Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 333 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

20	Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Е П О В Е Р Х Н О С Т Н Ы Х			В О Л И	Г Л . г
П р и малой глубине бассейна			h, точнее, при малом k0h		= 2nhlX,
можно	принять
	ф^Ф0(х,	у, t) = / —- геЯ-а1-Ы* c o s е+Уsin		е>].	(2.22)
Трансцендентное уравнение (2.7) дл я этого				с л у ч а я	принимает
вид
		к0 = а/с,	c = V~gh.		(2.23)

В ы р а ж е н и я (2.22) и (2.23) можно т а к ж е получить непосредственно

ив волнового уравнения (1.16).
2. Г р у п п а	п л о с к и х		в о л н . Из	предыдущего		сле
дует, что, за исключением случая			малой глубины потока,		фазовая
скорость волн зависит от их частоты. Волны такого типа					я в л я ю т с я
дисперсионными.	Это	означает,	что в группе	р е г у л я р н ы х		волн
с малоотличающимися		частотами происходит дробление отдельных

составных волн, обусловленное тем, что центр группы волн рас пространяется со скоростью, отличающейся от фазовой скорости. Скорость распространения группы волн называется групповой

скоростью и ее отличие от фазовой скорости определяется								зави
симостью последней от частоты			колебаний.
Рассмотрим суперпозицию плоских р е г у л я р н ы х волн со сплош
ным спектром		волновых чисел в узком интервале (к0 —					Ак,	к0 +
-+- Ак),	где Ак	— м а л а я величина. Возвышение уровня					свободной
поверхности, образующееся в результате суперпозиции,							предста
вим в	форме
		Ь= j / (к) ,?«"-*) dk.						(2.24)
Ввиду	малости	Ак зависимость	а	(к)	можно	выразить	линейным
соотношением
	о (к) =	ст0 4- о 0 (к — к0)	К	=	о (к0), aQ	= (da/dk)0).

Примем теперь величину к — к0 в качестве новой переменной ин тегрирования и будем считать / (к) медленно меняющейся функ цией. Тогда выражение (2.24) преобразуется к виду

	ДЙ
	—Aft
Выполнив интегрирование,	найдем
Ь = г e^°ot~ к<>х\	(2.25)
sm[(e0t—x)Ak]	(2.25)

				Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Е П Л О С К И Х В О Л Н			21
В	связи с наличием в (2.25) малой величины ДА: амплитуда						группы
г(	будет	медленно		меняющейся функцией от t		и х. Поэтому выра
жение (2.25)			можно рассматривать как почти			р е г у л я р н ы е	волны
с	фазой	G =	a0t	—к0х и медленно	меняющейся амплитудой rt.
	Определим точку х, соответствующую максимальному значе
нию амплитуды rt.				Эту точку назовем	центром	группы волн. Оче

видно, что центр группы находится в точке х — oot. Следовательно

центр группы волн переме				\z
щается	со скоростью
и —	оо =	(da/dk)0,	(2.26)
я в л я ю щ е й с я		групповой	ско
ростью.
Амплитуда группы			волн
Г{ убывает по обе стороны от				Рис 1.3
центра.	Поэтому волновой
процесс, создаваемый			груп

пой волп, концентрируется вблизи центра группы и практически


носит	ограниченный		характер . На рис. 1.3 схематически				изобра
жена	группа волн в		определенный		момент времени.
Д л я		образования	группы	волн	заданной	протяженности Ах
интервал		изменения	волновых	чисел Ак не		может быть	меньше

некоторой определенной величины. В самом деле, рассмотрим группу волн в какой-либо момент времени, например t = 0. Форма группы волн определяется значением амплитуды дл я этого мо мента времени:

		r t = г	'	^ =	х ^ к '
где	множитель (sin \|)/£ обращается			в	нуль при g = пл (п		=	±	1,
± 2 ,	. . . ) .
Е с л и		начало координат поместить в центре				группы	волн,		то
координаты первых минимумов слева и справа						от центра		будут
±Ах.	Принимая во внимание,		что следующие максимумы					быстро
убывают,		можно за протяженность группы волн				принять	отрезок
2 Ах,	где	Ах удовлетворяет соотношению
		Ак	Ах — я .

Е с л и же определить протяженность группы волн точнее и принять

за нее расстояние между следующими	минимумами, то получим
Ак Ах = 2 я и вообще
Ак Ах > я .	(2.27)

Отсюда видно, что если волновой процесс ограничен в про странстве, то определенное значение волнового числа к отсут ствует и неизбежно появляется непрерывный спектр волновых

Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Е П О В Е Р Х Н О С Т Н Ы Х В О Л Н

Г Л . I

чисел, имеющий

такую

ширину

Ак, что

Ак

Ах ~ л.

(2.28)

3. П р о и з в о л ь н а я

с и с т е м а

п л о с к и х

в о л н ,

Поведение

произвольной

системы плоских

волн т а к ж е

характери

зуется групповой

скоростью.

П р е ж д е

чем

это установить,

изло^

ж и м

метод

асимптотической

оценки

интеграла

/ ю

= j / (х) e^«W dx

(2.29)

при

больших

значениях

(о,

где со— п о л о ж и т е л ь н а я

величина,

/ (х) и

(х)

— непрерывные действительные функции,

причем

(х)

является

медленно

меняющейся

функцией.

Очевидно, что при со - > оо выражение

(2.29) стремится

к нулю .

Д л я установления характера

стремления

этого в ы р а ж е н и я

к н у л ю

положим, что функция а

(х) имеет единственный экстремум в точке

— х0. П р и больших

со значение в ы р а ж е н и я (2.29) определяется

поведением подынтегральной

функции

в окрестности

экстремума;

этой окрестности

имеем

а(х)

а (*„) + ±

(х -

х,у

а" (*„).

(2.30)

Подставив (2.30) в (2.29) и пользуясь

тем, что функция меняется

медленно,

а потому / (х)

(х0),

получим

Г 4г~(х—х„)2а"(*о)

/ш

(х0)

eJ(oa<*°>

\ е 2

dx.

(2.31)

Положим

теперь

П р и

этой

подстановке

пределы

интегрирования перейдут

g (а)

(Ь) и при больших

со будут стремиться

соответственно

к — оо

оо.

Следовательно,

соотношение

(2.31) можно

представить

форме

)

) 8

/ W ^ »

I * ± * Ч

(2-32)

— со

где знак плюс отвечает случаю а" (ж0) >

0, а знак минус

—

слу

чаю

a" (z0 ) <

Интегральный

множитель

в (2.32) равен

я1 /» ехр ( ±

/ я / 4 ) , и по

этому окончательная форма асимптотической оценки интеграла (2.29) имеет вид

о™

3(оа(х0 )±— j

		P A C H P O C T P A P J E H H E П Л О С К И Х В О Л Н			23
С л е д у ю щ ие члены в асимптотической оценке (2.33)				имеют	поря
док	малости	выше чем ы~{'2.	Далее из рассмотренного видно, что
если	в (2.29)	а = О, то при х0	ф 0 асимптотическая	оценка	опре
деляется той же формулой (2.33), а при х0 = 0 и а =				0 асимптоти

ческая оценка определяется в два раза меньшим значением, чем (2.33).

	Этим ж е	методом		можно	получить		асимптотическую			оценку
в ы р а ж е н и я		(2.29) при		наличии		экстремума		функции а	(х)	более
высокого порядка . Предположим, что							в	окрестности	точки		х0
справедливо		соотношение
		а{х)	=	а (х0)	И	j j p i -	(х — х0) .
Тогда аналогичные			рассуждения			приводят к равенству
				i/n				оо
		\ со \| а(п)	(х0)	\| /				_^
где	следующие члены			имеют порядок			малости выше		чем	с о - 1 / "
и знак плюс берется при ос<п)					(а:0) > 0, а знак минус при ос( п ) (х0)						<
<	0.

Выражение для / 0 легко вычисляется. При и нечетном имеем

			J0=		] e*ndl+			\e-*ndl
Оба	эти	интеграла			преобразуются			в	интегралы	по	лучам
							я
0,	оо exp	- g^ - /] и	\|0,		оо exp J		2п~ f})-		П о л а г а я	после	этого
соответственно £ =			и		exp ^ ±	- Tяj ^ - j j ,		получим
	е	= 2 cos	"	{ e~undu		=	— cos -f-		J * 1 / n - J e " ' c#.
			"	о			w	" 0

Воспользовавшись теперь интегральным представлением дл я гам ма-функции

Г ( 2 )	=		F t^e-'dt	( R e z > 0 ) ,
будем иметь			6
будем иметь			2	я ^ / 1
			2	я ^ / 1
/ 0		=	— COS - 5 — 1
	и		га	2га

и, таким образом,	при и нечетном окончательно находим
2 . . .	я п	/ 1 \	/	i	га!		\1/п	(2.34)
/ . « - f - c o s - g - Г		-		i	-	Г	У 1Ые>«ы.	(2.34)
					со \| а	( п > (*„)

Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Е П О В Е Р Х Н О С Т Н Ы Х В О Л Н

Г Л . Г

Е с ли ж е п является

четным, то аналогичные

вычисления

дают

= 2\

e ± * n d g =

—е~' 2 п \

) .

Поэтому при п четном

имеем

/ „ « J L

г / — ) (

(*„) e

m ±

(2.35)

V " j U

I а ( п )

(*0) I /

Из приведенных

асимптотических

оценок

(2.34)

(2.35)

видно,

что чем выше порядок экстремума

функции

а (х)

в точке х0, тем

медленнее / ш стремится

к н у л ю при

со - > оо .

И з л о ж е н н ы й метод асимптотической оценки

в ы р а ж е н и я

(2.29)

называется методом установившихся

фаз [ 1

2 3

] ;

он широко

приме

няется

в теории

волн и

я в л я е т с я

частным

случаем

более

общего

метода

перевала

[ 6 6 ] .

Перейдем к рассмотрению произвольной системы плоских

волн.

Представляя систему ка к результат суперпозиции

плоских

волн

со сплошным спектром волновых чисел в интервале

(0, оо), полу

чим

Ь =

[ / (к) <?>'«"-**> dk.

(2.36)

Воспользовавшись методом установившихся фаз, получаем сле дующую оценку:

где к0 — корень	уравнения
			t-W=0.				(2.38)
Очевидно, к0 и о 0 =		о (fe0) в конечном счете я в л я ю т с я ф у н к ц и я
ми отношения xlt.	Д л я выяснения физического с о д е р ж а н и я						оценки
(2.37) проведем анализ		поведения		произвольной		системы	плоских
волн в окрестности какой-либо точки х0.					Предварительно		введем
обозначения:
	и ~ Т	~ \	dk
Тогда в окрестности точки х{о
x=l	+	ut,	a(F)=a(u ) +		- g - - f ,
	dk	£	/ tfft	1 dk\	I do \	i I do

* ( т ) - * ( в ) + - = - Ь

\ do J у du J

и \ da

Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Е П Л О С К И Х В О Л Н

Поэтому с точностью до £2 имеем

a0t — к0х

а (и) t — хк

(и).

Т а к и м образом,

окрестности точки

х0

поведение

произволь

ной

системы

плоских

волн

определяется

групповой

скоростью

в качестве

скорости

распространения:

Выражение

дл я

групповой

скорости

можно

преобразовать

к несколько иному виду. Учитывая равенство о

ск0

(с — фа

зовая

скорость),

легко

установить,

что

—

~~ c +

/co~d\-

П о л а г а я еще

2л/к,

окончательно

находим

и = с - к - ^ - .

(2.40)

Из

этого

в ы р а ж е н и я

видно,

что при наличии

дисперсии, т. е.

функциональной

зависимости с

(к), групповая и фазовая скорости

отличаются друг от друга. В зависимости

от знака

производной

групповая скорость может быть как меньше (с

(к)

0), так и

больше (с' (к)

0) фазовой скорости. Это означает, что

отдельные

волны

движутся

относительно

группы

от тыла к фронту либо на

оборот.

Формуле

(2.40)

можно

дать

простое

геометрическое

толкова

ние. Д л я этого следует

представить

график зависимости

с (А,) и в

точке с координатами (к, с) этого графика

провести

касательную .

Уравнение

касательной

будет

следующим:

у - с = -

».

г ( х

~ к ) .

Следовательно,

величина

и — с — ке'

(к)

равна

отрезку,

отсекае

мому

касательной

на

оси

с (х = 0).

Приведем конкретные значения групповой скорости для не

ограниченной

конечной

глубины

жидкости.

первом случае

к0 =

= o2/g,

поэтому

из

(2.39)

непосредственно

получаем

Во втором ж е случае волновое число к0 определяется как действи

тельный и положительный	корень	трансцендентного уравнения
		ст2
к0	th k0h =	—

26	Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Е П О В Е Р Х Н О С Т Н Ы Х							В О Л Н		Г Л . I
и вычисления приводят к в ы р а ж е н и ю
	— Н 1	+	- * & )				( « - - & ) •			< 2 - 4 2 >
При малой глубине бассейна (k0h						1) имеем и = с = (gh)if',				и в
этом	случае дисперсия	волн		отсутствует.
Таким образом, значения групповой скорости поверхностных
волн	находятся в промежутке				с < ; и		с, и отдельные		волны
по отношению к группе		перемещаются от тыла к фронту.
4. З а т у х а н и е		в о л н			в	в я з к о й		ж и д к о с т и .
Рассмотрим плоские волны в в я з к о й жидкости и выясним									в л и я н и е
м о л е к у л я р н о й вязкости		более		подробно, чем это сделано в						§ 1.
Д л я плоских волн при неограниченной глубине жидкости									функции
Ф и х ¥ можно представить			в	форме		(см. (1.27),		(1.28))
	Ф = Aghz+jkx		+ nt^ \[Г _			Bgmz+jhx+nt^		(2.43)
где на основании у р а в н е н и я			(1.22) величины т, к и п с в я з а н ы							соот
ношением
		m*	=	ki +	JL.				(2.44)
Из граничных условий			(1.27) и (1.28)				находим
	(п2 + gk + 2vnk2)		А + (g + 2шт) }кВ = 0, 1
			2]к2А		— (к2 + т2) 5 = 0 . )				(	'
Д л я	разрешимости уравнений			(2.45)		следует положить
	{к2 + т2) (п2 + gk -h 2хпк2)				— 2 Р (g + 2шт) = 0.
Это уравнение с учетом (2.44)				принимает вид
	(п +	2vfc2 )2		+	gk = Av2ksm.				(2.46)
Исключив отсюда т, при помощи (2.44)							получим уравнение			чет
вертой степени относительно п, но при этом допустимыми									к о р н я м и
я в л я ю т с я только те, которые				дают		положительное значение				дей
ствительной части левой половины						у р а в н е н и я		(2.46). Последнее

объясняется тем, что физически приемлемы значения m c R e m > 0,

так	как в этом случае будет выполнено условие з а т у х а н и я						скоро
стей	при z —> — оо.
Д л я		удобства оценок корней			у р а в н е н и я	(2.46) введем	безраз
мерные		параметры \ и 6:
		п -f- 2vk2	= la,	~	= Q (о2 =	gk).	(2.47)
Тогда уравнение (2.46)			представляется в форме
		(g* + I ) 2		=	1693 (I — 9),		(2.48)

Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Е П Л О С К И Х В О Л Н

из которой

следует,

что £ = ±

7 с точностью до б 3 . Возьмем дл я

определенности

£ =

Отсюда

указанной

точностью

n = jo — 2vk2.

(2.49)

Вычислим теперь возвышение свободной поверхности, поль

зуясь

формулой

(1.25а)

и имея

виду,

что Ау

= 4я , Ах

= 0:

_ h

при

z =

дх

ду

дг

дх

Из этой

формулы и соотношений (2.46)

находим

Ь = ±.(А

+ / Я ) «>'**+»*.

С другой стороны,

уравнения

(2.45)

показывают,

что

J L

, „ 2 / f c

2 ,

29.

(2.50)

П о л а г а я

г =

кА/п

—joA/g,

получаем

с точностью до 0

выражение

Ь = re~-2vfc*!-H((T!+»,*)(

(2.51)

показывающее, что в первом приближении движение

жидкости

является безвихревым

с потенциалом скорости

Ф = / -£- rekz-2vk4+j(<3t+hx)

(2.52)

Из выражений

(2.51)

и (2.52) для коэффициента

затухания

имеем

Я,3

2vfc'J

8яЧ>

Д л я

воды т г» 1,98Х2

час, где X следует

в ы р а ж а т ь

в метрах. От

сюда

видно, что для волн

X ~

1 м значение т

сравнительно

велико, в то же время капиллярные волны (X <^ 1 м) весьма

быстро

затухают.

Оценим

еще

порядок

величины

вихрей.

Из

формул

(1.18),

(1.19) и

(1.22)

находим

Q = rot К = — ДД = — —

В плоском случае Ах

= Аг

— 0 и Ау

= XY. Поэтому

Qy = — ^-

Bemz+ihx+nt,

причем

т2

» /o7v с точностью

до 6.

Принимая

еще во внимание

(2.50),

окончательно

получим

Qy »

гЛоте^ 2 ***' cos (кх + a£ + 0z),

(2.53)

P =

(a/2v)V..


28		Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Е П О В Е Р Х Н О С Т Н Ы Х В О Л Н						Г Л . с
Отсюда	вытекает, что дл я маловязких				жидкостей	амплитуда		вих
рей весьма		быстро убывает при z - > — оо и при \| z\				> 1/(5 волновое
движение		практически	является	безвихревым.
5. Э н е р г е т и ч е с к и е				с о о т н о ш е н и я .			Проведем
расчет	энергетических		характеристик		плоских волн.		Д л я	этого

вначале установим общие энергетические соотношения в свобод ной идеальной жидкости. К а к известно, энергия т я ж е л о й несжи маемой жидкости в объеме т определяется выражением

р | ( 4 ^ Ч ^ т .

( 2.54)

П о л н а я

материальная производная

величины энергии

определяет

мощность сил давления приложенных

к поверхности S,

содержа

щей объем т (п

— единичный

вектор внешней

нормали):

-§-

-§(p-Po)V-ndS.

(2.55)

С другой стороны, п о л н а я материальная производная

энергии

состоит

из л о к а л ь н о й производной

dE/dt

и конвективного

слагае

мого, обусловленного тем, что за единицу времени через

элемент

dS неподвижной поверхности S происходит

перенос энергии в ко

личестве р (У 2 / 2 +

gz)

• п)

dS.

Поэтому

дЕ

f /

1 Т 7 „

^8Z)

V -

ЧГ

ЧГ+?)

[ Г 1

n d

S -

(2.56)

Следовательно,

на

основании

(2.55)

(2.56) и н т е г р а л ь н а я

форма

закона

сохранения

энергии в

т я ж е л о й

жидкости принимает вид

- § Г

\ (р — Ро + - f"y

i Jr

Pgz)

V • ndS.

(2.57)

Отсюда

вытекает,

что

N = (p-p0

+ -Lv*

pgz)v

представляет собой вектор плотности

потока

энергии.

У ч и т ы в а я

выражение интеграла

К о ш и — Л а г р а н ж а

дл я

идеальной

жидко

сти

дФ

т , 2

Р — Ро = — 9-jt

2 ~ р

p g z '

получаем простое соотношение дл я вектора плотности потока энергии в т я ж е л о й идеальной жидкости

Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Е П Л О С К И Х В О Л Н

В а ж н ы м и энергетическими характеристиками поверхностных волн я в л я ю т с я поверхностная плотность энергии и вектор ли нейной плотности потока энергии, определяемые формулами

E w = 4 р J V 4 z + 4 р ^ 2 '

(2.59)

# ш = — р \ ~Vdz,


где, согласно		(2.54), выражение дл я Ew				с точностью до аддитивной
постоянной		\| ~ Р £ ^ 2 определяет			количество		энергии,	приходя
щееся на единицу свободной				поверхности, причем в (2.50)				учтены
слагаемые	не выше		второго	порядка		малости.	Первое слагаемое
в в ы р а ж е н и и		д л я Ею	определяет		плотность кинетической			энергии,

а второе — плотность потенциальной энергии.

Последующие вычисления основываются на общем правиле определения среднего значения произведения двух величин и и v, изменяющихся со временем по гармоническому закону, ко торое используется в дальнейшем неоднократно. Пусть имеем Две величины

и	=	Re К ^ ' 0 ( )	=	-j- (и0е*1	+	ие-"),
v	=	Re (vQe>at)	=	- \| "	+	vle~iai)>

где щ и vq представляют собой комплексно-сопряженные и0, vb величины. Очевидно, .что


uv =		- i - (и0и0е^		+ u;v'0e~W		+ uov*0 - f u Jy0 ).
Поэтому среднее		значение (uv) произведения uv за период					колеба
ний т = 2 я / 0	определяется выражением
		f+T	*=4" w +			= 4 R e	(2-бо>
(uv)=4-		$
Рассмотрим	теперь		плоские		волны, дл я которых
ф	_	j J—r c n		(z + h)	ei[at-ha(x	cos e+v sin e)]
		o*	ch k0h			'

5 — j-gilot—cos

e+y sin e)"|_

<<< < Предыдущая 1 23 / 333 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20234.21 Mб10Харрик И.Ю. Функции многих переменных.pdf
#
25.10.202314.52 Mб41Харт Э. Гидратированный электрон.pdf
#
19.10.20236.15 Mб6Хартович, Ю. И. Вибрационный выпуск руды.pdf
#
23.10.20236.99 Mб9Харчева Л.И. Концентрация производства и эффективность ее современных форм.pdf
#
29.10.20233.77 Mб17Харченко К.С. Практика профильного шлифования.pdf
#
25.10.202312.5 Mб36Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля.pdf
#
23.10.20234.62 Mб14Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
#
29.10.20234.32 Mб14Хацкелевич В.А. Расчет режимов генератора при анодной модуляции на новых лампах.pdf
#
24.10.20239.84 Mб6Хачатрян Х.А. Стабильность работы почвообрабатывающих агрегатов.pdf
#
22.10.202314.34 Mб28Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf
#
19.10.20237.4 Mб96Хаяк, Г. С. Инструмент для волочения проволоки.pdf