Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3320 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

190	П Л О С К И Е	З А Д А Ч И Т Е О Р И И	К А Ч К И	С У Д О В	Г Л . I V
где	v, — нормальная	скорость в центре пластинки, v2			— норма л ь-
ная	скорость в точке,	отстоящей от	задней	кромки	на одну чет

верть смоченной длины, Q — угловая скорость и у (а) — разрыв горизонтальной скорости вдоль возмущенной водной поверхности,

который можно рассматривать как плотность вихрей,

остающихся

за

глиссирующей пластинкой. При" этом сила

У 2

считается

приложенной в центре пластинки, а

сила У 3 — на

расстоянии

одной четверти

смоченной

длины

от

передней

кромки . Момент

Му

компенсирует

перенос

силы

У х

4- У 2 в

центр

пластинки .

Сила

учитывает

эффект

присоединенной

инерции,

сила

У 2

может быть получена по гипотезе стационарности

и,

наконец,

сила У 3

учитывает

эффект

сбегающих

вихрей.

Если V есть вертикальная скорость

заднего к р а я ,

Р — угол

атаки, то нормальная

скорость

в любой

точке

пластинки

имеет

вид

= -u$

+ V +

Q!x+4r

поэтому

V ^ - u t

+ V-h-^-,

-uV

V+^L.

(20.9)

При установившихся колебаниях с точностью до малых вто

рого порядка

можно

положить

б (bv2)

Аеш.

этом

случае

У 3

ио (bv2) ve%

(20.10)

где

iilf

( 2 )

7 / ° 2

) (

0 > ) ( 2

)

(со)

{

[ с о = ^ Ц .

(20.11)

(со)

Ilf>

Здесь 7/о2 ) и Н[2)

— функции

Ганкеля .

Определим теперь силы, обусловленные дифрагированным

вол

новым движением. Очевидно, что дифракционный

потенциал Ф 2

удовлетворяет следующему граничному

условию:

- ^ 2 . = -

1стоГов< W+h <Х+°Я при у = 0

| х | <

а.

(20.12)

Проведем

вначале

приближенную

оценку,

полагая

кх

при

| х \ -< а

малым,

т. е.

е т « - х ~

1 +

ikx,

тогда условие

(20.12) примет вид

дФ2/ду

= — ю0г0е1

(f(+fea)

( J

Г Л И С С И Р О В А Н И Е П О В О Л Н А М

191

Введем	в	рассмотрение		абсолютную скорость движения час
тиц волны	и	абсолютную скорость			изменения	волнового склона
в центре пластинки:
			<9Ф* \
			°У / у = = с = 0			(20.13)
		СО,	O(ikr0el	С ' * ' « О
При помощи (20.13) предыдущее					условие представится в виде
			дФ2/ду	= — ve	— соех.	(20.14)
Отсюда	видно,		что в первом приближении			эффект набегания

волн сводится к глиссированию в однородном набегающем по

токе,	поступательная	скорость	которого ve и угловая скорость
сое. Поэтому выражения для			сил, обусловленных дифракцией,
можно	сразу записать	в виде

Y°=Yl+	Y°2 + Y°3,
				1	db	ab
				2	dt	j (20.15)
У 3 = — l — и \ ve		- f -j-1 vet X				j (20.15)
У 3 = — l — и \ ve		- f -j-1 vet X
ярЬ4		ярО3		db
256	dt	Ve\u	+	dt

В линейной постановке Ъ = b0 -f- 66 и, следовательно, с точ ностью до малых второго порядка в (20.15) можно положить *) b = b0 = const.

Д л я оценки	дифракционных			сил	при любых	к = aj/g вос
пользуемся формулами		[461
— paai?,		У 2 =		— Р" А Уз =		— puAveiX,
2	poa~c •	г'ра
2	poa~c •
где
Л =		а+1	dt,	В =	^ - \	F®Va2-l2dl,
		а+1

+а

и в нашем случае

*) К этой гипотезе автора следует отнестись с осторожностью, проверяя при решении каждой задачи, действительно ли малы величины 66 по сравне-

нпю с Ь0 и —т— по сравнению с и. at

192

ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ КАЧКИ СУДОВ

ГЛ. IV

Коэффициенты А, В и С легко выражаются через функции Бесселя. Проведя эти вычисления, представим выражение для дифракционных сил в форме, удобной дл я сравнения со случаем малых v = Оо a/g:

,,°

лрЬ'г

dv.

__о

Л р ь и

ш„6

- |

- a

ярЬи

vea2

(v) +

-^-cc3(v)\vew,

(20.16)

ряЬ4

, .

<Ч

, ЯрЬ2

, .

l 5 g -

(v) —

««i (v) l>*

~d7

где

коэффициенты ai

(v) при v =

0 равны

единице,

а при

других

имеют

вид:

2/j (v)

, .

т / \

i \ 8 А

(v)

Вышеприведенные формулы позволяют произвести расчеты амплитуд и фаз вынужденных колебаний глиссирующей по вол нам пластинки.

Определим теперь дифракционный потенциал при косом набе

гании волн на глиссирующую				пластинку . В				этом случае
ф * = j & r		gi [ot—h (х cos е + г sin е)]						+ky	(20.17)
дФ0	— vee~ihx		c o s 8 при			у = 0,		I х j < a,	(20.18)
	— vee~ihx		c o s 8 при			у = 0,		I х j < a,	(20.18)
где									(20.19)
									(20.19)
причем ось z направлена по размаху						пластины.
Пренебрегая	весомостью		жидкости			для	определения		гармони
ческой функции	Ф 2 (х, у, z,		t),	имеем		обычные условия			дл я	не
установившегося	движения:
ф 2 =	0 при у =		0,	х >	а,
дФг	ф 2 =		0 при		у = 0,				(20.20)
дх	ф 2 =		0 при		у = 0,
дх
Таким образом, требуется разрешить пространственную										зада
чу по условиям (20.18) — (20.20).
В соответствии с видом		условия			(20.18)		положим
	ф 2	=	- а у е ф		(х, у),				(20.21)

где х — .т/a, у — у/а и z = z/a — безразмерные координаты.

§ 20

Г Л И С С И Р О В А Н И Е

П О В О Л Н А М

193

Условия

(20.18) и (20.20) примут вид

дц/ду

= e~i v * (v =•= ка cos 8) при у =

\х | <

(20.22)

Ф = 0 при

у =

0 и * > 1,

(20.23)

д($!дх

— imp =

0 при

г/ =

х <С — 1

(20.24)

(<о =

оа/и);

п р и этом уравнение Лапласа для

функции

Ф 2 , превращается

следующее уравнение для функции ф:

Л±

_ т

2 ф =

о,

( V l

ка sin е).

(20.25)

дх"-

из

Если

функция

Ф 2

найдена,

то давление

можно

определить

выражения

дФ„

= РI — - з г - -

дх

ю ф

или

же ,

учитывая

(20.21),

р = — р1л>е

/ - ^1

коф).

(20.26)

Граничная задача об определении функции

ср по

уравнению

(20.25) и

условиям

(20.22)

— (20.24)

вполне

аналогична задаче

о вибрации крыла в дозвуковом

потоке

газа,

рассмотренной

нашей работе [ 7 3 1 . В этой работе, а также в

монографиях Л . И. Се

дова [ 4 6 ]

Ф. И. Ф р а н к л я

Е.

А. Карпович

[ в 4 ] , в

которых

приведены

результаты работы

[ 7 3 ] , подробно

изложен

метод по

строения

решения. Здесь мы ограничимся

изложением

основных

идей метода построения решения.

Расчленим

поставленную выше

задачу

на

две более

простые,

а именно, представим

функцию ф в виде суммы двух

функций:

Ф (х, у) = фо (х,

у) +

гр (х, у),

(20.27)

где

(и в дальнейшем)

ради

простоты

опускаем черточки

над бук

вами х ж у.

ф0 (х,

у)

Ф у н к ц и я

удовлетворяет

следующим

условиям:

дх2

- 5дуР1

г г Ф о - и -

е _ ш П р И у =

о, | х | < 1,

(20.28)

ф 0 =

при

у =-- 0,

| х | >

7 М. Д . Х а с к и п д

194 П Л О С К И Е З А Д А Ч И Т Е О Р И И К А Ч К И С У Д О В Г Л . I V

функция

г|э (х, у)

определяется

из

условий

92г1з

д2\Ъ

о ,

ф =

при

у =

х>

коф = 0 при у =

ж < — 1,

(20.29)

д\|;

= О

при

у — О,

| а: | < 1.

Кроме

перечисленных

условий,

потребуем,

чтобы

Уф 0 и Уф

окрестности

точек

г/ — 0, ж =

1 имели

вид:

Vq>0

1'б

-Г-Ф1-

Vi|3

Фх

(62±=

(Ж ±

I ) 2 + if

|'6

(20.30)

где Сг

С 2

— некоторые

векторные

постоянные,

векторные

функции

ф! и ф х остаются

конечными

при

б ±

-*- 0.

Очевидно,

что

функция

ф =

ф„ +

я|з,

где

ф0

и ф

определены

из

условий

(20.28)

— (20.30),

удовлетворяет

системе

условий

(20.22) — (20.25).

Далее,

очевидно,

что

функция

Ф = ф0 + ф

может

быть определена

из

условий

(20.29)

(20.30)

точностью

до мультипликативной постоянной у функции ф. Эту постоянную в дальнейшем определим из условия конечности скорости на зад нем крае пластинки.

Д л я решения задачи мы воспользуемся эллиптической	системой
координат
# = ch\|cosr\|, у — sh g sin п.	(20.31)

В этой системе координат уравнение (20.25) имеет частными решениями две совокупности функций Матье Sen (g) se„ (п) и Се„ (£) сеп (п) с мнимым параметром i v t . Функцию ф0 (х, у) можно представить в виде разложения в ряд

Фо:

У, ап

Sen (g)

se„ (п).

(20.32)

Sen (0)

Разложение

(20.32)

удовлетворяет

всем

условиям

(20.28)

(20.30),

за

исключением условия на

отрезке ( — 1 ,

- f l )

дл я

д(р0/ду.

Д л я

того

чтобы

удовлетворить

этому

условию,

составим

производную

<9ф0/3г/ и

положим

у =

0, \х \ < ; 1, т.

е.

£ =

и | <

л .

Имеем

с о

V ап sen (п) = e-i v c o s n i sin ц.

§ 20 Г Л И С С И Р О В А Н И Е ПО В О Л Н А М 195

Воспользовавшись ортогональностью функций Матье, для

коэффициентов ап

находим

выражения

e~iv c o

ч sin т) sen

(и) dr\.

(20.33)

п — IT

При

помощи

тригонометрических

разложений

для

функций

«'„

(ч)

значения

ап

могут

быть

выражены

через

коэффициенты

Вп,т

этих разложений

функции

Бесселя

/ т (v).

Не

останав

ливаясь на этом, перейдем к определению функции

\р (х,

у).

Как

и в случае,

рассмотренном в

конце

§ 19, введем

вспомо

гательную функцию

(х,

у),

связанную с ф (х, у)

соотношением

и удовлетворяющую

следующим

условиям:

Jl^L

2 ^ ' =

о,

lim VK

VFF = const.

(20.35)

дх*

ду*

± ^ 0

Д л я

того

чтобы

полностью

определить

функцию

FT (z, у),

необходимо составить граничные условия на оси х. Из системы

условий (20.29) при у =		0 имеем
—*	и о ф = 0 , he > 1,	-т—f-	ia-^- =

> ' ^

дх ду

ду

	Поэтому	для функции И7				(ж,	</)	имеем	следующие	условия
при	у = 0:
		*W	о. \| * \| > 1 .				^ ? - = 0 ,		\| л \| < 1 .	(20.36)
		ду	•	1 - 1 -	-		ду*
	Н о так как функция			W (х	у) удовлетворяет уравнению (20.35),
то второе из условий (20.36) можно								заменить следующим:
из	которого	имеем,	что при		у	=	0 и	\х \ <	1
			W (х, 0) =			AelX	+	fie~v,x,	•	(20.37)

где А	а В — постоянные интегрирования.
Очевидно, что функцию		W	(х,	у) можно представить	разложе
нием	в ряд по четным функциям			Матье:
		0 0		Се {*)
	W (х, у) =	£	Ь„ -^^щ се п (ц).		(20.38)

п = 0

196

П Л О С К И Е З А Д А Ч И Т Е О Р И И К А Ч К И С У Д О В

ГЛ . I V

Легко видеть, что представление (20.38) удовлетворяет усло виям (20.35) и первому из условий (20.36). Д л я того чтобы удов летворить второму из условий (20.36) И Л И эквивалентному ему условию (20.37), положим у = 0 и | х | < 1, т. е. g = 0 и | и | < л.; тогда получим

J Ъпсеп(Ц)	= Ае^с0		T 4 f t r v ' C O B T	1 .
n='J
Учитывая ортогональность		функции Матье		се„ (и), будем
иметь
Ъп	= Аа(?	+	Ва{2\	(20.39)
где

«!?

= -sr

Т C ° S 4С Е "*>•

= { \ П о

( 2 а 4 0 )

При подстановке тригонометрических

разложений для

се„ (и)

в (20.40) можно получить выражения для а± п ) через

коэффициенты

Ап,т

этих

разложений

функции

Бесселя

I m (v,)

от мнимого

аргумента.

Д л я функции W [х,

у)

можно также

получить

интегральное

выражение. В самом деле, эту функцию

можно построить,

распре

делив

«источники»

на отрезке ( — 1 ,

-f-1):

+ i

W(x,y)=

y(s)K0(vir)ds

(г* = (x -

s)* +

у*),

(20.41)

К0

— i

где

— функция

Макдональда.

Очевидно, что

выражение (20.41)

удовлетворяет

уравнению

(20.35) и первому из условий (20.36). Удовлетворяя условию

(20.37), получаем

интегральное

уравнение

Фредгольма

первого

рода для функции

распределения

источников:

у (s) К0

(v1\x

— s\)ds=

Aev>x

Be~v>x.

(20.42)

— i

у =

Из

формулы

(20.41)

следует,

что при

0 и

| х | <

1 имеют

место

соотношения

\ ду

} у = _ { )

ду

(20.43)

Сравнивая (20.43)

(20.38),

получаем

решение

интегрального

уравнения

Y ( * )

Ау+ +

Ву_,

Се„(0)

п = 0

{ 20	Г Л И С С И Р О В А Н И Е	ПО В О Л Н А М	107
Вернемся теперь к соотношению (20.34), связывающему			функ
цию ф (х,	у) с функцией W (х, у).	Функция ф (х, у) может	быть

определена из условий (20.29) и (20.30) с точностью до мультипли кативной постоянной. Функция W, связанная с ф (х, у) диффе ренциальным соотношением (20.34), определилась как линейная комбинация двух констант А и В.

Поэтому выразим функцию ф (х, у) через dW/ду							и посмотрим,
какие из условий	(20.29) и	(20.30)		при определении				функции
W (х, у) были упущены. Рассматривая соотношение (20.34) как
дифференциальное	уравнение, определим				функцию		ф (х,	у) в виде
ф (х, у) = е™х		jX е~iau		awj£	у )	du.		(20.45)
		-{-со
Ясно, что функция ф (х,		у),	определяемая			формулой		(20.45),
удовлетворяет уравнению			vfty =
	Дф -			0.

Действительно, из (20.45) следует

(д/дх — т) (Дф — vfy) = 0,

поэтому

Дф — v2\p = / (у) eiu>x.

Но, согласно (20.45), левая часть стремится к нулю при £ - > - f оо; следовательно, / (у) = 0.

При у = 0 имеем

ф(х,

0) =

х>

ф (х. ±

0) =

е+Шх

[ т

{и'

* 0

)

V - t

o u

du,

I х

I <

ду

(20.46)

ф(х,

0) =

e+iax

j "

Э И

( ^ ± 0

)

е-*®»du,

- 1.

Остается лишь проверить выполнимость условия на отрезке ( - 1 , - И ) :

дл[1ду = 0 при у = 0, | х | < 1.

(20.47;

Составим для этого производную д ф / % . Имеем

ду

)

ду1

198

П Л О С К И Е З А Д А Ч И Т Е О Р И И К А Ч К И С У Д О В

Г Л . I V

так

как

д'-W

d2W

найдем

ду*

—

_|_ viW, то, интегрируя по частям,

Ьи-

дяр

д\У

- f коW — (х\ + a2 ) ei0,x

| e~iauW

(и, у)

du.

дх

-[-со

Полагая у — 0 и \ х\

1 и учитывая (20.37), мы выполним

усло

вие

(20.47),

если

е-тиЦ7 (щ

0) dll -f- 6 > - i

(20.48)

-|-oo

v1 — m

V i -f-

Соотношение

(20.48)

связывает

линейной

зависимостью

констан

ты А

и В. Таким

образом, найдены две функции

ср0 и яр, удовлет

воряющие системам условий (20.28), (20.29), и, следовательно,

функция

ф = Фо +

ipi содержащая

одну произвольную

постоян

ную,

удовлетворяет

системе

условий

(20.22) — (20.25).

Опреде

лим

произвольную

постоянную из

условия

конечности

скорости

на заднем крае пластинки (у = 0,

х =^—1).

Очевидно,

что дл я

этого

достаточно

потребовать

конечности

выражения

Зш

9ф„

- J x L - m ( f

- b f - - m ( P o + - W -

в точке

у — 0,

х = — 1 .

у = 0 и

\ х\ < 1

Учитывая разложения

(20.32)

(20.38), при

получим

Зф

— 1(0ф

дх

сю

sen (г|)

Sen (0)

Сеп (0) се п (Л )

- у

т sen

(н)

sin t]

«» — ;

о я

т г

Se„(0)

п = 0

Сеп (0)

sin я]

п ^ 1

(20.49)

Условие конечности скорости при j = 0

и i

= —1 дает сле

дующее:

•

l i m

x (дц>/дх — ioxp) =

(20.50)

Ж-1

Приняв

во внимание

(20.39),

получим

соотношение

между

AS+

-\- BS_

l ,

(20.51)

где

через S±

и Yi обозначены

выражения

V ш

С е " ( 0 )

, \

•

S±=y,

«<g) С е

с е п ( я ) ,

(20.52)

7i =

« п

— ;

(л).

Sen (0)

n V

;

20 Г Л И С С И Р О В А Н И Е П О В О Л Н А М 199

П о л ь з у я сь формулой (20.26), можно

вычислить

суммарную

силу У° и момент М°, действующие на каждое сечение

глиссирую

щей

пластинки.

Имеем

Y° ••

puv, a

j , | | -

— г'соф)

dx,

-i

(20.53)

М°

— puvea2

j " (-^

йоф) x dx.

Подставив (20.49) в

(20.53) и воспользовавшись тригонометри

ческими разложениями

для sen

(и) и се„ (п), найдем

npuvea

9 ^

Л Л

С е п ( ° )

, • V

S e n ( ° )

—

М °

(20.54)

V -

4 ( 0 )

Sen (0)

L n = 0

п=1

Sen (0)

Этим мы ограничим

свое

рассмотрение

дифракционной

задачи

д л я

глиссирующей

пластинки.

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3320 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20234.21 Mб11Харрик И.Ю. Функции многих переменных.pdf
#
25.10.202314.52 Mб47Харт Э. Гидратированный электрон.pdf
#
19.10.20236.15 Mб7Хартович, Ю. И. Вибрационный выпуск руды.pdf
#
23.10.20236.99 Mб9Харчева Л.И. Концентрация производства и эффективность ее современных форм.pdf
#
29.10.20233.77 Mб18Харченко К.С. Практика профильного шлифования.pdf
#
25.10.202312.5 Mб41Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля.pdf
#
23.10.20234.62 Mб15Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
#
29.10.20234.32 Mб19Хацкелевич В.А. Расчет режимов генератора при анодной модуляции на новых лампах.pdf
#
24.10.20239.84 Mб6Хачатрян Х.А. Стабильность работы почвообрабатывающих агрегатов.pdf
#
22.10.202314.34 Mб31Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf
#
19.10.20237.4 Mб111Хаяк, Г. С. Инструмент для волочения проволоки.pdf