книги из ГПНТБ / Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля

Тогда в соответствии

с (2.59)

и (2.60) получим

Ет =

1

Nwc

=

1

pgr2u,

-£- pgr2,

- у

e ^ U ( « c o s e + ysine),

и

= ±с(1

+

^

Ц

( c = T ^ ) ' ( 2 - 6 1 >

энергии

с

групповой

скоростью.

Проведем

еще

оценку

величины

р а с с е я н и я

волновой

энергии

в в я з к о й

жидкости,

п о л ь з у я с ь

соотношением

dEdt

• =

— J у dx,

(2.62)

где у — величина рассеянной энергии в единице

объема

жидкости

за

единицу времени,

определяемая

д л я несжимаемой

жидкости

формулой [2R> Щ

V = ц

2 [[

ЬУ„

\ 2

I

9Vy

у

i

dV,

SV,

dVv

\ 2

дх

) 1

\

ду

/

1

\

dz

\

ду

1

dz

г

•.

dz

^

дх

J

^

[

ду

~

дх

] j

\

Р

П р и

плоском

движении

Vy

— 0,

Vx

=

Vx

(х, z),

Vz

— Vz (x, z),

и

поэтому

предыдущее выражение

упрощается:

(

f

dVv

\ 3

/

dV7

( dVx

d V z

I

dz

~^

dx

Д л я

приближенного

вычисления

величины

у

воспользуемся

неограниченной

по

глубине:

Vx =

— jkO, Vz =

кФ,

Ф =

jcrehz+J(ot-kx).

Тогда д л я среднего

значения

величины

у

будем иметь

ус

=

4цА4 с2 г*е2 *г

(с =

g/o,

к

= o2/g).

= J ydz = 2 u # 2 r 2 .

(2.63)

§ 2

Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Е П Л О С К И Х В О Л Н

31

и мы опять получаем,

как и в ранее установленных

в ы р а ж е н и я х

(2.51),

(2.52),

rt =

re~2vhH.

Выше

отмечалось,

что м о л е к у л я р н а я

вязкость

воды

оказывает

заметное

влияние

на

затухание весьма

коротких

волн . Д л я волн

больших

размеров

(к

~ 1 м) основную

роль играет

турбулентная

вязкость,

з а в и с я щ а я от масштабов движения . Известно,

что энер­

гия турбулентного

движения

переходит от пульсации

скоростей

шими масштабами,

почти

не рассеиваясь, и

лишь при переходе

к самым мелкомасштабным

пульсациям энергия переходит

в теп­

ло, т. е. влияние

молекулярной вязкости

сказывается

только

скорости

Av

на

этом расстоянии, плотность жидкости р и

уско­

рение силы тяжести g, поскольку рассматривается волновое

дви­

жение в тяжелой жидкости. Поэтому при неограниченной

глубине

жидкости

yt

и Et

зависят от четырех размерных величин

А у, I ,

(2.64)

где / х

и / 2 — некоторые

универсальные

функции.

Н а

основании первого

соотношения

в (2.64) можно

определить

коэффициент турбулентной

вязкости

в

виде

(it = / х

(Av/]/gl)

рШ;

(2.65)

скорости Avll так же ,

как и

дл я с л у ч а я

м о л е к у л я р н о й вязкости

ъ

=

^(АиЦ)\

(2.06)

Соотношения (2.64)

и

(2.65) я в л я ю т с я

весьма общими, и их

сылок рассмотрим потенциальное приближение,

соответствующее

плоским волнам малой амплитуды, и положим / =

X и Av — v0 —

=

га

exp

kz,

где v0 — орбитальная скорость частицы. Т а к а я пред­

посылка

я в л я е т с я

естественной,

п о с к о л ь к у на

расстоянии

длины

волны К изменение скорости волнового д в и ж е н и я того же

порядка,

что и скорость v0

орбитального д в и ж е н и я

частицы. В соответствии

с

принятым

получим

Y, = / (rkehz)

р e 3

h

z ,

[*t

= f (rkehz)

piaXehz,

Et

=

U(rk)prW,

(FC

=

£

=

(2.67)

причем дл я Et

взято

значение

v0

при фиксированном z, так

как Et

не

зависит

от

z.

В связи с уж е принятым

потенциальным

приближением пло­

ских

волн

малой

амплитуды

естественно использовать

имеющее

д л я

них

место

условие

гк <^1 .

Поэтому

можно

положить

/ (гк

ехр кг)

=

/ (0)

и

/ 0 (гк)

=

/ 0 (0),

и,

следовательно,

в

этом

ваемых величин от элементов волн

и глубины

п о г р у ж е н и я .

6. П л о т н о с т ь

п о т о к а

и м п у л ь

с а . Рассмотрим

изменение импульса в объеме т свободной

т я ж е л о й жидкости, ис­

ходя из общего

соотношения

-^- =

- \ ( p - P o + pgz)ndS,

Q = р J V dx,

(2.68)

s

Т

где Q — вектор

импульса жидкости в объеме т, а

Р = — р \ gzn dS = —

pgxk

s

вектор

оси

z).

Д л я

полной производной

импульса имеем

выражение

^T=-W-+p\v(V-")dS'

(2-69)

s

в котором

первое слагаемое

есть л о к а л ь н а я производная,

а вто­

рым конвективным членом учитывается перенос

импульса

жидко­

с т и через

неподвижную поверхность S.

скости

(пя =

0), и

поэтому составляющая Рзя выпадает из рас­

смотрения. Кроме

того,

при вычислении

в (2.74)

опущены члены

выше

второго

п о р я д к а

малости. Далее

очевидно,

что симметрич­

Рассмотрим конкретно

плоские

волны в т я ж е л о й идеальной

жидкости

неограниченной

глубины:

ф =

/ J L rej[at—k(.x cos е+у

sin e)]+ftz

% __ rei[et—h(x cos e+y sin 6)]

' a

'

-

(2.75)

К а к

и следовало ожидать,

тензор Рс является

плоским

тензо­

ром, и

поэтому

вектор

У = Рс

• п представляет

собой плоский

вектор,

расположенный

в горизонтальной плоскости,

так ж е как

и единичный вектор п.

Вектор J

определяет перенос

импульса за

единицу

времени

через

в е р т и к а л ь н у ю

п л о щ а д к у

с единичной ши­

риной заданной ориентации и с длиной, простирающейся

на всю

глубину

жидкости . Поэтому вектор J можно назвать

вектором ли­

нейной

плотности переноса импульса .

Д л я его проекции

имеем

равенства

J1 =

PcU'h + Рс12По,

J 2 =

РС2Ш1 + РС22«2-

(2.76)

В общем случае н а п р а в л е н и я

векторов J и.я различны

между

собой. Однако можно

у к а з а т ь по крайней мере два н а п р а в л е н и я я,

с которыми совпадает

направление

вектора J. Таковыми дл я рас­

сматриваемого

случая

плоских волн

я в л я ю т с я

направление

фа­

зовой скорости и перпендикулярное

к ней направление . Д л я этих

направлений

имеем

я,

— /cose +

j'sine,

ге1=£хяц=—/sine+

,/cose

(2.77)

и в соответствии

с формулами

(2.75) и (2.76)

находим

J и =

Ewcn

и,

/ x

= - у - Ewcit

x •

(2.78)

С

другой

стороны,

согласно

(2.61), дл я

плоских

волн

в

жидкости неограниченной

глубины

вектор

линейной

плотности

30

Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Е П О В Е Р Х Н О С Т Н Ы Х В О Л Н

Г Л . t

Решение

первого из этих уравнений в ы р а ж а е т с я через

обычные

нения

в ы р а ж а е т с я

в ф у н к ц и я х Б е с с е л я / „

(к0

г) и

Nn

(к0г),

где

Jn (х)

— функция Б е с с е л я первого рода, a Nn

(х)

— ф у н к ц и я

Ней ­

мана. Т а к и м образом, в полярной системе координат

имеем

сово­

купность

частных

решений

%

=

{Сы cos

nQ - f Сщ sin nQ) (AinJn

{k0r)

- f A2nNn

(k0r)),

(3.6)

причем однозначные решения я|)„ соответствуют целым

значениям

параметра

п.

Ф у н к ц и я Б е с с е л я / „ (х) я в л я е т с я

целой

функцией

и

п р и

боль­

где О («) означает малую

величину порядка

а .

Ф у н к ц и я Неймана Nn

(х) при х = 0 имеет особенность, и в

окрестности этой точки имеем приближенные

соотношения

( l n v =

С = 0,577215 . . . ) .

(3.8)

ское представление

д л я функции

Неймана:

n * < * > = Ш ' / 2 s i n I х

-

(

2 n v ) n ) + ° < з - 9 )

Частное решение (3.6) при п =

0

соответствует

простейшим

кольцевым волнам с неизменной амплитудой при

фиксированном

г. П р и п Ф- 0 и фиксированном г волны, описываемые

ф у н к ц и я м и

г|)„, имеют амплитуду, изменяющуюся

с изменением

9

и представ­

л я ю т собой обобщенные кольцевые

волны.

В свободной жидкости кольцевые волны д о л ж н ы иметь всюду

конечную амплитуду и скорость, и

поэтому пригодными я в л я ю ­

тся только частные

решения

следующего вида:

% =

(Сin cos nQ +

С2п

sin nQ) Jn (k0r),

(3.10)

ские окружности радиусов гт—

хт/к0,

где хт — н у л и

функции

Бесселя / „ (х), я в л я ю т с я узловыми

линиями .

Система стоячих кольцевых

волн может образоваться в

резуль ­

П Р И Б Р Е Ж Н О Е В О Л Н Е Н И Е

37

г — а имеем условие dty/dr = О, которому

можно

удовлетворить

при помощи в ы р а ж е н и я (3.10), полагая Jn

(kQ а)

= 0. Из этого

занные с кольцевыми волнами.

Поэтому

представляют

интерес

частные

решения

вида

%

=

(Ап

cos пд +

Вп

sin ив)//») ( V ) ,

(3 - И)

где Н^п (х) — Jn

(х)

— ]Nn

(х) — функция

Г а н к е л я

второго

рода,

имеющая, на основании (3.7) и

(3.9), асимптотическое

представ­

ление

У

_ •

(

(2п+1)Я 1

я » 2 )

и

=

Ш

г

е

х

4

+ ° <*~з / 2 )-

( з л 2 >

Следовательно,

из

(3.1),

(3.2)

и

(3.11) д л я функции Ф имеем

Ф (х, у,

z, t) =

C

h

^

+ f

e )

(АпcosnQ

+ Bn

sin тгб) B$

(k0r)

e>°\

(3.13)

и при больших

г

Ф (х, у, z,

г)

=

Согласно

(3.8)

функция

Z/Jf'

(ж)

при

х

= 0 имеет особенность.

Поэтому

выражение

(3.13)

соответствует

волнам,

излучаемым

сосредоточенной

пульсирующей

особенностью (источник,

диполь

нем по закону (3.2). К а к

видно из (3.14), эти кольцевые волны рас­

ходятся во все стороны

от пульсирующей особенности.

§ 4.

Прибрежное волнение

няющейся от малых

значений в прибрежной зоне до больших

зна­

чений в открытом море. В самой ж е прибрежной

зоне при условии

I I <^ X этот

анализ

можно провести методами теории распростра­

нения мелководных

волн (§ 1). Д л я простоты рассмотрим плоское

наклонное дно, составляющее угол а с невозмущенной

свободной

поверхностью. Систему координат выберем так,

чтобы

плоскость

ху совпадала с наклонным дном, а ось z

была направлена перпен­

дикулярно

к дну

в сторону свободной

поверхности

(рис.

1.4);

тогда, пренебрегая

составляющей скорости Vz,

имеем

следующие

Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О Г О В О Л Н Е Н И Я

39

где хх — расстояние от берега вдоль невозмущениого уровня сво­

бодной поверхности. В этом частном случае

уравнение

(4.5) примет

вид

• £ ( * . £ ) + h > - 0

( H - . - S r ) .

(4.7)

Решение

уравнения

(4.7),

конечное при хх

= 0,

выражается

через

функцию

Бесселя

/ 0

( 2 j / fta^),

и

потому

Ф =

AJa

(2 V$Xi)

e i a l .

(4.8)

Выражение (4.8) вместе с (4.4) описывает плоские стоячие

вол­

ны, длина

которых, как и должно быть,

уменьшается

при хх

->- О,

а

амплитуда

при этом

увеличивается.

У к а ж е м

пределы

применимости

рассмотренной оценки

при­

брежного

волнения. Пусть zn

(п

=

1,

2,

...) — корни

функции

Бесселя / 0

(z), так что х1П

= z\

/4(3 и й п

=

a:l n tga, где ж1 П

— узел

стоячей

волны,

а

й п

— глубина

жидкости

под

этим

узлом.

Соответствующую

длину

волны

кп

определим

равенством

кп

= 2 (Х]<п+\

— xitn)

и

сопоставим

ее со

средней

глубиной

h°n

= ( / г п + 1

+

hn)l2.

Тогда условие h„ <^ Кп

применимости

теории

распространения

мелководных

волн

в

данном

случае

сводится

к

неравенству

tg a

«

4( F+1 ~F

(и =

1,

2,

. . . ) ,

(4.

V

h

+ z n

которое

выполняется

для

пологого

берега

в

прибрежной

зоне.

§ 5. Статистические

характеристики

нерегулярного

волнения

Ветровое волнение имеет весьма сложную структуру,

обуслов­

ленную турбулентным характером набегающего ветрового потока.

Турбулентные пульсации величины и направления скорости ветра

приводят к возникновению нерегулярного трехмерного волнения,

содержащего

беспорядочный спектр

воли.

Распространение

нере­

г у л я р н ы х

волн следует

рассматривать

как случайный

процесс,

а отдельные элементы волн — как случайные величины.

Поэтому

естественной является тенденция применения общих статистиче­

ских методов дл я кинематического

описания

нерегулярного

волнения

и поведения судна на нерегулярных

волнах,

[*• и < 12>

44, 61, 95—99,

110—112, 114,

116—124,

129 ]

подобно

Т О М у

К Э К

ЭТО

Д в Л а е Т С Я

в

радиотехнике

[ 4 ]

в

теории

автоматического

регулирования

[19, 53, 54 ] и

в д р у г и х

С л у ч а я х .

1. Р а с п р е д е л е н и е

э л е м е н т о в

н е р е г у л я р ­

н о г о

в о л н е н и я .

В

качестве

модели

нерегулярного