книги из ГПНТБ / Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля

170

П Л О С К И Е

З А Д А Ч И

Т Е О Р И И

К А Ч К И

С У Д О В

Г Л . I V

Д л я

удобства

будем

пользоваться

системой

координат,

изоб­

раженной на рис. 4.8.

Потенциал скоростей волнового движения определяется вы­

ражением

ф

=

( ф - f ф*) e>at,

(19.1)

где

ф *

=

-

/ J L r 0 e - v

(19.2)

Д л я

определения

гармонической

функции

ц> (у,

z) имеем

гра­

ничные

условия

^

+

=

0 при z =

0

fv =

— V

(19.3)

dz 1

\'

g

- 0 -

= v+

со2 - f or0e~vz

= V (z) при

г/ = 0

и

0 < z

< Г .

(19.4)

К этим

условиям присоединяется

условие

образования

расхо-

дящихся по обе стороны от

•—*~

^

пластины

волн

ф(г/, z)

= 5 ± e - v ( 2 ± ^ >

при

г/ -» +

оо,

(19.5)

а

также

требование

об

Рис. 4.8.

ограниченности

производных

функций

ф и стремление

их

к

нулю

при z —у оо.

Введем теперь в рассмотрение функцию комплексного

пере­

менного w (х)

=

ф - f hp. В данном случае в качестве

независимого

комплексного

переменного

возьмем

х =

z

- j - iy.

Условие

(7.3)

на границе жидкости

примет вид

Re [ ~

+

vw^j = 0

при

z =

0.

(19.6)

dw

о,

.

ia'1

,,

п _

- ^ - H - v u ;

= - f

+

- ^

+ ••• ,

(19.7)

где flj,

Й 2 ,

—действительные

константы

относительно

мнимой

•единицы

i.

Покажем, что

= 0.

В

самом

деле,

на основании

условия

(19.6)

убеждаемся,

что

Re

- f vw)

в

симметричных

относительно

оси у точках

принимает значения,

одинаковые

по

величине,

но

противоположные

по

знаку,

a

Ira

+

vw\

непрерывного изменения ду/ду

и

ф

при

переходе

через

отрезок

(О, Т)

величина

l m

-f- vw^j

меняется

также

непрерывно

п р и

этом

же переходе.

Поэтому

w)dx

= 0,

(19.8>

с

где

С — контур,

охватывающий

отрезок

(—Т,

+

71).

Последнее

равенство доказывает, что аг = 0.

/ (х)

= г -\-

is,

Введем в рассмотрение

другую

функцию

свя­

занную с w (х) дифференциальным

соотношением

и условием / =

0 при х

=

оо.

Очевидно, что функция / (х) голоморфна

и однозначна

всюду

вне

отрезка (—Т,

-\-Т) и ограничена

во всей

плоскости,

включая

этот

отрезок.

Из

(19.9) имеем

дг

дер

,

ду

~

ду

Р'

_|4L =

_ _ | l L= i ; +

( O Z , от e-v* =

у (г),-

г

Ф = Ф1 -

\ V (г) dz =

ф, ~

v(z

Т)

^ - (z2

Г)

+

т

+

- ^ - ( e - ^ - e - V I > .

где ф! — значение

функции ф в точке

(Т, 0), то для дг/ду

на от­

резке

(О,

Т) получим

условие

где

дг/ду = А + Bz + Cz2 = R (z),

(19.10)

A = or0e-vT

— vth +v(l—vT)

— -Ц-

о),

(19.11)

2

В = со - j -

vy,

f =

vco/2.

В силу продолжения значения дг/<9г/ на отрезке (0, —Т) сле­

дует взять

равными соответствующим

значениям дг/ду на

отрез­

ке (0,

Т).

Итак, мы приходим к известной решенной задаче об опреде­

лении функции df/dx,

голоморфной во всей плоскости (х =

z -Н#>

вне

отрезка

(—2",

-\-Т), по

заданной мнимой части этой функ ­

ции на отрезке (—Т,

-(-Г) и при условии

(19.8). Общее

решение

имеет

вид [ 4 6 ]

+т

df

1

С

R (г) УГ- — г2

dz.

(19.12)

dx

ni У х*- — Г*2

J

z — x

fZTr

Учитывая

вид

функции

Я (z),

определяемый соотношением

(19.10), и

проведя

вычисления,

найдем

df

. . х — У х'- — Г2

,

dx

=

iA

V/ х2

—

Т*

у

+ * 4 -

2хТ

1 -

1 / l - f - l - 1 a r c t f f

у х2 _

fi

Я

+ iC

• r 2 i - i 2

"( г2 — Г2

(19.13)

/

а;2 — Г2

Определив функцию / (х), мы на основании (19.9) находим

следую­

щее

выражение

для функции

w

(х):

w (х) =

е-

Ai +

iA2+

\

~e^dx

(19.14)

где

Ау

и А2

— постоянные

интегрирования и контур интегриро­

вания

( — оо, х)

изображен

на

рис. 4.9.

Легко

видеть,

что

w (х) =

(Лх + iA2) e~v*

при я—> loo

(19.15)

и' И =

+ Ш 2 ) e-v* j

§ 19

К О Л Е Б А Н И Я В Е Р Т И К А Л Ь Н О П О Г Р У Ж Е Н Н О Й П Л А С Т И Н Ы

173

охватывающим

отрезок

(— Т,

-\-Т),

и

стягивая

затем контур С

к этому

отрезку,

найдем, что

+т

В± + 1Вг

= А,

+

iA2

+

2

j 4 j ± -

e"dz,

(19.16)

где dr+jdz — значение

drldz

- г

(—Т,

-\-Т)

при

подходе

к

отрезку

со стороны у >

0.

Д л я

того чтобы

удовлетворить

условию

(19.5)

об

образовании

расходящихся

волн,

следует

положить

Ах

= jA2

= В + ,

/5Х

=

-

)Вг

= В_

(19.17)

Поэтому, заменив

в

(19.15)

i

на у и затем i на — j

,

получим

выра­

жения

для 5 +

и

В-

+т

В ± -

+

' + evzdz.

(19.18)

dz

Из соотношения

(19.13)

имеем

дг.

2 з

2

тч

2В

+ С

dz

У Тг — za

_

J

L

z i n

l

± i

^

£ l

.

(19.19)

174

П Л О С К И Е

З А Д А Ч И

Т Е О Р И И

К А Ч К И

С У Д О В

Г Л . I V

Подставив это выражение в (19.18) и воспользовавшись

интег­

ральным представлением для функции Бесселя от мнимого

аргу ­

мента,

получим,

вводя

обозначение

к —

vT:

в +

=

+

л [ATI\ (к) +

с г

7 -

i

-+

A

)

Л

(/,) _

4 / О

(Й)

2ВП

M * ) + 4 r V

(k)-^-I0(k)

(19.20)

где

I N

(к)

— функция

Бесселя

от мнимого

аргумента

h

'Jn (-ik)

=

(-

ifln

(к),

V

{к) =

J / 0 (A) dfc.

(19.21)

б

В выражение

(19.11)

для

А

входит

неизвестная постоянная гЬг,

п р е дс т а в л я ю щ ая значение функции

гЬ в

точке (О, Т).

Определим

эту постоянную. Полагая в (19.14) х

=

z и

приняв во

внимание

(19.17)

и

(19.18),

найдем

+г

5г

Ф - j - ii|>

- е~

dz

• evzdz

4-

iA2

J

(

ev z dz •

i

\ ~ -

evzdz

+

j

-|L

evx^

,

(19.22)

где

знак

«плюс»

отвечает

подходу

к

отрезку (0,

Т) со стороны

у >

0,

а

знак

минус — со стороны

у <

0

(рис. 4.10).

Положим в (19.22) z = Г и отделим

мни­

мую

часть,

тогда

получим

-Г,

+т

ф.

evzdz 4- Im т| ,

Z+/77

(19.23)

где

и — чисто

мнимая

величина:

- г

Рис. 4.10.

Л =

\

JL

evxdx.

dx

Учитывая,

что при

z <

—Т,

Vz2

— Т2

= — ] / | z2

— Г 2 (, и

Vni^rX

ос

* » № =

V 2

. \

Г е-*" (и2 - 1)" "1 / 2 <Ь,

г ( "

+

— I

1

д ля

величины

и находим выражение

т\ =

i\—AT

к

Кг(к)\

+

1

Ко1

(к) 4-

+

СТ3

К0(к)

+

(к+1)

К ^ - ^ К

Л к

)

-

(к2

+

2к +

2)

(19.24)

где

А о"1

(к) =

\ К0

(k) dk.

(19.25)

Согласно

(19.11)

А = А0 — vipl t

А0

=

+

У (1 — Л) — - £ - © Г .

(19.26)

Учитывая

это и подставив в (19.23) значения п и 5 + из

(19.20)

и (19.24), получим

А.Т

,

• а2 -f-

СТ'ла3

(19.27)

л

*

л

где

для

краткости

введена

система

обозначений

а9

= / Ь х

+ Ь 2 + 6 3

а, =

Ь0

=

к [njl,

(к) +

(ft)],

/jj

=

л Л ( А ) +

4 /о _ 1 № )

& 2 = 7 ^ )

+ - A A T 0 ( f t ) - - i r A ( T 1 ( ^

— JL(ftshft — c h f t +

1)

(1

(19.28)

2k1

k'i

&4

=

я

4- + £)M*>'

65

= A 0 ( f t ) + ft +

- f - 2 1 З Д ,

(ft* . ) - 2ft+ 2).

На

основании (19.26) — (19.28) получаем

окончательное вы­

ражение

для

А

Апе*

А

=

2ВТ

ка2

— CT2 fta3 .

(19.29)

Д л я

функций

/ j

и

Кл

имеем асимптотические

равенства

L

с

£_

/

=

(2лА)

2&

(2nfc)v«

'

л

1

Следовательно, ири больших

к = 2л —

имеем

8± = [ l +

( l +

/ e - 2 h ) ] r 0 ^ ' .

(19.44)

Отсюда следует, что вблизи пластины при больших

Т/к

ампли­

туда колебаний уровня жидкости удваивается

со стороны

набега-

^ +

ния волн и становится

равной

н у л ю

с противоположной

стороны,

т. е.

при

относительно коротких набегаю­

щих волнах наступает полное отра­

жение

с одной стороны

пластины и

полное

затишье

с другой

стороны.

Н а

основании

(19.39) для

относи­

тельной амплитуды колебаний уров­

ня

жидкости вблизи

пластины

полу­

чаем

выражение

Ь±

=

6 ± = | / " l

+

т)(т)±

2я/ г )

А = я 2 / Г (к) +

К\

(к).

(19.45)

Рис. 4.11.

На рис. 4.11 изображен

график

изменения

относительной

амплитуды

б ±

в зависимости

от

Т/к.

Величина

б_ становится равной двум при

Т/к

=

0,13,

а величина

6+

ста­

новится равной нулю при Т/к = 0,38. Таким образом,

возму­

щенное

движение

жидкости

с

увеличением

Т/к

весьма

быстро

сводится

к

полному

отражению

набегающих

волн

от пластины и

к полному затишью с другой стороны пластины.

Проведем теперь

вычисление

суммарных

гидродинамических

сил, действующих на пластину (0, 2"). Обозначая через V резуль ­

тирующую

гидродинамических

сил

и

через М — момент

гидро­

формулы

г

т

Y = \(р _ -

Р + ) dz,

М

=

[ 2 (р_ -

Р+)

dz,

(19.46)

6

6

где р . . - - д а в л е н и е

на пластину

со стороны у < 0 ,

а р+ — давление

со стороны у ~> 0.

Дл я

давления

мы

имеем

интеграл

Л а г р а н ж а

дФ

1

Pi V0>]2

+ P£2

(19.47)

Р ~

Ро =

— Р • ~ЬТ

К О Л Е Б А Н И Я В Е Р Т И К А Л Ь Н О

П О Г Р У Ж Е Н Н О Й П Л А С Т И Н Ы

179

Проведем сначала вычисление гидродинамических сил с точ­

ностью

до малых

второго порядка . В

этом случае, отбрасывая

| У Ф | 2 , формулу для давления

представим в виде

Р — Ро =

— Р/'°" (ф -г ф*) е*1 + pgz,

(19.48)

поэтому

для распределения давлений

имеем

2

>о_ —

р/'о (ср+ — ф_) eint

= 2pjoeiat~v*

\

evzdz.

(19.49)

г

Подставив

(19.49) в

(19.46)

и

выполняя

интегрирование по

частям,

найдем

т

Y

= — 2р - | - jeiot

j "

_

^ ± _

( e

v , _

i ) ^ ,

(19.50)

о

М = -

2р JL

т

j

( - £

-

z -

- L ) dz.

(19.51)

Формулы

(19.50) п (19.51)

удобны

для

расчета

сил Y

и М .

ж а

(19.47)

с точностью до членов

второго порядка

включительно,

и,

кроме

того, при вычислении

суммарных сил и

моментов сле­

ривать от уровня

жидкости,

т. е.

т

т

т

т

Y

=

^ p^dz — \

p.ydz,

М =

_\ р

zdz— j p+z

dz

или

т

%f

9-

т

Y =

f (р_ — р+) dz +

j

p+dz

— \ p_dz,

М =

j z (p_ — p+) dz -|-

0

0

0

0

-f- j

p + z dz — j

p z dz.

Легко

видеть,

что второй

и третий

интегралы

в

в ы р а ж е ­

нии

момента

дают

члены

третьего

порядка

малости,

поэтому,