ы х с и л .

Установим

связь

между

проблемами

дифракции

и излучения

в

72

Д И Ф Р А К Ц И Я В О Л Н Н А П Р Е Г Р А Д А Х

Г Л . I I

теории дифракционных гидродинамических сил.

Пусть Хг, Х„ и

Х3

— соответственно проекции главного вектора

дифракционных

д л я

Хт

имеем

общие

формулы:

Хг =

pja

j

Ф cos (п,

х)

dl,

Х2 =

р/а

^ Ф cos (п,

у)

dl,

с

с

%з =

Р/°" \ Ф (х

c o s

У) —

У c o s

(«,

х)) dl,

с

или

па

основании

(7.2)

и

(7.0)

Х т

=

pjoe*<

Ch'XiZk

+ h

) J

(Ф0

+ Ф о )

dl

(т = 1,

2,

3). (7.50)

0

с

С

С

с

В соответствии с этим

для (7.50)

найдем

* — Р * - - * ! ^

f ( ф . ^ г

- Ф . - * >

( » • = » . 2. 3).

с

(7.51)

Фо с точностью до множителя jgr0jo

совпадает

с функцией / (к0, 6),

входящей в (7.10),

при 0 =

е ±

л. Поэтому

Хт

=

-

pgr0e^

ch'£{*k

+ h ) Qm

(*„,

г ±

л).

(7.52)

Следовательно,

п р и

дифракции

плоских

волн

на

вертикальных

жаются только через асимптотические характеристики

Qm

функ­

ций излучения

ф т .

Рассмотрим

некоторые

применения

общей

формулы

(7.52).

Пусть в е р т и к а л ь н а я

преграда представляет

собой

круговой

цилиндр радиуса а,

тогда,

сопоставляя

(7.25)

и (3.12) с

(7.9),

§ 7 О П Р Е Д Е Л Е Н И Е Д И Ф Р А К Ц И О Н Н Ы Х Г И Д Р О Д И Н А М И Ч Е С К И Х С И Л

73

получаем следующее

выражение для

векторной

асимптотической

характеристики Q

(Qlt

Q.,):

Q

K

e r

, - c „ s e +

J - s i n e , . ( 7 . 5 3 ,

Из формул (7.52) и (7.53) дл я равнодействующей возмущающих

сил

находим

р

2(Li(/cu )-(.//a)X(fc0 ))

dV0

)

(яА-„а/2/) //<2> (к0 а)

dt '

I

У °

~

K n a Г ° chk0h

'

k0

— k„ (i cos e -f- j sin e),

где

V„ — векторная

составляющая

скорости

набегающих

волн

в точках оси кругового цилиндра, перпендикулярная

к этой оси.

Принимая во внимание (7.22), убеждаемся, что выражение

(7.54) совпадает с выражением (6.17),

полученным

для е = тс

при помощи точного решения дифракционной

задачи в случае

кру­

гового цилиндра .

сечение вертикальной эллиптической

преграды. Д л я плоской пре­

грады

эти соотношения

значительно

упрощаются, в особенности

при

нормальном набегании

плоских

волн

(е =

— я/2) . В

послед­

нем

случае Хг

= Х3 = 0 и в

соответствии

с (7.49) и

(7.52) дл я

Xz

будем

иметь

^ г

=

Иг а (К)

" d T " " ^ ^ 2 2

^

^ 0 у '

V°"

а~к ° Г 0

C h c h f c 0 f e ~

(7.55)

где

Voy — составляющая

по оси у скорости набегающих

волн

в

точках плоской преграды, а ц.2 2

(/%) и Х22 (/с0) — обобщенные коэф­

фициенты присоединенной массы и демпфирования,

представлен­

ные на рис. 2.4 и 2.5.

Приведем приближенные

значения возмущающих

сил и момен­

тов при малых

кп1, где I — характерный линейный

размер

конту­

/ » 1 - f jk0 (х cos 0

у sin 0),

-|£-да jkt (cos 8 cos (п,

х) + sin 0 cos (п, у)) --= /&Jcos О ^ 1 - f sin 0 д - ^ ) }

I 7

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е Д И Ф Р А К Ц И О Н Н Ы Х Г И Д Р О Д И Н А М И Ч Е С К И Х С И Л

75

Рассматриваемое приближение (малые значения к01) соответ­

расположени я

контура С с однородным поступательным потоком

со скоростью

V0 (I). Формулы (7.57)—(7.59) вытекают из общих

F = 2 n ( 0 ) - ^ ,

Ж = 0 (fi(0) = pS). (7.60)

ф<!> =

'

dl

(7.61)

4

С

и вообще дл я s-ro

приближения будем иметь

ф(<0

/гг(2)/;

\ д ( $ т

(s—1)

д /1,(2)/, , ч

dl (s = l ,

2 , . . . ) .

(Пь

(Кгд

—

Фт fa

(но ( V i ) )

т т

(7.62)

лить

любое из

приближений Qm Д л я асимптотических

характе ­

ристик.

При таком методе вычисления асимптотических

характеристик

Qm необходимо

задавать нулевое приближение

на контуре С.

Д л я

определения наиболее рациональных значений нулевого

при ­

ближения на контуре С рассмотрим сначала круговой

цилиндр .

Выражение (7.25) дл я этого случая

показывает, что в точках

кон­

тура

С (х = a cos

0, у — a sin 0)

функции

излучения

ф г

и ф й

имеют

вид

фх

=

— схх,

ф 2 =

— с2(/, C l = с 2 =

ц (к0) — (Ца) X (к0)

с

я р а

,

— ^

>• х>°' , 5 =

2 .

76

Д И Ф Р А К Ц И Я В О Л Н Н А П Р Е Г Р А Д А Х

Г Л . I I

Согласно (7.41)

имеем

такой

ж е х а р а к т е р

зависимостей

дл я функ ­

ций излучения ф х , ф 2

и ф 3 в

точках

эллиптического

контура

пр и

'к0 -у 0. Поэтому в качестве

нулевого п р и б л и ж е н и я ф^'

в точках

симметричного

контура

С примем

аналогичные

в ы р а ж е н и я

Ф(10)

— С 1 Ж >

Ф 2 0 ) =

— с2г/,

ф (°) =

— с3ху

на

С,

(7.63)

где Су, с 2

и с3

— величины, относящиеся

к данному

контуру

С,

а именно:

pS

'

Су —

pS

Со =

f*33 (К) — (//°) ^33 (ко)

} (7.64)

р 7 — ^

/ =

[ ху (х cos (п,

х) — у cos (п,

х)) dl =

Jy

—

Jx,

с

где S — п л о щ а д ь , ограниченная контуром С,

a Jx

и Jy

— моменты

инерции этой п л о щ а д и относительно осей х и

у.

Очевидно, что такой выбор

нулевого

п р и б л и ж е н и я

совпадает

с точными

значениями

функций ф т дл я

кругового

контура

при

всех к0 и дл я эллиптического контура или малых к0. Н о

поскольку

п р и вычислении асимптотических характеристик

Qm

нас не инте­

ресуют сами значения функций Ф

г п на контуре С, а л и ш ь интеграль ­

ный результат,

определяемый формулой

(7.10), то местные откло­

нения в значениях функций ф т

на контуре

С от нулевого прибли ­

ж е н и я (7.63) не

могут

заметным образом

п о в л и я т ь на

результат

интегрирования,

в особенности

пр и малых

к0. Т а к и м

образом, на

Остроградского

получим

QT' (к0,

6) =

\

()к0

cos 9

(1 +

Cl) -

klclX)

f dS,

s

<?20) (fc0,

6)

=

\

(jk0

sin 9

(1 +

ca ) -

klc.zy)

f dS,

i

s

<2з0> (k0,

8)

=

f (jk0x

sin 8 ( 1 + c3 ) — jkQy

cos 9 (1 — c3) — к\,с3ху) / dS

(7.65)

Нулевое

приближение в виде

(7.63) предполагает

заранее за­

масс и демпфирования . Д л я

конкретных форм

контура С эти

значения могут быть найдены

экспериментально

акустическими

ных масс, то в качестве нулевого п р и б л и ж е н и я

ф ^

можно взять

действительные значения, определяемые теми

ж е

в ы р а ж е н и я м и

Д И Ф Р А К Ц И Я В О Л Н Н А К О Н Ц А Х П Л О С К И Х П Р Е Г Р А Д

77

(7.63),

в которых ст — действительные величины,

учитывающие

только

одни инерционные

эффекты. Д л я этого

случая

положим

ф £ = € > + / 1 ю

Ф & R e Ф # « Ф # и а

С >

( 7 - 6 6 )

и тогда

общая формула (7.62) позволяет определить

х т ф ^ ' н а кон­

приближении .

В самом деле, дл я функции Бесселя / 0 (к0гл)

имеем

интегральное

представление

l m [/Яо"' (Ay^)] =

\

ехр {— jk0 \(х — £) cos и -\- (у — r\) sin aj} da.

*

(7.67)

Па основании

(7.61)

и

(7.67) будем иметь

я

Im ф<р =

j

(Ay «) ехр [— /А-0 (ж cos и - f у sin и)] da,

(7.68)

N — 11 — cos (8 •— и)] \

exp {jk0

[x (cos Э — cos u) - f

(7.69)

's

-f- у (sin 6 — sin u)}} dS.

§ 8. Дифракция

волн

на

концах плоских преград

1. В е р т и к а л ь н а я

п о л о с а с о т к р ы т ы м к о н-

=

г- Ау„ sin ее-jh°x

c o s Е

ду

а

0

"

^ 1

при

у — 0

и

х>0.

(8.1)

4>п(х, — у) =

— Ф в ^ - У)>

Рис. 2.6.

Ф х ) ( х , 0) = 0

при х<0.

(8.2)

78

Д И Ф Р А К Ц И И П О Л И Н А П Р Е Г Р А Д А Х

Г Л . I I

величиной

Im к0 <

0, которую в окончательных решениях

следует

устремить

к нулю .

Наличием

малого значения l m

к0 < 0

учиты­

вается небольшое

поглощение

энергии жидкости,

обусловленное

вязкостью . Ф о р м а л ь н ы й

ж е п у т ь

перехода

к комплексным

волно­

вым числам сводится к введению фиктивных

малых

рассеивающих

сил,

пропорциональных

первой

степени

скорости.

Ф у н к ц и ю

р а с с е я н и я

q>D (х,

у) представим при помощи

диполь -

ного

распределения

4>D

У) =

1

д

ФБ (I)

н о } ( V i )

т

ду

2)

(8.3)

ф -

(х)

=

l i m ф

(х,

у),

Гу

=

((х

Ъ)г

+

у*)т.

у-*-0

Удовлетворяя

граничному

условию

(8.1),

получим

6

=

— 2j —

r0 fc0

sin ее -J"»x c o s e

при

у =

0

и

х > О

1 < х

е

Н а

основании

волнового

уравнения

(6.6)

предыдущее

соотноше­

ние

примет

вид

со

( • & +

1' ^

(?) Я « 2 )

(k0\x-t\)dt=2j-£-

rok0 sin

е е - Л - «» «

х

у

о

( х > 0 ) .

Полученное

интегро-дифференциальное

уравнение

можно

упрос­

тить.

Д л я этого

его

следует

рассматривать

как

обыкновенное

дифференциальное

уравнение

второго

порядка и

учесть

только

то

решение,

которое

исчезает

при х - » -

оо.

В

результате

найдем

СО

f ФЪ (5) H$\K

\ x - \ \ ) d \

=

Аег»ъ*

+

2

/

g ;

e - i M cos в

х > О,

0

°

(8.4)

где А

— некоторая постоянная, определяемая из условия ф~ (0) =

Интегральное

уравнение

(8.4)

п р и н а д л е ж и т

к

классу уравне ­

ний

Винера

— Хопфа

1Ъ5' 6 0 '

^

1 3

5 ] .

Согласно

общей теории

та­

ких

у р а в н е н и й

построение

решения сводится

к

факторизации

образа двухстороннего

преобразования

Л а п л а с а

или Ф у р ь е

ле­

вой

части

у р а в н е н и я

(8.4).

Н а р я д у

с этими методами к

уравнению (8.4) применим

метод

интегральных преобразований п р и помощи цилиндрических

функ­

ций

е чисто мнимым

индексом

[ 1 5 '

2 4 ' ^

3 7 ] .

Эти

интегральные