книги из ГПНТБ / Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля

220

О Б Щ А Я

Г И Д Р О Д И Н А М И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я К А Ч К И С У Д О В

Г Л . V I

на

глубине h,

и, наконец,

части свободной поверхности,

з а к л ю ­

ченной между окружностью

радиуса R и ватерлинией плавающего

циям

G и

ф,

получаем

дО

дп

^

дп i

дп

S + 2

С '

где

G есть функция,

характеризующая волны, излучаемые п у л ь ­

сирующим

источником.

Так как

функция

G отличается от 1/г на гармоническую во

всем

нижнем

полупространстве

функцию, то, стягивая

сферу С

в точку

Р (х,

у,

г),

будем

иметь

^1

5ф

G

0 G

\ л

i

-2R

дп

4- 4яф (х, у,

z) = 0.

Рпс. 0.2.

Принимая

во

внимание,

что функции

ф

и

G удовле­

творяют граничному условию (23.17), принципу излучения

(23.18)

и что их производные

стремятся

к нулю при z - > —со, получим

l i m

6>ф G

дп

<f(x,„,z)=

J _ ( f f _ 5 t G - f ^ £ . ] & ,

(23.19)

i

= o B # - = о .

dz

dz

Н (и, Щ — j * j " еи <*+ix c o s ®+lv s j n <»

_ М ф [j cos 0 cos (л, ж) -f-

4- i sin •& cos (n, y) 4- cos (n, z)| ds.

(23.20)

Подставим в (23.19) выражение (21.16)

и произведем замену

порядка интегрирования,

тогда

получим

Ф (х, у, z) =

±-

[

[ [ 4-

дп

-

Ф

~ 4-)ds

-

4я

J

J \ г

т

дп

S

+ Л

со

жидкости . На основании

формул (21.13) и (23.19) для функции ф

находим

следующее

асимптотическое

представление

при

боль­

ших

R:

Ф

(х, у, z) =

-

I I (v, 9)

eZ~l

(VR

+ T )

+

О

,

(23.22)

из которого ясно

видно выполнение

принципа

излучения (23.18).

В соответствии с поставленной задачей

полагаем, что и расхо­

дуемая на образование волн энергия также

зависит

только от ча­

стоты а.

Тогда

из (23.22) для амплитуды

образующихся

круговых

волн

получим

выражение

a = ^ - | / / ( v , e ) | / ^ : .

Энергия, переносимая

волнами в каком-либо направлении

через

в е р т и к а л ь н у ю

полосу

единичной ширины,

определяется в

форме

вертикальный

цилиндр радиуса

R, будет иметь вид

<vc p ==

J * j f f ( v . e ) | ' d e .

(23.23)

—я

Аналогичную формулу можем получить в случае

конечной

глубины. Согласно

(21.28) функция G для этого случая

имеет сле­

дующий асимптотический вид:

G = = V - S r

K U

Z U - C H X ° < 2 + / Г > C H + ^

X

iX„

(I cos 9+ri sin 0) — i [ X0R+

Я

1 т /

1

av ch А,0 (z-f й)

д\ ~ ' ( X » R + " Г I

/OQO/Ч

"222

О Б Щ А Я Г И Д Р О Д И Н А М И Ч Е С К А Я

Т Е О Р И Я К А Ч К И С У Д О В

Г Л . V ]

где

М(к0,в)

=

=

( ^ ch Х0

(z +

h) е а ° <х c o s 9

+ « s i n

9> | - | ^ - — к0

\i cos 9 cos (га, ж) -f-

-f- i sin G cos (ra, ij) -f- th A.0 (2 +

h) cos (га, z)] 1 ds.

(23.25)

В соответствии с (23.24) амплитуда излучаемых круговых

волн

определяется

в

форме

« = 4 - / w ^ h V | M ( ? - e ) | -

( 2 3 -2 6 )

Расходуемая

же энергия

в дапном

случае

определяется формулой

' ср

Y Pgu

j+"a?R dQ,

или

же

окончательно

-л

16,Д

'

^

f 1 ^ ( ^ в ) | ' е Ю .

(23.27)

—л

Напомним,

что волновое

число Я,,, связано с частотным

параметром

v

соотношением

А,0 ch k0h

=

v ch Я0/г,

(23.28)

и групповая

скорость

излучаемых

волн определяется

выражением

и =

_ L J L f 1 +

=

_ L

о

vfc +

a h ' ^

2

3 2 9 )

2

?\,0 ^

1

sh 2Я0/г )

2

Я„

sh2 Я0й

v

'

Формула (23.27) приведена в работе автора

[ 7 8 ] , где рассмотрен

ряд

конкретных

задач.

Проведем теперь общий анализ дифракционной функции ф 0 ,

которая,

как и функция ф, удовлетворяет

условию (23.15)

^

-

^

.

-

2

*

т

^

+

£

^

=

0 п р и ,

=

0

(23.30)

и

условию

(23.13).

Представим функцию

ф0

в виде

Ф

о = e - i h x

c o s

е ф (х,

у, z).

Тогда условия (23.13) и (23.30) преобразуются

к виду

- ~

cos е cos (га, х) =

— (v? cos (га, х) +

У | C

O S

( П ' 2/)

+

+

cos

(га,

z))

e h z ~ i h y s i n

e ,

(23.31)

£ _ * „ _ » , , . £ . + - » f _ _ 0

( „ _ J U . _ i ) . (23.32,

О С Н О В Н Ы Е

У Р А В Н Е Н И Я

223-

У р а в н е н ие Л а п л а с а для функции ср0

переходит в следующее

урав ­

нение дл я функции ар:

. 0 - +

J p L + - ^ 1 _

2ik cos в - g L _ & 2

ф cos2 e =

0. (23.33)

Дадим оценку решения проблемы.

Д л я

этого выберем

два

характерных

линейных размера

судна:

длину L и

характери ­

стическую ширину

В* =

] / 4 ® / л ,

где

— площадь, ограничиваемая

мидель-шпангоутом.

Положим

а; = a;L,

г/ =

уВ*,

z = zB*,

тогда

условия

(23.31) — (23.33)

примут

вид

-^г- cos (га, у) -|

^r- cos (га, z) +

( - ^ — ^ =

1/сВ*ф cos 8^ cos (га, х) ~

=

— В* (v\ cos (га, х) + v\ cos (га, у) +

i ; | cos (га, z)) e ^ - ^ y s i n Ё ,

т

L

дх

кв*

\ L

I

дх*

+

J ^ L _

( А Д * cos е)2 ф -

2 Й В * cos е JL

М-

+

ду2

dz*

L

дх

7

в*

д*-у

дх2

Д л я

удлиненных

судов В*/Ь

и cos (га, х)

являются

малыми

величинами,

и

поэтому

fly cos (га, у) +

dz

cos (га, z)

=

=

—В* (ve2 cos (га, г/) +

ve3 cos (га, z)) е к г

- ш У s

i n 8 ,

(23.34)

- 5 - - / г £ * ф

=

0,

(23.35)

dz

_ (jcB* cos 8)2 ф =

0.

(23.36)

dy'1

+

dz2

Т а к и м образом, для удлиненных судов имеет место только

поперечная

д и ф р а к ц и я ;

продольная

ж е

д и ф р а к ц и я ,

имеющая

место в носовой и кормовой частях, у острых

судов

незначитель ­

на и, кроме того, из-за малости объемов

этих

частей силы, обус­

ловленные продольной

дифракцией,

еще

более

незначительны .

Это означает, что расчет дифракционных

сил можно

проводить

по плоским

сечениям, что мы осуществим

в главе V I I .

§ 24

С В О Й С Т В А К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т О В Г И Д Р О Д И Н А М И Ч Е С К И Х С И Л

225

(

4

М

<

•

-

<

2

«

>

где

М

и М'

— симметричные относительно

плоскости

Oxz

точки

поверхности

S.

Из этих соотношений и общей формулы (23.21)

вытекает,

что

на

части плоскости

Oxz,

находящейся

внутри

жидкости, справед­

ливы

равенства

=

0(s =

1, 3, 5), ф

т (х,

0, z)

=

0

(го =

2, 4, 6).

В

точках,

симметричных

относительно

плоскости

Oxz,

имеем

ф 5 (х, у,

z) =

ф 8

(ж, — j / ,

z)

(s =

1, 3, 5),

(24.11)

ф т

(х, у, z) =

— ф т (х,

— у, z)

(т = 2, 4, 6).

(24.12)

Е с л и

же , кроме

того, поверхность

S

симметрична

относитель­

но плоскости Oyz, то будем иметь

~&Г)ц

=

\~diT

'о/ ' ф

5

у ' Z )

=

ф * ( ~

^

Z

)

( S =

1 5 3

'

5 ) ' ( 2 4 - 1 3

)

( ~ б ^ ) д =

~

("5г")с-' ф т

^ ' У* Z ) =

~"ф

т

(

_

У ' 2 )

(

т =

2 ' 4 ' 6 ) '

(24.14)

где

Q

а

О'

— симметричные

относительно

плоскости

Oyz

точки

поверхности

S.

Рассмотрим

следующие

коэффициенты:

Cjm = Him

l— hm

= — P \ j ф; —

(

/

,

TYl =

1, 2, . . . , 6),

(24.15)

где

p — плотность

жидкости .

\ijm

Xjm

Точно

так

же , как и в

п л о с к о п а р а л л е л ь я о м

случае,

и

представляют собой

обобщенные

коэффициенты

присоединен­

ных масс

и коэффициенты

демпфирования .

Нетрудно показать, что матрица шестого п о р я д к а ,

составлен­

ная

из коэффициентов

Cjm,

симметрична,

т. е.

с,т

= ст}

(j, т = 1, 2, . . . ,

6).

(24.16)

§ 24

С В О Й С Т В А К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т О В Г И Д Р О Д И Н А М И Ч Е С К И Х с и л

2 2 7

г д е / 7 ! и Му

— гидродинамические

силы и их момент, обусловлен­

ные

качкой

судна:

piae iot

г> +

Ф 2

д®1

«>) ~дГ

d s •

— рие1tatИ

V +

€0

дфу

ds,

дх

Ох

дп

My = piaeiat

j "

j " (Oj

• v +

Фи)

j

(24.19)

дп

as —

s

.

5Ф2

дфу

6)

дФ

— ds,

дп

дп

F2

=

pg\\zn

ds,

Ж 2 =

pg ( j

z (г х га) ds.

(24.20)

В целях сокращений дальнейших записей введем

дополни ­

тельную

г р у п п у

комплексных

коэффициентов

d(9j

5<Р„

ds

(/, m =

1, 2,

. . . ,

6).

(24.21)

<5л

Комплексные

коэффициенты

д з

т

, как и ранее введенные

коэффи­

циенты

Cjm,

зависят

от

геометрической

формы

поверхности

S и частотного параметра v. В отличие от коэффициентов

Cjm,

коэффициенты

щт

не

удовлетворяют

п р а в и л у перестановки

ин­

дексов /

и

т,

т. е.

ф nmj.

(24.22)

Если

поверхность

S

симметрична

относительно

плоскости

Oxz,

то

на основапии свойств симметрии функций

<р.

следует,

что из тридцати шести постоянных, определяющих

матрицу

шес­

того

п о р я д к а ,

составленную из коэффициентов щт,

только

во­

семнадцать

отличны от

н у л я ,

а

именно: при /

= 1,

3, 5 и т =

= 2,

4,

6, n,jm

=

0

и при j

=

2,

4, 6 и т =

1, 3,

5, njm

—

0.

Если

же , кроме

того,

п о в е р х н о с т ь S симметрична

относительно

плоскости Oyz, то отличны

от н у л я

только восемь коэффициентов:

«13- «31. И35>

"53-

«26- Л62. re4G, n8i-

(24.23)

Воспользовавшись

обозначением

(24.15)

и

(24.21)

д л я

проекций

гидродинамических

сил

Рг(Ху,

Х2,

Х3)

и

момента

228

О Б Щ А Я Г И Д Р О Д И Н А М И Ч Е С К А Я Т Е О Р И Я К А Ч К И С У Д О В

Г Л . V I

d±_

dQ

(24.25)

dt

dt

В

состоянии покоя гидростатические силы сводятся

к

верти­

к а л ь н о й , направленной вверх, поддерживающей силе,

приложен ­

ной

в центре величины тела и уравновешивающейся весом

судна.

степени

свободы

£, 9 и if> влияют

на величину

поддерживающей

силы и ее момент, что определяет

запас

потенциальной

энергии.

П р и н я в

это

во внимание,

дл я

проекций

гидростатических

сил

и момента F2

(X,

Y,

Z)

и М2

{Мх,

Mv,

Mz)

получим

X

=

О,

Y

=

О,

Z = D

-

pg )

\

^ds,

Мх

=

y e

D - 9 g \ \

Vlids..

My =-xcD

+

(24.2G)

s

+

Pg )

\ xZids,

Mz -

0,

где S0 — площадь,

ограниченная

ватерлинией,

D — в о д о и з м е ­

щение,

xc, Ус, zc

— координаты

центра

величины

в

состоянии

покоя,

х'с — хс

=

xpzc

и

у'

— ус~

— 9zc

— соответствующее

пере­

мещение центра величины и £г

=

£ А- &у — \\>х — полное

вер­

тикальное перемещение элемента площади ватерлинии .

Вычислив

интегральпые

слагаемые

в (24.26),

находим

Z =

D - ^ t '

М

*

= У Л - - § - ,

My

=

x c

D

-

- ^

- ,

(24.27)

где П — запас потенциальной

энергии:

П = 4 - Г р « 2

+

(PgJ*

+ Dzc) 92

+

(pgjy + Dzc)

ф 2

+

+

2pgS0yt$

-

*>gSM

-

2pgJxym

(24.28)

§ 2 4

С В О Й С Т В А К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т О В

Г И Д Р О Д И Н А М И Ч Е С К И Х С И Л

229

Здесь х0 и г/0

— координаты

центра

тяжести площади,

ограничи ­

ваемой ватерлинией, Jx,

Jy

и

Jxy

— моменты

инерции

этой

площади .

Воспользовавшись

энергетическими

соображениями,

вычис­

лим коэффициенты демпфирования . В

нашей

постановке

{ijm и

kjm

зависят только

от

частотного параметра v =

o2/g,

поэтому

все

вычисления

следует проводить при и — О, т. е. пр и отсутствии

поступательного

хода.

Это

означает,

что в

формулах

(24.24)

н у ж н о

сохранить только первую

группу

сил:

Хт

= -

£

(/p m s _dVi

-

+ XmiV\sJ.

(24.29)

6

J=I

После этого замечания перейдем непосредственно к вычисле­

нию. Пусть Е — механическая

энергия,

т. е. кинетическая

и по­

т е н ц и а л ь н а я

энергии

объема

жидкости,

ограниченного

поверх ­

ностью

S

- j - 2

(рис. 6.2);

тогда, применяя теорему об изменении

энергии

жидкости, будем

иметь

dE/dt

= -

F

• V — M-Q

— N,

(24.30)

где N — энергия, уносимая

волнами

через поверхность

цилиндра

радиуса

R

за

единицу

времени.

П о л н а я энергия Е жидкого

объема

при колебательном

дви­

жении есть

периодическая

ф у н к ц и я

времени,

поэтому

среднее

значение dE/dt

за период

колебаний

2л/сг равно

нулю .

Следо­

вательно,

-(F-V

+ M- Q)0 p = Ncp.

Н о

ввиду

симметричности

матрицы

коэффициентов \ijm

среднее

значение работы инерционных сил за период колебаний

равно

нулю . Точно так же на основании (24. 27) работа

гидростатических

сил

за

период колебаний равна

нулю .

Поэтому имеем

1

"

-

п=

1

пфт

^пт =

ON

пфт

и 6 = 2 при п = т).

б

_ — ( 6 = 1

при

(24.31)

Ф у н к ц и я

Н (v, 9), согласно формулам

(24.4), (24.7),

выражается

линейно

через

Нт (v, 8)

/ / ( v , 0 ) =

_

vnHn(v,

6).

(24.32)