Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 335 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

«0

Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Е П О В Е Р Х Н О С Т Н Ы Х В О Л Н

Г Л . I

в о л н е н ия полагаем, что возвышение свободной поверхности в ка кой-либо фиксированной точке представляет собой наложение

.большого числа синусоидальных колебаний со случайными ам плитудами, частотами и фазами:

К (t) =

2 > 4

cos [o0t

— (9, + Д 0 4 * ) ] ,

(5.1)

где a0 — средняя частота колебаний, 9; и Ао"; — случайные вели чины, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, а г; — случайные амплитуды . П р и этом считаем, что среди значений г, отсутствуют такие, которые были бы значитель но больше большинства остальных .

Введем обозначения

	п	Гг cos	(Aoit
a =	^	Гг cos	(Aoit	- f	9j) =	г cos 9,
	i = 1					(5.2)
	n
P =		sin	(Aoit	+	9i) =	r sin 9

Тогда выражение	(5.1)	примет	вид
		=	г cos	( a „ i - 6 ) .	(5.3)
Легко видеть,	что	случайные		величины а и Р при	п - > оо

имеют один и тот же нормальный закон распределения. В самом деле, а и р определяются к а к суммы независимых величин, и среди них не имеется слагаемых, значительно превосходящих по своей ве личине большинство остальных слагаемых . В этом случае удов

летворяются условия

предельной

теоремы

Л я п у н о в а

[3> 1 3 ] ,

со

гласно которой при п - > оо случайные

величины а и р

имеют

нор

мальный закон

распределения с

плотностями

вероятностей

(a)

и / 2

(Р),

определяемых

по формулам

' • < Я > - 7 1 Г 4 ' ( - £ ) •

' • » > - 7 S ? e i p

( — £ ) •

( 5 ' 4 )

где

постоянная

у представляет

собой

дисперсию

случайных

ве

л и ч и н

а и р :

оо

у — а 2 =

Р2 =

J x2fi

2 (х)

dx.

—оо

В справедливости

равенств

(5.4)

можно

т а к ж е

убедиться

на

основании

следующих

соображений .

Величины а и р

можно

рас

сматривать

как

координаты

точки

плоскости

ap,

г =

(а 2 +

- j - р 2 ) 1 г

— как

расстояние

этой

точки

от

начала

координат .

§ 5	Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О Г О В О Л Н Е Н И Я							4f
Поэтому, если f(r)—			двумерная плотность			распределения		величины
г, то, согласно		теореме умножения вероятностей, следует, что ве
роятность пребывания величины г между						г и г -f- dr	определяется
равенством
				J (г) dr =/ 1 (а)/ я (Р) 2т dr.
Л о г а р и ф м и р у я		и дифференцируя это соотношение,					получим
\	f(r)	г	j	г	Д ( а )	/г ((5)
Проведем	теперь сравнение				коэффициентов при дифференциалах
da и d$:

f (г)	1_\ _1_ _	/'i («) =	/2 (Р)
f(r)	г j г	а / х ( а )	р/,(Р)

! _

у •

Интегрируя эти уравнения с учетом условия нормировки

		]fU2(x)dx		= l,		\f(r)dr	=	i,
	— 00					6
получаем дл я / х и / 2			равенства			(5.4), а дл я двумерной			плотности
вероятности	находим		выражение
			/ W =		у « Р ( - - $ - ) > •				(5.5)
совпадающее	с двумерным				распределением			Максвелла, хорошо
известным в	статистической				физике.
Если функция		плотности			вероятности		известна, то		легко най
ти интегральный		закон		распределения. Имеем
	F(x)	=	\j{x)dx,		f ( r ) = e x p ( - - g - .				(5.6)
			X

Интегральный закон распределения F (г) является вероятностью превышения, которую в гидрологии и океанографии принято на зывать обеспеченностью. Соответственно с этим F (г) называется функцией обеспеченности, а / (г) — функцией повторяемости.

Постоянную у в (5.5) и (5.6) можно выразить через среднюю амплитуду колебаний г, воспользовавшись дл я этого формулой (М — симвел математического ожидания)

со
х = Мх = \х]	(х) dx.	(5.7)
о
Отсюда находим у = 2 / 2 / л , и поэтому
' « - £ - « р ( - • £ ) •	™ - « р ( - - £ ) •	«г-»)

Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Е П О В Е Р Х Н О С Т Н Ы Х В О Л Н

Г Л . Т

Т ак как высота волн h равна удвоенной амплитуде, то функции повторяемости и обеспеченности высот имеют тот ж е вид:

Выясним теперь законы распределения других элементов волн. Рассмотрим закон распределения длин волн X. Прежде всего за

метим,

что X и h имеют одну и ту

же размерность

длины,

поэтому

нетрудно

убедиться,

что X подчиняется

тому

ж е з а к о н у

распреде

л е н и я ,

что и величина

самом деле, воспользуемся

понятием

крутизны

волн

б, я в л я ю щ е й с я

отношением

случайной

высоты

к случайной длине X. Д л я однозначности этого определения

следует

ввести

такую к р у т и з н у

б*,

которая

соответствует

длине

высоте

волны

одинаковыми

обеспеченностями,

т. е.

где

— длина

волны,

имеющая

р а в н у ю обеспеченность

высо

той

h*.

В силу этого линейного соотношения и формул (5.9)

имеем

Д л я

того чтобы определить закон распределения периода

волн,

используем известную из теории вероятностей теорему. Е с л и /

(х) —

плотность вероятности случайной величины х, связанной

дру

гой

случайной

величиной

функциональным

соотношением

—

— ф (у),

то интегральный

закон

распределения случайной

вели

чины у

определяется

формулой

<р(у)

F(y)

f(x)dx.

П о л а г а я

в этой формуле X =

ф (т)

#т2 /2я.

(мы

рассматриваем

жидкость

неограниченной

глубины),

получим

dF,_

ят»

ят" \

=уГШ_

(5-11)

Величину т 0 можно выразить через средний период волн т,

воспользовавшись при

этом

формулой

оо

e~tvdt=

J _ r ( - ^ ± J - ) .

(5.12)

Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О Г О В О Л Н Е Н И Я			43
Определяя т при помощи	(5.7), (5.11) и (5.12),	найдем
т « = \ / т т ж -			( 5 - 1 3 >
При неограниченной	глубине жидкости	фазовая	скорость в

связана с периодом х линейным соотношением с = £ т / 2 я , и по этому закон распределения для фазовой скорости совпадает с за коном распределения дл я периода. Остается еще определить за

кон распределения д л я крутизны				волн	б = ЩК, который			найдем
п р и помощи следующего положения теории вероятностей.									Если
случайные положительные			величины h		и К имеют		общую		плот
ность	вероятности / ,	то их	частное	б =	h /Я имеет		интегральный
закон	распределения	следующего		вида:
			(Л/ СО	(h) dh dk.
	F	(б) =	j	(h) dh dk.
			о 6Х
Отсюда находим
	Ь%		26*6	/	%	?	- \
Функции обеспеченности удобнее в ы р а ж а т ь не							через	средние
значения случайных		величин, а через их медианы,					т. е.	отнести

случайную величину к величине с обеспеченностью в 50%. Обо значая величину с обеспеченностью, равной 50%, через хш, имеем соотношение

j " / (х) dx = \ / (х) dx —

0хм

Всоответствии с этой формулой и приведенными выше функциями обеспеченности находим

АН =	2 Л ( / — ,	т м =	т Г(5Д}	.		(5.15)
Величины Я,„ и сы	определяются	аналогичными			формулами.
Примем в качестве независимой переменной х функцию обес
печенности, а за функцию у отношение			длины	или высоты		волны
к их медиане. Тогда для высот и			длин	волн	имеем	выра
жение
	y = V — I n s / I n		2,			(5.16)

вытекающее из (5.9) и (5.15). Обозначая далее через z отношение

периода или фазовой скорости к их медиане, получим	аналогичное
соотношение
z = \ / — In ж/1 п 2.	(5.17)

44	Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Е П О В Е Р Х Н О С Т Н Ы Х В О Л Н	Г Л . I
На рис. 1.5	и 1.6 представлены зависимости у (х) и z	(х), а т а к ж е
изображены	опытные кривые обеспеченности [ 8 ]	(штриховые

линии), показывающие хорошее соответствие с теоретическими кривыми .

Отметим еще, что характер рассеяния случайной величины t определяется величиной дисперсии dt и коэффициентом изменчи

вости

ct',

значения

этих

величин вычисляются

по

формулам

dt = М (t — t)2

(*2 — t2) f (t) dt,

a =

Vdt/l

(5.18)

Из этих

формул

получаем

следующие

в ы р а ж е н и я !

d h ^ [ ± - l ) h 2 ,

• Г3 (5/4)

(5.19)

- Г 2

(5/4)

Г2 (5/4)

Г(5/4)

2. С т а ц и о н а р н о е

н е р е г у л я р н о е

в о л н е

н и е .

Приведенные

выше

в ы р а ж е н и я

дают л и ш ь

статистические

распределения

отдельных

эле

ментов

нерегулярного волнения,

которое,

однако,

полностью не

характеризуют

сам

процесс

рас-

VNX

Рис.

1.5.

пространения нерегулярных волн. Кинематическое описание слу

чайного	процесса	распространения	н е р е г у л я р н ы х	волн в	общем
«лучае наталкивается на большие трудности. В случае ж е					развив
шегося	ветрового	волнения имеем	установившееся	нерегулярное

волнение. Такого вида стационарные случайные процессы описы ваются стационарными случайными функциями, к которым при меним метод и х представления стохастическими интегралами Ф у рье — Стилтьеса [9 Ч. Вследствие этого определение стационар -

Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О Г О В О Л Н Е Н И Я

ного поля нерегулярного волнения может быть выполнено при помощи обычных методов линейной теории волн.

Проиллюстрируем сказанное вначале на примере установив шегося двумерного нерегулярного волнения. В этом случае имеем

плоскую		задачу			о волнах	К о ш и	— Пуассона, в которой потен
циал скоростей Ф (х, z, t)						удовлетворяет уравнению Л а п л а с а , гра
ничным	и	начальным условиям
dt*			g—^-		= U при z = О, lim У Ф = О при z-*-				— оо,
		1	5	dz
Ф (х,			0,	0) = U (*),		Ф* (х, 0,	0) = U (*)	(Ф* =
где /\ (х)	и / 2 (х)				— стационарные		случайные	функции,	задающие

начальное распределение потенциала и его производной при z = 0.

Ути	функции	можно	представить	стохастическими интегралами
Фурье — Стилтьеса			оо
			оо
		/s (х) = f е-*™ dZs		(к) (s = 1, 2),	( 6.20)
			S
где	Zj (/с) и Z 2	(/с) — случайные функции с независимыми			прира
щениями, которые можно рассматривать как случайные					ампли
туды.
	В соответствии с общей теорией стационарных случайных функ
ций	математическое		ожидание	произведения дифференциалов

функций Zs определяет спектральные плотности iSs (к) в следующей форме:

	М	[dZs (к) dZ\ (к,)] = - ^ S s (к) б {к — к,) dk dklt					(5.21)
где	6 — дельта - функция Д и р а к а				и спектральные плотности Ss (к)
характеризуют спектр энергии (см. ниже) .
	Применяя	метод	Фурье,	легко	установить	соотношение
	Ф (х,	z, t) =	; j Х - е Я я ' - ^ Н * * dZ (к) {a = Ygk),				1
							(5.22)
	dZ =	A-ldZ,	— -!-	dZai,
где	функция	Z (/с) удовлетворяет			аналогично	(5.21) соотношению
	М	[dZ (к) dZ* (к)] =			5 (/с) б (А — fcj dft dkx.		(5,23)

Формула (5.22) приводит к следующему выражению дл я возвы шения уровня свободной поверхности:

оо

Ь (х, t) = - i -

0 = | *«°t-**> dZ (Л).

(5.24)

	Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Е П О В Е Р Х Н О С Т Н Ы Х В О Л Н			Г Л . I
Рассмотрим		две точки волнового профиля в моменты		времени
t п t	- j - т. Математическое		ожидание произведения волновых ор
динат	Ь (х,	t + т)	определяет к о р р е л я ц и о н н у ю	функ

цию, которая в силу условия стационарности зависит только от | и т:

Я	(£, т) = Л/1* (ж,	) 3 ( + g, * +	т)].	(5.25)
Подставляя сюда	в ы р а ж е н и я (5.23) и (5.24) и		п р и н и м а я	во вни
мание тождество
оо
[ е д(°-о,)-<л-й,)]		s (к — fcj dkj. =	1,
о

получим соотношение менаду корреляционной функцией и спект ральной плотностью

	оо
К(\, т) =	— J"	S (k) dk,	(5.26)
из которого, в частности,	находим
	со

где на основании (5.25) d^ — К (0, 0) — значепие дисперсии вол


новых	ординат.
Отметим			некоторые	свойства		корреляционной					функции
К (g, т). П р е ж д е всего из определения						(5.25) и условия				стационар
ности	следует, что К (—£,			—т) = i£	(£,	т), так		ка к в (5.25)			всегда
можно	заменить ж на х — \| и £ на				£ — т,		и	от этого		в	связи с
условием		стационарности		к о р р е л я ц и о н н а я			функция		не	изменится.
Д а л е е из		неравенства
	ЬЦх,		1) + ЬЦх + 1,	t + r)>=F2b(x,			t)i(x	+ t,	t + т)

после осуществления операции М (математическое ожидание) по лучим

			db = К (0,		0) >	\| К (I, т) \|.
Положив в (5.26) £ = 0 и т =					0, будем иметь две частные						формы
	" о								о		(5.28)
Из этих выражений путем				обратных		Фурье-преобразований					можно
определить	спектральную			плотность				S (к)	через К	(0, т) или
К (I, 0). Имеем		оо						оо
		оо						оо
— S (к) =		\	К (0,	т) e-w	dx =		2	\ К (0,	т) cos от	rfr,	(5.29)
		ОО					ОО
5	(к\ - 2	[	Л' (1,	0)	6 d£ =		4 J i t (£,		0) cos Щ dg.		(5.30)

Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О Г О В О Л Н Е Н И Я

Т а к им образом, спектральная плотность двумерного нерегуляр ного волнения в идеальной жидкости полностью определяется при помощи корреляционной обработки волнения в какой-либо одной точке или ж е путем обработки волнового профиля в произвольный момент времени.

Определим теперь поверхностную плотность волновой энергии.

Величина	этой энергии,			согласно	§ 2,	определяется выражением
			о	дФ
	Ew=±p		j "	дФ		dz + -ту	pgP.	(5.31)
				дх		dz + -ту	pgP.	(5.31)
				дх
			— ex
Составим среднее значение величины Ею.						Д л я этого	воспользуемся
формулами	(5.22)	— (5.24), после			чего	получим
					оо
	E~w	=	MEW	=-^pg	F S (к) dk = pgdb.			(5.32)
					о
Отсюда	следует,		что спектральная плотность S				(к)	определяет

энергетический спектр, а дисперсия волновых ординат пропор циональна величине полной поверхностной плотности энергии.

Аналогичным путем вычислим среднее значение потока энер гии, п о л ь з у я с ь формулой

•—-со

В результате придем к соотношению

оо

6 показывающему, что спектральные составляющие энергии пере-

			1	,
носятся	с групповой скоростью и =		-трС, где с =	g/o — фазовая
скорость.
Д л я	многих стационарных случайных процессов корреляцион
ную функцию К (0, т) аппроксимируют в виде
	К	(О, т) = dbe~a^\	C os р0 т,	(5.34)
где в рассматриваемом		случае двумерных волн а 0		и % — положи
тельные	постоянные, зависящие от интенсивности			волнения . Соот

ветствующая спектральная плотность определяется из формулы (5.29)

2-S(k) = dba{		1	+	1	(5.35)
	(о +	p0)» + al		( о - Р 0 ) * + о8

Следует, однако, отметить, что влияние молекулярной вяз кости нарушает стационарность нерегулярного волнения даже в предположении стационарности начальных функций / х (х) и / 2 (х).

48 Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Е П О В Е Р Х Н О С Т Н Ы Х В О Л Н Г Л . t

Д е й с т в и т е л ь н о,			в соответствии с данной в § 2 оценкой, формулы
(5.22) и (5.24)		необходимо видоизменить следующим						образом:
	Ф	j	J JL e-2vh>t+№-kX)+kz	d Z fa	^	k = °* '	g
							g		(5.36)
									(5.36)
	Ь =	j	e-avft««+i(ff-ft) dZ	(k).
В этом случае к о р р е л я ц и о н н а я функция						зависит уж е не только
от £ и т, но и от времени t:
									(5.37)
Следовательно, учет м о л е к у л я р н о й					вязкости		осложняет опре
деление	спектральной плотности			S (к)	через значения				к о р р е л я
ционной	функции и, в частности, в ы р а ж е н и е						(5.37)		при g — О
не обращается. Однако, как это было показано в 5 2,									м о л е к у л я р
н а я вязкость оказывает заметное в л и я н и е только на высокочастот
ную часть спектра волнения . Во всем ж е остальном								преобладаю

щем диапазоне частот м о л е к у л я р н о й вязкостью можно	пренебречь.
Поэтому развившееся нерегулярное волнение в м а л о в я	з к о й ж и д к о

сти можно

с достаточной

дл я п р а к т и к и

точностью

рассматри

вать ка к стационарный

случайный процесс.

Перейдем

к рассмотрению

трехмерного

нерегулярного

волне

н и я . В этом

случае

начальные функции / х

и / 2

зависят

уж е от

двух переменных х и у, и при условии стационарности имеет

место

аналогичное

интегральное

представление

2Я оо

ft (х, у) =

( е-М*c o s

е) dZs (к, 8)

(s - 1,

2).

о о

Вследствие

этого

вместо

формул

(5.22) — (5.24)

будем

иметь

2я оо

Ф {X

y , Z , t )

')^

| JL

е№-ЩХ

cos е+у sin e)l+kz

2л

Ь (X,

у, t ) =

j j

eRai-Hx

cos t+y sin e)] az

(к,

г),

(5.39)

о о

(к, в) = - £

dZ1(k,

s) — -^-dZ2(k,

е)

[dZ (к, е) dZ* (klt ej ] =

^ j

- S (к, e) б (к -

к,) б (Е -

ех )

(5.40)

dk dz dkx

dev

§ 5 '	Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О Г О В О Л Н Е Н И Я	49
Ф о р м у л ы (5.38) и (5.39) в ы р а ж а ю т результат н а л о ж е н и я		пло

ских волн, имеющих случайные амплитуды и распространяющихся

по

всем

направлениям . Ф у н к ц и я

же S (к,

е) является

двумерной

спектральной

плотностью.

Ь (х, у,

Вычислим

корреляционную

функцию

связи

между

и Ь (х

|, у

-f- ц, t

-f- т),

п о л ь з у я с ь соотношением

К(g,

ть

т) =

М[Ь(х,

у,

t)b(x

+ l,

у + ц, t + т)],

(5.41)

где

в связи с условием стационарности функция К зависит

только

от

| , т) и т. Кроме

того,

так же как и для двумерного

волнения,

к о р р е л я ц и о н н а я

функция

обладает

свойством

четности и

>•

К | (!, т], т ) | ,

где

d^~

(О, 0,

0) — дисперсия ординат

трех

мерного

волнения .

Подставив

(5.41)

в ы р а ж е н и я

(5.39) и

(5.40), получим

2я

оо

( | , Т), Т) =

5 -

(к,

cos e-ft] sin

e)] ^

de.

(5.42)

Отсюда

имеем

2л

оо

dg =

-rSr

\ kS

(k, e) dk ds.

(5.43)

о о

П о л а г а я

далее в (5.42) т =

0 и совершая обратное Фурье - преобра

зование,

найдем

(к,

е) =

j ' j Я

(I,

г),

0) e'f t <»0 0 8

8+n s i n

£ ) d£ dr].

(5.44)

—со

Выражение (5.44 ) показывает, что спектральная плотность S (к, Е ) может быть определена путем корреляционной обработки волно вой поверхности дл я произвольного момента времени, и тем самым можно получить полную статистическую информацию о трехмер

ном нерегулярном	волнении.
Положим теперь	в	(5.42) \ = н =		0:
		со	/ 2 л	\
К(0, 0, Т ) =		^ Ы		8)(FEB«d(-5i).	(5.45)
		о	\о	/

Обратное Фурье - преобразование д л я этого случая приводит к соот ношению

2 я со

-А- У±	§ S(k,	е) de = \| К (0, 0, т) е-& dx,	(5.46)
	0	—со

из которого следует, что корреляционная обработка одной точки свободной поверхности для разных моментов времени дает л и ш ь частичную статистическую информацию.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 335 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20234.21 Mб11Харрик И.Ю. Функции многих переменных.pdf
#
25.10.202314.52 Mб47Харт Э. Гидратированный электрон.pdf
#
19.10.20236.15 Mб7Хартович, Ю. И. Вибрационный выпуск руды.pdf
#
23.10.20236.99 Mб9Харчева Л.И. Концентрация производства и эффективность ее современных форм.pdf
#
29.10.20233.77 Mб18Харченко К.С. Практика профильного шлифования.pdf
#
25.10.202312.5 Mб41Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля.pdf
#
23.10.20234.62 Mб15Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
#
29.10.20234.32 Mб19Хацкелевич В.А. Расчет режимов генератора при анодной модуляции на новых лампах.pdf
#
24.10.20239.84 Mб6Хачатрян Х.А. Стабильность работы почвообрабатывающих агрегатов.pdf
#
22.10.202314.34 Mб31Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf
#
19.10.20237.4 Mб111Хаяк, Г. С. Инструмент для волочения проволоки.pdf