Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3321 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Г л а в а V

П У Л Ь С А Ц И И П Р О С Т Р А Н С Т В Е Н Н Ы Х ОСОБЕННОСТЕЙ

§21. Пульсирующий неподвижный источник

Вэтой главе в целях построения общей гидродинамической теории качки судов рассмотрим вопросы образования пространст венных волн, возбуждаемых пульсирующими особенностями.

Рассмотрение начнем с простейшего. Пусть в точке Q (|, т], £) под свободной поверхностью жидкости неограниченной глубины находится неподвижный источник, интенсивность пульсаций

которого характеризуется			экспоненциально-временным	множи
телем	eiat.
Возбуждаемое пульсирующим источником поле скоростей ха
рактеризуется		некоторым	потенциалом G (х, у, z) е ш ,	определе
нием	которого	мы будем	заниматься.

Из физических соображений очевидно, что образующиеся на свободной поверхности волны должны расходиться во все стороны от источника. Ка к будет показано ниже, на больших расстояниях

R = Ух2, + у2 4~z2 образуются волны такого же типа, как кру говые, рассмотренные в § 3 и в главе I I . Поэтому математическую формулировку принципа излучения волн можно представить

ввиде

	limVRf^—-	+ JvG] =	0,	li m \| \rRG	\| < М ,	(21.1)
где v =	o2/g — волновое число		излучаемых волн.
Д л я	определения	гармонической		функции	G (х, у,	z) имеем
граничное условие на		свободной	поверхности		при z — О
		- \| p - v G =		0		(212)


и, кроме того,		условие на бесконечности, заключающееся в стрем
лении	к нулю	производных функции G при z				— оо.
В	неограниченной		жидкости	потенциал	поля	скоростей дви
ж е н и я , возбуждаемого			источником, имеет вид
	G M = l / r , r^Y{x~-lf			+	{y-^fA-(z~lf.

Выделяя особенность 1/г и стремясь частично удовлетворить граничному условию (21.2), представим функцию G в виде

U-^r + ^r + Gt,

•

(21.3)

§ 21

П У Л Ь С И Р У Ю Щ И Й Н Е П О Д В И Ж Н Ы Й источник

201

где г' — расстояние между являющейся, зеркальным нем полупространстве

точкой Р (х, у, z) и точкой Q' (£, и, — £), отражением точки Q (g, г), £) в верх

г' = ] / > - |)2 + (у _ т])2 + (г + Q»,

a Gj — гармоническая функция во всем нижнем нолунространстве. Так как при z = 0

_ i _ _ _ j _	_ f L / _ L \ _	1_ / _ L
г ~ г' '	dz \ г j ~	ch [ г'

ю на основании (21.2) для определения функции Gx будем иметь условие

^ _ v G l	=	J } L .	(21.4)
dz	1	г	N

Ф у н к ц ии С1! и 1//' являются гармоническими функциями во всем нижнем полупространстве, поэтому очевидно, что условие

(21.4) выполняется	при всех		z •< 0.
Д л я отыскания функции		Gx воснользуемся			интегральным пред
ставлением
А. = f <л <н - а/ о ( я р )		Л ,	р = J / > -	£)2	+ (г/ - г,)2, (21.5)
где / 0 — функция	Бесселя.
Представляя функцию			в подобной	же	форме;

оо

G j = J" / 1 ( А ) ^ ( 2 + £ > / 0 ( Л р ) Й А ,

из (21.4) и (21.5) найдем

где под интегралом в (21.6)	следует подразумевать главное значе
ние в смысле К о т и .
Легко видеть, что функция
G* =	А^^П)/0(хр)

является всюду гармонической функцией и удовлетворяет усло

вию (21.2). К а к было показано в § 3, эта функция						характеризует
простейшие свободные круговые волны.
Следовательно,		общее	выражение	для	потенциала скоростей
G имеет	вид
G =	4- - j - - f	+ 2v ^	- ^ ^ Т " J ' ^	dl	+ А0е-	(V p). (21.7)

202		П У Л Ь С А Ц И Я	П Р О С Т Р А Н С Т В Е Н Н Ы Х					О С О Б Е Н Н О С Т Е Й		Г Л .	V
Остается выбрать			постоянную			Л 0	с тем, чтобы удовлетворить
условию		излучения	(21.1).
Д л я		выяснения асимптотического					характера		представим функ
цию	C?i в форме
		G! =	2 v R e l		\ _	v	HiH^dk,			(21.8)
				и
где	Но^	(х) — функция		Ганкеля		первого		рода;	при	больших	х
//о'(ж) определяется формулой
		М*> (х)	=	У	- A . e i (-/*) +			о ( _ L ) .		(21.9)

Очевидно, что если заменить интегрирование в (21.8) интегри рованием по контуру L , составленному из отрезка действительной оси 0, v — е верхней полуокружности радиуса е с центром в точке X = v и отрезка действительной оси (v -f-e, оо), то выраже ние (21.8) можно записать в несколько ином виде:

= 2v Re

№

niev

<*+ЭД> (vp) ,

(21.10)

O ( L )

где интегрирование производится по указанному выше контуру L .

Легко видеть, что интегрирование по контуру L можно пре

образовать в

интегрирование

по

мнимой

оси

плоскости X.

самом деле,

из

(21.9) видно,

что

интеграл

по

дуге

окружности

плоскости X

центром в

начале

координат

расположенной

в первой четверти, стремится к нулю при неограниченном

увели

чении

радиуса

окружности.

Поэтому

dl =

-- "0

г /

,Л

ал.

O ( L )

X — v

Полагая X =

im и принимая

во внимание, что

где К0

(х) — функция

Макдональда,

окончательно

получим

со

G 1 = - ± L J

vcosm(, + D-"*3inm(, + D

o { m

) d

2nve v ^+tW 0 (vp),

(21.11)

где N0

(х) — функция

Неймана.

§ 21	П У Л Ь С И Р У Ю Щ И Й		Н Е П О Д В И Ж Н Ы Й И С Т О Ч Н И К		203
	П ри больших	ж функции	K0,J0aN0	определяются	следующи
ми	асимптотическими формулами:
вд==УТ^		ли =		"\|/^ : соз(, - 4) + о(4 - ) ,

^<*> = / 1 г ^ ( * - х ) + 0 (4-)-

Поэтому при больших р функция G имеет следующий асимпто тический вид:

- 2 n W v ( ^ ) / ^ I s i

( v

p _ ^ ) + 0

( - L ) .

Условию

(21.1) удовлетворим,

если

положим

тогда

A0=—2nvi,

(21.12)

= — 2nviev

<*•№ j

/ _

i _

e - i (VP-W/4) _ i _ О ( — ) .

iivp

> р /

При

больших Л

выражение

для

легко

определить.

Имеем

р =

G — [\ cos 9 - f т] sin 9) +

(1/R),

где

9 — полярный

угол:

х — R cos 9,

у — R sin 9.

Следовательно, функцию G при больших R можно представить

форме

G =

2 ] / " - ^ т р -

(z+H->£ cose+it] sm e> _ i (ул+я/4)_|_ # ^ _ L j .

(21.13)

На основании (21.5) и (21.12) выражение (21.7) для G прини

мает

вид

со

- ^ - / „ ( ^ p ) d X .

(21.14)

O(L)

Если воспользоваться

представлением

для

/ 0

/0 (Я,р) =

_ 1 -

\e - i X [ ( x - l ) c o S

( y - T P s m O ] ^

(21.15)

— л

то

формула

(21.14)

будет

следующей:

со

+Я

Q =

J _ _L J

+ V

- <Д

г (ж—D

cos # _ i

(V-TI) sin ф]

2я

]

X — v

(21.16)

204		П У Л Ь С А Ц И Я		П Р О С Т Р А Н С Т В Е Н Н Ы Х				О С О Б Е Н Н О С Т Е Й			Г Л . V
Из (21.13) имеем, что с увеличением R G уменьшается как											R
Поэтому		и амплитуды расходящихся волн также							уменьшаются
пак		Действительно, возвышение						свободной	поверхности
определяется из			общего		выражения
			5(х, у, t)=-i-^-G(x,				у, 0)
п при	больших		R	имеем
Ь [х, у,	t)	=
		27 —	1 /		Pv	cos e+iri sin 0-И (of—vR-n/i)			+	О	( J — ) .
		g	У	R						\ H	I
Отсюда		амплитуда		расходящихся волн			имеет следующее			значение:
				а	=	2 - у У - ~ е	^ .			(21.17)
Уменьшение амплитуды					с	увеличением R		как R~l/'	можно		объяс

нить при помощи энергетических соображений. При излучении волн источник расходует конечную порцию энергии, среднее зна

чение которой Ncp

переносится

волнами во все стороны.

Энергия,

переносимая волнами в каком-либо направлении через

единицу

длины

поперечного

сечения,

определяется

выражением

±-pga*c

(с = - £ - ) ,

«оощая

же энергия

определится

интегралом

Xя

Л'ср =

-f

pgc j

a2R

dG.

(2118)

Так

как

Ncp

представляет

собой

конечную порцию

энергии,

расходуемую

источником, то

ясно, что a2R

должно быть

конеч

ным. Это и объясняет уменьшение амплитуды а как R~*/г

при

увеличении

Подставив (21.17) в (21.18), найдем значение расходуемой

энер

гии при излучении

волн определенной

частоты

Л Г С Р

An2pgove2vk

(21.19)

Наибольший

расход имеет

место при частоте

o = / 3 i / 4 | S | .

Нетрудно также определить поле скоростей, возбуждаемое пульсирующим источником в случае конечной глубины. При конечной глубине излучаемые волны имеют волновое число Ха, определяющееся как корень трансцендентного уравнения

§ 21

П У Л Ь С И Р У Ю Щ И Й Н Е П О Д В И Ж Н Ы Й И С Т О Ч Н И К

20.1

Хп sh X0h = v ch л0 /г. Поэтому условие излучения (21.2) для случая конечной глубины следует записать в аналогичной форме с волповым числом Х0:

l i m

I'-IS"

i m

I V'R GI <

Л/,

(21.20)

и,

кроме того,

на дне бассейна имеем

условие

dG/dz =

0 при

z — — h.

(21.21)

Ф у н к ц и ю

G определим

подобным

же

путем,

т. е. положим

G = 4

+ -7- +

C i

( 2 1 - 2 2 >

Только в данном случае г"

есть расстояние между точкой Р (х, у, z)

точкой

Q" \1,

м, — (2h - f £ ) l ,

представляющей

зеркальное

отражение точки

Q относительно

дна

бассейна:

г" = У(х

| ) 2 +(у-

г,)2

(z + 2k +

При z — ^ > 0

и z -\-2h

-}- £ > 0

имеем

следующие

интегральные

представления:

J L =

е - Х (г-£)у0

(Др) ^

J L =

(*+^+;> J n

(Яр) Л .

(21.23)

Воспользовавшись

этими

выражениями

и подставив

(21.22)

(21.2),

Получим,

что

vG, =

2 j (Я. +

v) е - ?

ch Я (Л +

£) J 0

(Яр) dA,.

(21.24)

Так как первые два слагаемых

(21.22) удовлетворяют

условию

(21.21),

то при

z —

—h

dGjdz

= 0.

(21.25)

Д л я

того чтобы

удовлетворить

(21.25), представим функцию

v форме

оо

А (л) ch X (z +

h)J0

(Хр) dX.

Удовлетворяя еще условию (21.24), мы

найдем значение

А (X) и

поэтому

получим

* +

с К

+ > >

'.МА-

(21-26)

Здесь, как и в предыдущем случае, под интегралом подразумева ется его главное значение в смысле Коши .


206	П У Л Ь С А Ц И Я П Р О С Т Р А Н С Т В Е Н Н Ы Х			О С О Б Е Н Н О С Т Е Й		ГЛ. V
Общее	решение получим,	если	прибавим		функцию
	G0 = A0ch	l0(z	+ h)	J0(Xp),
отвечающую свободным круговым волнам.
Выбор постоянной А„ из условия				удовлетворения		(21.20)
проводится аналогично и окончательное				выражение для		функции
G имеет вид, приведенный в		работе автора [ 7			8 ] :

с = ±

+	±	+ 2	г	(K+v)eT:li!:(h+?Sl{z+h)	'оо»*
1	г"	'	J	к sh Ah — v ch Ah	u
			CHL)

где контур L составлен из отрезка			(21.27)
где контур L составлен из отрезка	действительной		оси 0, ^ — е,
верхней полуокружности радиуса	е с центром	в	точке К •— К0
и отрезка действительной оси Х0	- ] - е, оо.
При больших R функция G имеет следующее		асимптотическое
представление:

G = / 5 W

c h ^ (h + 0 ch ^0 (. + h) x

eiK

il cos e+n sin 9) —i <>.„Н+я/4)

О ( - i - j ,

(21.28)

где

a — групповая

скорость

излучаемых

волн

= 1

(

1 +

- \

v M

; . f

> f e .

(21.29)

А,,,

2A„h

A,,,

sh2A,0/j

На основании (21.28) имеем следующее выражение для ампли

туд

расходящихся

волн:

—

c h v ; + S )

•

(21-30)

Энергия, уносимая волнами в каком-либо направлении через еди

ницу

длины

поперечного

сечения,

данном

случае

равна

-j pga2u.

Поэтому

полная энергия, расходуемая источником на

излучение

волн,

имеет

следующее

значение:

; v c p

_л Р #

_ _ _ _ .

(Zi.di)

При малой глубине бассейна Хи =

a/c,

v — a2h/c2,

где с

есть фазовая скорость излучаемых волн, совпадающая в данном

случае

с групповой скоростью

и. В соответствии

со значениями

Я,0 и v для малой

глубины бассейна

имеем

Ncp = 2n2p~.

(21.32)

Д В И Ж У Щ И Й С Я и П У Л Ь С И Р У Ю Щ И Й источник

207

Из (21.32) видно, что чем меньше глубина бассейна, тем боль ше расходуется энергии при излучении волн. Помимо этого, при излучении коротких волн расходуется больше энергии, чем при излучении длинных волн.

Нетрудно поэтому убедиться, что если сопоставить значение расходуемой энергии (21.31) для случая конечной глубины бас сейна со значением расходуемой энергии (21.19) для случая не ограниченной глубины жидкости при одной п той ж е частоте, то, начиная с определенной частоты, значение энергии для случая

конечной	глубины будет больше, чем для случая неограниченной
глубины.	Из	физических	соображ-ений это обстоятельство оче
видно. В самом деле, в случае неограниченной глубины					жидкости
поле скоростей затухает по экспоненциальному				закону	с увеличе
нием глубины		жидкости.	Д л я создания этого	поля	скоростей

энергия в основном отдается частицам, расположенным в неболь шом слое, примыкающем к свободной поверхности. В то же вре


мя при конечной глубине бассейна поле скоростей						сравнительно
медленно		затухает с увеличением глубины и не				исчезает	при
z =	—h.	Поэтому для его создания энергия отдается всем части
цам,	расположенным по всей глубине бассейна.
Таким образом, пространственные ограничения						жидкости	обу
словливают			увеличение расходуемой энергии для излучения				волн.
		§	22. Д в и ж у щ и й с я и пульсирующий		источник
			в	жидкости неограниченной глубины
Пусть		теперь		под свободной поверхностью	тяжелой Ж И Д К О С Т И
имеется пространственный источник, движущийся						прямолинейно
и горизонтально с постоянной скоростью к и в то же время							пуль
сирующий по гармоническому закону с частотой а.

Решение задачи будем проводить в подвижной системе коор динат, связанной с источником, причем ось Ох направим в сто рону движения источника. В подвижной системе координат по ложение источника определяется точкой Q (g, и, £) и потенциал скоростей, возбуждаемых пульсациями источника, будем по-преж нему обозначать через G (х, у, z), опуская для краткости экспо ненциально-временный множитель. В целях устранения неопре деленности введем малые диссипативные силы, которые впоследст вии при окончательном решении задачи удалим. Напомним, что

граничное условие			для функции		G {х, у, z)	с учетом	диссипатив-
ных	сил	(условие	(14.23))	имеет	вид
- f -	-	2»т (1 - ф) - g - -		v (1 -	2Щ G + ^ -	^ - = 0	при 2 = 0,
							(22.1)

208

П У Л Ь С А Ц И Я П Р О С Т Р А Н С Т В Е Н Н Ы Х

О С О Б Е Н Н О С Т Е Й

Г Л . V

котором

= Т

T '

(22-2)

нашу

задачу

входит

определение

гармонической

функции

имеющей особенность

типа

1/г и удовлетворяющей граничному

условию (22.1). Кроме того, производные функции G во всем

нижнем

полупространстве,

за исключением точки Q, д о л ж н ы

быть ограничены и стремиться к нулю

при z —*• —оо.

Функцию

G (х, у, z)

будем

искать

форме

G (х, y , z ) ^

j -

- - L

G1 (х, у, z),

(22.3)

где г' по-прежнему обозначает расстояние

между точкой Р (х, у, z)

точкой

(Е, т), £),

представляющей

зеркальное

отражение

точки

() (Е, 11, £) в верхнем

полупространстве, a

Gx (х,

у, z) есть

гармоническая функция

во

всем

нижнем

полупространстве.

Так

как

—

;

г ,

•

" =

(« > • 0) ПРИ

Z =

то для определения

функции

имеем

условие

2irv

(1 - m

« b

, -

{

i - 2ф)

G, + т 2

—^т- при

z •• ~ 0.

Так как в обеих частях написанного выше соотношения имеем функции, гармонические во всем нижнем полупространстве, то для всего нижнего полупространства будет справедливо равенство

v «L- - 2 ™ (1 - ф)

V2 (1 - 2ф) Gl + ^ - ^ - =

2v-^-±-.

(22.4) Чтобы решить это уравнение, воспользуемся представлением

+Я со

—л 0

пригодным при z + £ < 0. Очевидно, что функция

+ Л со

XfJz+Z+i (*—S) cos # + i (у—тр	sin # ] .
x2?v2 cos- § — 2TV (1 — cos О —	t- v- (1 — 2ф) dftdk

—л о

(22.6)

§ 22	ДВИЖУЩИЙСЯ И ПУЛЬСИРУЮЩИЙ и с т о ч н и к	209
§ 22

определяет гармоническую функцию, удовлетворяющую уравне нию (22.4). Д л я того чтобы в окончательном решении устре мить В к нулю, исследуем, каковы особенности подынтегрального выражения (22.6). Эти особенности определяются как корни урав нения

	х2к2 cos2 О - [2т ( I -		Z0) + 1] v/i + v2 (1 - 2ф) = 0.		(22.7)
	Р е ш а я это уравнение,	находим
. '	_ 1-1- 2т (1 — if,) соя f> +	ТА + 4т cos ft — 4rtP cos ft — 4т3 р> 2		cos2	ft
1	~~ V	2x3 COS2 ft
	1 + 2x (1 — ф) cos ft — Vi		+ 4т COS ft — 4xi\|i cos ft — бхф	cos 2 §
			2т'2 cos- ft
					(22.8)

При p = 0 значения корней уравнения (22.7) принимают более простой вид

кг	— v •	1 \|- 2т cos ft -f Vl	+ 4т cos ft
		2x2 cos- d		(22.9):
		1 + 2т cos ft — у	1 -f 4T cos ft
A,,	v
		2x2 cos2 ft
Д л я гидродинамических задач о			качке судов параметр т —

=может быть больше или меньше нуля . В соответствии с

этим будем

рассматривать два случая

(т >

0 и т < 0) и

введем

в рассмотрение угол #

— п 0

в промежутке (0, л/2), определяемый

формулой

при

j т | < -

пг

ри

(22.10)

arccos

4 г

хт I

1 4

Тогда легко видеть, что корни к

и к

действительны и положитель

ны для значений г>, определяющихся из неравенств

| г > | < л

— Од,

если т > 0

и я > | 0 | >•&•„,

если т < 0 , (22.11)

Д л я

всех

же остальных

значений

О промежутка (—л, -\-л)

эти корни

комплексны.

Исследуем теперь значения мнимых частей корней kt и кг-

Рассматривая

значения г>, определяющиеся

неравенствами

(22.11),

и малые

значения

\хх

= 2о"Р, будем

иметь

Л.1 =

Л-2 — i

1 +

4т cos ft +

О ((if),

cos ft

|/Ч

-j- 4т cos ft

(22.12)

ц,

1 + 4T COS ft — 1

%2 = ко — i

0(jif).

2ucosO

1-{-4T cos Ф

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3321 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20234.21 Mб10Харрик И.Ю. Функции многих переменных.pdf
#
25.10.202314.52 Mб41Харт Э. Гидратированный электрон.pdf
#
19.10.20236.15 Mб6Хартович, Ю. И. Вибрационный выпуск руды.pdf
#
23.10.20236.99 Mб9Харчева Л.И. Концентрация производства и эффективность ее современных форм.pdf
#
29.10.20233.77 Mб17Харченко К.С. Практика профильного шлифования.pdf
#
25.10.202312.5 Mб36Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля.pdf
#
23.10.20234.62 Mб14Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
#
29.10.20234.32 Mб14Хацкелевич В.А. Расчет режимов генератора при анодной модуляции на новых лампах.pdf
#
24.10.20239.84 Mб6Хачатрян Х.А. Стабильность работы почвообрабатывающих агрегатов.pdf
#
22.10.202314.34 Mб28Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf
#
19.10.20237.4 Mб96Хаяк, Г. С. Инструмент для волочения проволоки.pdf