книги из ГПНТБ / Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля

К О Л Е Б А Н И Я

П Л А С Т И Н Ы , П Л А В А Ю Щ Е Й Н А П О В Е Р Х Н О С Т И

161

Следовательно,

у к а з а н н ы е

суммы

меньше одного и

того же

числа,

меньшего

единицы,

если

va<15rc/46.

(18.27)

Система коэффициентов

Вп

ограничена по модулю в

своейсо-

вокупности, т. е. независимо от значка

п, поскольку в пашем слу­

чае Вп

=

Ьп/п, где

Ьп

являются коэффициентами ряда

Фурье .

Вследствие этого, как доказывается в теории

вполне регулярных

систем

[ 2 3 ] , системы

(18.21) и

(18.22)

имеют

единственное

огра­

ниченное

решение

дл я

неизвестных

коэффициентов.

Д л я

решения

вполне

регулярных

систем уравнений

можно

вое приближение,

например,

системы

(18.22),

можно

принять

0

D

&2s =

&2s-

Подставив

это значение

в

правую часть (18.22), получим

первое

приближение

с о

„(1)

_

д

, V r-(2>R

/=1

Точно так ж е получим второе

приближение

/7(2>

B2S

+ 2 cg>ey>

и т. д. В

теории

вполне

регулярных

систем

доказано,

что

l i m «г! = o-2s существует

и

дает

единственное ограниченное

ре-

тов Со* и df

процесс сходится очень быстро, и решение систем

(18.21) и (18.22) получается без большого труда.

В общем ж е случае при любых

значениях параметра v реше­

ние систем

(18.21) и (18.22) можно

получить с помощью бесконеч­

fl2s+i

=

Csia2i+\

- f B2s+i

(s — 0,

1, 2,

. . . ) ,

(=0

где

Си

0,

Сsi

2va

s-\- l) 2

— 1

л

2va

4 ( 2 s + l ) a - 2

4(l +

я

4 ( 2 s + l ) 2 - l

+

1

4

^ 1 -

B2s+\

=

'2s+i

2xa

4 (2s -f if

— 2

2 S +

1 +

—

4 ( 2 . - H ) ' - l "

Н е т р у д но

показать,

что ряды

^ | / ? 9 S + i [

и

^Csi

сходятся .

s=0

s,l

П р и н и м а я во внимание,что Си = 0 при любом I, убеждаемся в

выполнении достаточных условий дл я разрешимости

системы

(18.21)

с

помощью

бесконечных

определителей.

Подобным

же

образом

доказывается

разрешимость

уравнений

(18.22).

По ­

этому решение систем (18.21) и

(18.22)

можно

представить

в

виде

A 2

s

+ i

(va,

v 2 ^ )

A 2 s

(va,

vq>1(

v 2 ^ ,

vr')

.

„

a * + 1 =

—

M

^

i

— 1

fl2s

=

д Т м

(

'

где A x

(va),

A 2 (va),

A 2 s

+ i (va, v 2 !^)

и

A 2 s

(va,

\ ' ф 1 ;

v 2

^ ,

vr') —

бесконечные

определители,

представляющие

собой

целые

функ­

ции от va и линейно зависящие

соответственно от v2\p1 и \'ф1 ?

v2 !]^

и vr'. И з доказанной

единственности

следует,

что Д х

(va) и А 2

(va)

отличны

от

нуля для всякого va >- 0.

Все ап,

а

следовательно,

/ (я, va, ф 1

5

ipx , г') и Yn являются

линейными функциями от ф ^т]^

и г' ( a 2 s + i — линейная

функция

только

от

%рг) и

голоморфны

по

va пр и всяком

va >> 0.

Легко

убедиться,

что bn<.NIn2.

Тогда

из уравнений

(18.21)

и (18.22) следует, что ап

< N/ns.

Ввиду

быстрого убывания

коэф­

фициентов

d?

и

коэффициентов

а„,

практически

можно

огра­

ничиться решением конечных систем,

оставив в (18.21) а 4 и a.t,

а

в

(18.22) а 2

и

at.

. Если функция / (я, va, ф 1 ( i ^ ,

г') и у 2

определены, то,

рассмат­

ривая

соотношение

(18.8) ка к дифференциальное

уравнение

от­

носительно

w (х),

находим

w (х)

Ух1

— а'-

'

dx

,

(18.29)

-[-со

где Аг

и Л 2

— постоянные

интегрирования .

Н а

далеких расстояниях

слева

от пластины

волновое

движе ­

ние определяется

функцией

w (х) =

(В1

+

iB 2 )

(18.30)

где

В, + iB2

= А, + iA2

- j ( у

+ - g - ) е " * ^ .

причем

Z/ — замкнутый

контур,

охватывающий

отрезок (—а,

+ а )

и обходимый

по часовой стрелке.

§

18

К О Л Е Б А Н И Я П Л А С Т И Н Ы ,

П Л А В А Ю Щ Е Й

Н А П О В Е Р Х Н О С Т И

165

Здесь мы не учитываем

гидростатическое

давление. Н а

пластине

~

-

= V (у)

— v

- j - щ

— ior0e~',vv.

П])инимая

это во

внима­

ние,

получим

р -= -

р/ X

е*" (У +

coy) -

pj - f

I m ( - g - +

ivu>).

(18.41)

Отсюда дл я проекции Z гидродинамических сил на ось

z

имеем

+а

Z = -

pj-jf

bveW -

pj - i - e'ot Im

\ ( ~ + ivw) dx,

(b = 2a).

I m J(-Ir + i v w ) d x

= ir j (-5- +ivu?)dx>

—a

L

где L — контур,

охватывающий

отрезок

(—a -\-a)

и обходимый

п р и интегрировании против

часовой

стрелки. П о л ь з у я с ь

разло­

жением (18.7), находим, что интеграл по контуру L

равен

2niyu

и получаем

простую

формулу

Z =

— pj - i -

bveW —Pi~

пу^°К

(18.42)

Подобным ж е образом получаем выражение д л я момента

гид­

родинамических

сил

М =

-

pj -

а

f

12

сое»-»' -

р/ 4 -

~

\ х ( ~

+

ivw) dr.

г ;

а

2i

J

V <te

,

В силу

разложения

(18.7), а

также

соотношения

у 2

=

— ~^-я>

вытекающего из (18.14), (18.8) и (18.7),

получим

т а к ж е

простую

формулу

м = - - pi - f - g -

+ р / v 4 - л а ^ ° -

< 1 8 - 4 3 >

Е с л и величины у1

и % найдены, то формулы

(18.42)

и

(18.43)

позволяют быстро найти значения гидродинамических сил.

Числовые

расчеты

были

выполнены

В . А. Соколовым.

П р и

циентов

аг и а3

в уравнениях (18.21)

и двух коэффициентов а2

и

а 3

в

уравнениях (18.22),

полагая

остальные коэффициенты

н у л я м и .

В

дальнейшем приведем

приближенное решение, основанное

на

следующих

соображениях .

166

П Л О С К И Е З А Д А Ч И

Т Е О Р И И

К А Ч К И

С У Д О В

Г Л . I V

По

доказанному

выше

при

заданных

фх ,

ipt и

г'

величины

/ (х, v) и Yt голоморфны

по v при v >

0,

следовательно,

п р и ма­

л ы х

v

справедливы

р а з л о ж е н и я

/ (х) =

/ 0

(х) +

v/x

(х) +

v 3 / 2

И

+

••• ,

(18.44)

7i = £о + v S i + ^ 2 + • ' • .

где все /„ (х) голоморфны всюду вне отрезка

(—а, + а ) и исчезают

на

бесконечности.

Граничное

условие

(18.13)

распадается

на

систему

условий

д л я

функций

fn =

r„ -f- is„

-'Г°

=V0(y)

+

^

;/2

1

5r

]/ в* -

5i

— r» + П — <Pi +

(г/).

И a2

-

г/2

f a 3

6»

. _

r i

+

r; +

^

(а~у)

+

\ \

(у)

+

— ;/2

У у'

+ ^v0(y")dy"dy;

(18.45)

и при п >

2

v

,

,

-

r„_i +

r n - i +

T^n (У) +

У a- — у*

У V"

+

j

J

F n _ , (у")

d r t ' ,

где r„ — значения функций

r n

в точке

(а,

0), а

Vn(y)

— коэффи­

циенты

разложения

V (у,

v)

по

степеням

v.

dfn

Так

как

I m

=

0

вне отрезка

(— а, а),

то

значения

drjdz

с обеих сторон отрезка

(—а,

+ а )

в симметричных

точках

равны

по

величине,

но

противоложны

по

знаку,

а

значения

Re

одинаковы.

dx

djnldx,

Применив

формулу

Коши

к функции

получим

я

J

^ — ж

(18.46)

I 18

К О Л Е Б А Н И Я П Л А С Т И Н Ы , П Л А В А Ю Щ Е Й Н А П О В Е Р Х Н О С Т И

167

ф ! + ^ 1

= B+(l-

if) * - * ° + Y

l (Р0 + iQ0) + e-*ve f - g - e*wdas,

(18.47)

-f-oo

где

B± — определяются

выражением

+a

- - ' l ( ^ - y r f = r ) ^ *

(18.48)

B

Приведем

конкретные

данные дл я случая

чисто

вынужденных

колебаний

V (у) = v + щ

= V0

(у),

Vn(y)=0

( л > 0 ) .

(18.49)

В первом

приближении

(v =

0) при | у | < а имеем граничное

условие

дг,

на

основании

которого

паходим

- р -

=

I n

:

• Н

я

_ £ _ 1 П

_ ! = £ . + 2

-.

(18.50)

ах

я

х

-\- а

П р и н я в

во внимание,

что lira / 0 (х) =

0,

иолучаем

(см. (18.14))

?0 =

2va

4wa2

(18.51)

л '

Зл '

+

1

(*)=-,

1П

:

I n - ^ = ^ - + 2 ( 1

- I n 2 )

я

а

х + а

х2

— a2 ,

х — а

,

х

| ,

2va .

ж +

Vx2

— a2

(18.52)

2d2

In

:

a

U

a

\A

я

In

—

a

x +

I

2va

COO''

(18.53)

r o = ~ ( l - 2 1 n 2 ) +

Из

формулы

(18.50)

находим

г;

,

x — a

(18.54)

In

j

л

a

x -\~ a

В первом приближении свободная граница жидкости представ­

ляется

неподвижной.

Жидкость

в

этом

случае

у л ь т р а т я ж е л а я

п у л ь с и р у ю щ и х

источниках

на отрезке (—а, + а).

/ (х) — /„ (х) +

Рассмотрим

теперь второе приближение

- j - v/j (х). Д л я определения

функции Д (х) = гх +

iat при |г/| << a

§ 19

К О Л Е Б А Н И Я В Е Р Т И К А Л Ь Н О П О Г Р У Ж Е Н Н О Й П Л А С Т И Н Ы

169

И с п о л ь з у я

энергетические соображения, можем найти сле­

дующие

приближенные значения коэффициентов демпфирования

А 3 3 и А 4 4

пр и вертикальных

и вращательных

колебаниях:

Кзэ

=

роб2 {I 1 - f

(In 2yva — ~

+

4 (va)2

(18.60)

^ 4 4

=

Р°

( V «) 2 -

Нетрудно

видеть,

что

в рассматриваемом

случае малых

va,

Подставив

Yi и ах из (18.58) и

(18.56) в (18.42) и (18.43), полу­

чим следующие выражения дл я

присоединенных

масс

р . 3 3 и \iu

при малых va:

№в =p^r(~-\n2yvay

М«