книги из ГПНТБ / Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля

300

Т Е О Р И Я В О З Н И К Н О В Е Н И Я К А Ч К И

гл . vnt

т [q*Z (q) -

q% - qz0] =

X3 + X°3+Xt-D,

(33.8)

'J [qW (q) — q2% -

ЯЩ

= M' + M° + M* + M\

(33.9)

Подставив

сюда

изображения

дл я сил, для и з о б р а ж е н и я

закона

качки

Z (q)

и

(q),

получаем

формулы

_ , ,

1т+СгЩ?

,

[т + Сг

( о о ) ]

pgS0+{m

+ Cz(q)]q'>

' u

pgS0

+

[m +

Cz {q)\

q*

1

J

X l + X l

( 3 З Л 0 )

^ p q S 0

+ [ m +

C2(q)]q*

'

^ W -

^

O

ЯА +

[ Л - С „ ,

" Г Ч ° Dh +

l J + C^(q)]q*

" I "

+

Z>fc +

[/ +

C^(g)]g »

•

^ Л 1 1 >

Д л я

вычислений

изображений

закона

к а ч к и необходимо знать

величины

Cz (q) и Сф (д), т. е. С 3 3 , Съъ,

С15 и С п ,

определяемые

формулой

C i m

=

- p \

] Ф , — f - d S ,

(33.12)

's

где функции Ф] (х, у, z,

q) имеют представление >

S

+ Я

со

-

V

\

\ -^r¥-^lz-ixo0-e-ivelae)ffj(KQ)dBdk,

(33.13)

—л., 0

Пj еХ

(

дф-

(z+ix

cos

в+iy

sin в) I __L_

1 ф . [i c

o s 9 c o

g fa J.J _ j_

-f-

г sin 0 cos (n, ?/) - f cos (n, z)] 1 dS.

(33.14)

Проведем расчет коэффициентов Cz

и Сф дл я

судна

малой

ширины .

у

= f

(х,

z) — уравнение судовой

Пусть

поверхности. В

слу ­

чае судна малой

ширины

граничные

условия для

функций

Ф;-

В Е Р Т И К А Л Ь Н А Я И К И Л Е В А Я К А Ч К А С У Д Н А

301

имеют вид

^ = - ! L

^ L _

_ _ ^

_

дФ,

_

Of

df

m

,

,

дп

дх '

дп

—

dz

'

дп

~ ~ Х

dz

Z~~0x~-

У о о л о )

Эти

условия

следует

считать

выполняющимися

при

у =

0

на

что

производные

дФт /ду

(га =

1,

3,

5) претерпевают

разрыв

непрерывности при переходе

сквозь

диаметральную плоскость,

а функции

Ф „

будут

изменяться

непрерывно

при этом

ж е

пере­

ходе. П р и н я в это во

внимание

и

стягивая поверхность

интегри­

рования в

формуле

(33.14)

к диаметральной плоскости,

получим

С С

9Ф:

Н} (А, 9) =

2 И

<* <2 +» c°s б) — i

- dS,

(33.16)

S' — диаметральная

V

где

плоскость

судна.

Стягивая теперь поверхность интегрирования в формулах

(33.12) и (33.13)

и

п р и н я в

во

внимание (33.16),

найдем

Сг

(д) =

Сг

(оо) +

j

j

- ° 2

''

<*9 Л ,

(33.17)

—я 0

-\-Ц оо

С ф

(д) =

Сф (оо) +

-J L -

j

j '

ст2|оУ;ае)|3

de dl,

(33.18)

где

—'я 6

Я ф

(А,, 9) =

Я 5 (А, 9) +

а*Н1 (А, 9).

(33.19)

В частном случае

р =

2 T / L =

0,1

и % =

0,67

интегралы по

Cz (g) =

Cz

(оо) + ±- р _ _ j L _ ^

( Z l ) )

(33.20)

Сф (д) =

С ф

(со) +

р - р ^ Х - ^

( Z a ) ,

(33.21)

где функции ifi и % имеют вид

• I W - T + r ' l + V 2 ? 1 " ^ ) '

' . " » | / - ^ - . ( 3 3 - 2 2 )

^ " - 7 Т 4 ( 1 - ^ 4 + Т Т 4 ' ! ' +

^ Г | 1 П 2 1 ) '

V b

*

L

(33.23)

2*

' .

302

Т Е О Р И Я В О З Н И К Н О В Е Н И Я К А Ч К И

Г Л . V I I I

rj , ,

[m + Cz (q)] q*

Z fe)

= z ° w s . + H + c ,

^

'

( 3 3 ' 2 4 )

Д л я практических

целей нет нуяоды

в знании

закона качки

в форме, изображенной

на рис. 8.1, а достаточно

знать основные

характеристики к а ч к и ,

т. е. период качки

и степень з а т у х а н и я .

начальной скорости,

аппроксимируют

в ы р а ж е н и я м и

z =

z 0 e _ n ' ' (cos k±t

+

— sin kjt\ ,

ф =

x i v - ^ t

^ c o s k 2 t

+

-J- sin /c2fj

(33.26)

и определяют периоды Tx =

2л}к±

и Т2

=

2я//с3 и коэффициенты

з а т у х а н и я щ и тг2. Именно

эти величины

и я в л я ю т с я

основными

характеристиками собственной качки

судна на спокойной

воде.

Из приведенного на рис . 8.1 расчета мы можем

заключить,

что закон затухающей качки на

большом промежутке времени

происходит с мало

изменяющимся

периодом и л и ш ь

при

боль­

чительными, период

несколько

увеличивается .

П р и модельных испытаниях всегда имеется небольшое трение

подвижных частей,

связанных

с моделью. Это небольшое

трение,

равно

как и малая

вязкость воды, почти не влияет на величину

больших амплитуд, но на малые амплитуды, отвечающие

несколь ­

ко увеличенному периоду, оказывают влияние в сторону

сглажи ­

вания

экспериментальной записи,

сводя на нет участок

малых

амплитуд . Это ж е

обстоятельство,

очевидно, будет иметь место

виде присоединенной

массы,

близкой к ц. (оо). Поэтому для п р а к ­

тических целей ограничимся

определением основных характери ­

стик собственной качки судна на спокойной воде, т. е.

будем

определять величины

кт и пт (т = 1, 2). Эти величины

будем

§ 33

В Е Р Т И К А Л Ь Н А Я И К И Л Е В А Я

К А Ч К А С У Д Н А

303

о п р е д е л я т ь, исходя из изображений закона

качки. Д л я

этого заме­

тим,

что

Z (Zi) и Ч (z2 ) представляют

собой голоморфные в пра­

вой

полуплоскости функции, не имеющие

в этой полуплоскости

н и к а к и х особенностей и принимающие

на положительной действи­

тельной

оси действительные значения.

Легко поэтому

видеть, что

Wo

.

Щ

0,5

J

10

4

6

Re г.

Рис.

8.3.

Будем

аппроксимировать Z и

Ч

следующими выражениями:

Z

=

z,

zx (zt 4- 2rej)

cos

/CJTJ -J

— sin &1T1 j ,

(33.27)

(zx +

njf

+

kx

¥

=

ф 0 -

4

(H +

2n2>

COS k2"C2 -f-

sin klr^j,

(33.28)

(za +

n2f

+

kf

304

Т Е О Р И Я

В О З Н И К Н О В Е Н И Я К А Ч К И

Г Л V I I I

где

Т] и т 2 — безразмерные

величины:

Ti,2

=

tV2g/l/bi~2L,

(33.29)

/4 = 0,1;

/22 = 0,15;

к? =

3,594;

/с22

= 3,95.

(33.30)

Точки аппроксимирующих в ы р а ж е н и й нанесены

на

рис.

8.2 и

8.3 кружочками . К а к видим, на некотором участке малых

значе­

ний z\ и z2 имеется некоторое расхождение

между

истинным

изображением и аппроксимирующим; на всем

остальном

участке

Zj и z2 , вплоть до очень больших значений zx и z2 ,

имеем

хорошее

совпадение. Это значит, что закон качки, начиная

с момента вре ­

мени

t0 = 0 и вплоть до больших

моментов

времени,

хорошо

аппроксимируется

в ы р а ж е н и я м и (33.27) и (33.28), и

л и ш ь при

очень больших моментах времени, когда амплитуды качки

очень

малы,

имеется некоторое расхождение .

К а к было сказано выше, этот последний участок малых

ампли ­

туд качки на практике сглаживается, сводясь на нет из-за

в л и я ­

ния малой вязкости или трения

подвижных частей.

Таким образом, дл я основных характеристик качки в рассмат­

риваемом случае

имеем

Если теперь по частотам кг

и к2

определить присоединенные массы

p z и Цф, то, ка к и

следует

ожидать, получим

значения,

весьма

близкие

к \iz (оо) и

(со) . Этим обстоятельством

и

объясняется

тот факт, что пр и экспериментальном

определении

присоединен­

ных масс судна по периодам собственной качки получаются

зна­

чения,

близкие

к

значениям

ух2 (оо)

и и.ф (оо),

определяемым

теоретическим путем.

Мы

рассмотрели

собственную

качку

судна

па

спокойной

воде

при отсутствии

поступательного

хода.

Вполне

очевидно,

что для

ции площади ватерлинии (Jx).

Д л я судов

значение момента

инер ­

ции Jx

являетс я

малой величиной, и поэтому коэффициент

демп­

фирования

А,44

еще

более

мал.

Ввиду

слабого

демпфирования

амплитуда

бортовой

качки

на

волне

достигает

больших

значе­

ний. При больших значениях

амплитуд гидростатический

восста­

навливающий момент зависит

нелинейно

от угла

крена

0:

Mei

=

-pgVhf

(0),

(34.1)

где

h — метацентрическая

высота,

а / (0) — нечетная

функция

от

0.

Следовательно, определение амплитуды бортовой качки, в осо­

бенности пр и отсутствии поступательного

хода,

сводится

к

реше­

нию нелинейной

задачи.

Проведем краткий анализ

этой задачи. Д л я

этого рассмотрим

вначале

случай

собственной

бортовой качки при отсутствии

посту­

пательного

хода.

Вследствие уж е упомянутого

незначительного

демпфирования т

момента инерции /

масс судна

относительно

продольной

оси, не­

линейность задачи в основном определяется нелинейной

зависи­

мостью Мст

от 0.

Учитывая еще, что нелинейные

задачи

разре ­

шаются приближенно, мы можем уравнение собственной

борто­

вой качки

при отсутствии

поступательного

хода

представить в

форме

( /

+ р 4 4 ) 0 + Я 4

4 0 + Р ^ / ( 9 )

= О,

(34.2)

причем по высказанным уже соображениям пренебрегаем

зависи­

мостью р 4 4

от 0 и нелинейным

характером демпфирования.

Уравнение (34.2) приведем

к более обычному виду

0 +

2гс0 + 0) 2 / ( 0 ) = 0 ,

(34.3)

где

pgVh

2п

=

(34.4)

(О0 ==

306

О С О Б Е Н Н О С Т И Б О Р Т О В О Й

К А Ч К И И Е Е У С П О К О Е Н И Я

Г Л . I X

со0

представляет собой собственную частоту при линейных ко­

лебаниях, а п — приведенный

коэффициент демпфирования .

уравнения

(34.3)

по способу

гармонического баланса,

который

в данном случае эквивалентен способу энергетического

баланса.

Согласно этому способу полагаем, что нелинейные

колебания

близки к

синусоидальным

9 =

A cos at,

(34.5)

где

амплитуда

А — медленно

меняющаяся

функция

времени,

а

со — искомая

собственная

частота нелинейных

колебаний.

К а к известно, этот способ приводит к линеаризации

уравнения

(34.3). Д л я его линеаризации

следует р а з л о ж и т ь

функцию / (9)

=

= /

(A cos

at)

в

ряд Ф у р ь е

и

ограничиться

первой

гармоникой

где

f (9) =

Ф (А) 9,

(34.6)

А

+"

ф

(А) =

J f (A cos х) cos х dx.

(34.7)

— я

Подставив

выражения

(34.6) в (34.3), получаем

линеаризован ­

ное

уравнение

ё + 2 т г ё

+

со2ф(Л)9 = 0.

(34.8)

Если учитывать зависимость п от частоты, то (34.8) следует

рассматривать ка к операционное уравнение, в котором

п

являет ­

ся частотным оператором. Однако опять-таки

ввиду

малости

п

этой

зависимостью от частоты

можно

пренебречь,

полагая п —

— п (о)0 ),

и, следовательно,

рассматривать

(34.8)

как

обычное

линейное

уравнение.

После

подстановки

(34.5) в (34.8)

легко

установить

формулы

А = Аае-"\

(34.9)

со2 =

0,20 {

А )

_ 2 Г Е 2 _

Ю 2 ф { А

у

( 3 4 Л 0 )

Рассмотрим

простейший

пример

зависимости

/ (9).

Пусть

/ ( 0 )

=

е + т е 3 ;

(34 .il)

тогда при помощи (34.7) и (34.10) находим выражение

a)a =

<B§(l + - | - Y ^ j .

(34-12)

Б О Р Т О В А Я

307

что убеждает в

целесообразности

постановки нелинейной

задачи

в форме

(34.2).

Подобным ж е приближенным путем рассматривается

вынуж ­

денная

бортовая качка при отсутствии

поступательного

хода.

В

этом

случае

линеаризованное уравнение имеет

вид

0 +

2вё +

<»§Ф (А) 9 =

Be™,

(34.13)

где

В — комплексная

амплитуда

возмущающего

момента,

кото­

р а я , согласно

результатам

главы

V I I , с увеличением к

=

ol/g

монотонно убывает до

н у л я .

Строго говоря, комплексная амплитуда В также

д о л ж н а

зависеть

от А.

В этом

можно

убедиться

на основании следующих

момент

может

быть

определен из

рассмотрения относительного

крена

6 — 0е

каждого шпангоута

в отдельности,

где 0е ==

= a0r0

sin ее' <a i ~ h x c o

s Е> — волновой склон посередине

ватерлинии

аналогичном

(34.1):

мст

=

- Pg s щ (0 -

ее ) да - pg s

hf (0) + pgz hf

(0) е„

где

Б (х)

— площадь,

ограниченная

рассматриваемым

шпанго ­

утом.

Суммируя

все моменты, получаем

Afcr =

-

pgVhf

(0) +

pgVhf

(9) К,

cos е)W *

*

(34.14)

Выражение (34.14) показывает, что при длинных волнах

ампли­

туда возмущающего момента имеет вид

В

= f (0) В0,

где

В0 —

значение

этой

амплитуды

при

линейных

колебаниях.

В

данном

случае /' (0)

т а к ж е

следует заменить

линеаризованным

выраже ­

нием

Ф х (А).

В

общем

же случае зависимость В (А)

при

любых

длинах набегающих

волн

трудно установить. Поэтому в

качестве

п р и б л и ж е н и я можно принять эту зависимость такой же,

как и

при

длинных

набегающих

волнах, т. е.

В (А) =

Ф х (А) В0.

(34.15)

Рассматривая установившиеся вынужденные колебания, мо­

жем

положить

(34.16)

Q = A

e

i ( a t - 6 )

и после подстановки в (34.13)

получим

следующее

комплексное

выражение:

[<в§Ф (А) - а 2

+ 2ша] А =

Be16,

308

О С О Б Е Н Н О С Т И

Б О Р Т О В О Й

К А Ч К И

И Е Е У С П О К О Е Н И Я

Г Л .

I X

из

которого следуют

уравнения

дл я

установившихся значений

А

и

б

t g S = ю 2 ф ( 2

л 7 - а * '

Л 2 { [ е о 2 о ф ( Л ) - о - 2 1 2

+ W } =

|Z?|2 .

(34.17)

Уравнения (34.17) не дают возможности

прямым путем вычислить

установившуюся амплитуду; д а ж е в самом простом случае

зависи­

мости (34.11)

решение приходится

осуществлять

графически.

6=U>Q

б

б'ООд

б

Рис. 9.1.

Рис. 9.2.

При постоянном В

зависимость

А от о д л я упомянутого

частного

случая имеет вид,

графически

изображенный на рис. 9.1 и 9.2,

ные кривые — значению п — 0. При этом устойчивым

значениям

установившейся амплитуды отвечает

одно

значение. Это озна­

чает, что в резонансной части с изменением

частоты

амплитуда

меняется скачком. Характерным дл я

этого

случая я в л я е т с я то,

товой

качке

будет иметь

место при

наличии поступательного

хода

судна,

в особенности

при большой

скорости.

Б О Р Т О В А Я К А Ч К А

309

поверхности малого удлинения . Д л я несущих поверхностей

малого

свидетельствуют

приведенные в главе

V I

экспериментальные

данные д л я коэффициентов демпфирования,

из которых

след5г ет

независимость

этих коэффициентов

от

поступательной

скорости

и их убывание при больших частотах

колебаний. Между тем вих­

чина волнового демпфирования.

Учет

вихревых эффектов при

рассматриваемом

неустанови­

вшемся движении представляет трудную задачу.

Поэтому дл я приблияченной оценки воспользуемся

широко

применяемой

гипотезой стационарности. Д л я этого

представим

общий демпфирующий момент в расчлененном виде

Мх = М°Х

+ АМХ,

(34.18)

где Мх

и АМХ

— соответственно

волновой и вихревой

моменты.

П о л ь з у я с ь гипотезой стационарности, представим

АМХ

в виде

д м ж = = - - ^ Р у С

т ( е ,

(34.19)

ст (0, со) = св

0 + с\

т и

и поэтому

АМХ = - 4" pVcmU2Q - 4" pVLCuQ.

(34.21)

Опыты по определению декрехмента затухания

бортовой

качки

показывают, что с увеличением

поступательной

скорости

хода

начает,

что коэффициент с„ > 0. Строго говоря,

коэффи­

циенты

с^, и с™ зависят от относительной скорости Fr =

u/Y^gL.