книги из ГПНТБ / Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля

150

П Л О С К И Е

З А Д А Ч И Т Е О Р И И К А Ч К И С У Д О В

Г Л . [ V

В другом

предельном случае к — со, очевидно,

% j m

(оо) = 0,

p i

m (оо) = 0.

(17.31)

Отсюда следует,что

зависимость kjm

от к примерно

такого же

типа,

как

зависимость Xjm

от v, в то же время зависимость и,;-га

от к и н а я ,

чем зависимость щт

от v; \x,jm стремится к н у л ю с увеличением к.

Специально отметим случай

е = я / 2 , т. е. случай

нормаль ­

ного набегания

волн на цилиндрическое судно. В

этом

случае

kt = к cos

е, и

у р а в н е н и я

1,0

(17.20) и (17.5)

будут

сле­

дующими:

/п|) = 0 при z = 0,

dz

Эг3

= 0,

и поэтому

^•jm (к) — Xjm (к),

Рис.

4.7.

следовательно,

здесь

p j m (к)

изменяется

от значения \ijm (0)

до

зпачения

Ц]т (оо)

Ф 0. Д л я того чтобы выяснить

характер

зависимости

ц. от

— к cos е ф 0, рассмотрим

простейший

при­

колебаниям

цилиндра

и я в л я ю щ а я с я решением у р а в н е н и я (17.5),

может быть

представлена в

виде

Ч>2 =

1

_

dK0(l4r)

• cos 9

(х = к^).

(17.32)

d*K0

(х)

d (lhr)

dx-

По формулам (17.29)

получаем

р 2

(А;1а) — р л а

К0(х)

(17.33)

2

2

хКп

(х)

График

зависимости

и.2 а

(/с1 а)/ряа2

представлен на рис . 4.7.

В рассматриваемом специальном случае деформационных ко­

лебаний плавающего

цилиндрического

тела, осуществляющихся

по закону

v2 — ахё (at-hx c o s Е>,

v3

= аъе1 (at~hx

c o s г \

v4

= а4 е*

cose ) ,

можно также определить

расход энергии, приходящийся на к а ж ­

дое поперечное сечение.

Ясно, что среднее

значение

расходуемой

энергии связано с к,т

так

же , как и в выше

рассмотренном слу­

чае

(§ 16):

+

-о - ^зз К

] 2

+

1

Г

1 у4 р +

Х2 4 Re

= i V c p .

(17.34)

1 %

- f Я4 4

~2~

I

Величина

этой энергии

переносится

волнами в обе стороны от

тела.

Вычислим

величину

потока

волновой

энергии при

z/—>~оо.

Д л я

давления

и производной

дФ21ду

имеем в ы р а ж е н и я

/Со

где

Д +

=

a 2

# t

+

a 3 # 3 +

+

a4 #,+.

(17.35)

Поэтому среднее значение энергии, уносимой волнами в поло­

жительную сторону оси у,

будет

следующим:

о

т -

^

х

1 /

/

+

1

2

1

=

4 - р°»

I я + 1 2

к

-

1

l\Ht\*+[H]-

(/

=

2, 3, 4),

sm е

(17.37)

к*л =

Re (HJHZ

+ Hz HZ).

sm 8

Теперь

нетрудно

указать

приближенные

выражения

для

kjm,

подобные

установленным в

§ 16 для kjm.

В (17.25) для

учета

эффекта

присоединенных

масс

положим г|э2

= —с2 у, г^3 = —c3 z

и г|;4

=

—c4yz и

далее, совершая

преобразование Остроградского

и пренебрегая

членами, содержащими

(к2у)2,

получим следующие

в ы р а ж е н и я для функций

Hf:

lit

=

± ik2

(1 +

са ) Sx,

(кГ),

Hi

=

I

-b'x.pb2(kT)-^xl(kT)

-к\^Ь^(кТ),

(17.38)

4- ik,

[Jx — (1 — c4 ) b0SKt

(kT)].

152

П Л О С К И Й

З А Д А Ч И 'ГКОРШТ

К А Ч К И

С У Д О П

гл. rv

Па основании

(17.37)

находим

£>2

P°Vf 2 | sin е | (1 -|-

c2)2S2-/i

(кТ),

I/-I

(17.39)

^44 =

Р ° У « 2 1 s

i n « I i - 7 * — (1 — Ct) Ь05х4

(kT)\2,

К =

~ РО<Л21 sin

+

с2) Sv4 (кТ)

[Jx -

(1 -

с4) 6 0 5х 4

(fef)]. j

Перейдем

к расчету

дифракционных сил, определяющихся

из

формул (17.28). Положим, что размеры шпангоута малы по

сравне­

нию

с длиной набегающих волн.

В

соответствии

с этим в точ­

ках

контура

L имеет место приближенное равенство

e f u - » sm еу ~ 1

kz — ik sin

гу.

Считая также осадку

шпангоута небольшой, получаем

следующие

выражения:

-I-

Цм — о,

24

I

Г А 3 3

'

(17.40)

М° = г'а0<?*

c o s £> [^2( jl.24

е.)"

р.

где

(o'e* (<Jt-hK cos Е)

— абсолютная

скорость

изменения

волново­

го склона в точке

(х,

0, 0):

(ое =: o0 Ar( ) sine.

(17.41)

Формулы

(17.40)

дают

распределение

дифракционных

сил

что вычисление kjm

мы провели

с точностью до членов,

содержа­

щих {к sin еу)'1 . Поэтому

часть

сил,

обусловленная дифракцион ­

ным демпфированием:

Уt

= (v§.2i

+ и%д el

(ci~'u'005

е), \

Z t

= Л3 3 У.^

cos e)t

(17.42)

М 4

= (12 4 У2 4- £44<»е)

( a i - , u ' c o s E)>

вычислена с большей точностью,

чем вторая часть сил, обуслов­

ленная дифракционными присоединенными массами.

Уточним расчет

этой

части

сил . Мы

рассматриваем

с л у ч а й ,

сил значения ф2 1 Фз и ^4 в

точках контура L можем п о л о ж и т ь

равными соответствующим

значениям функций ф.2, ф 3 и ф 4 при

Д И Ф Р А К Ц И О Н Н А Я

П Р О Б Л Е М А

153

к о л е б а н и ях сдвоенного, шпангоута

в безграничной несжимаемой

жидкости . В ы р а ж е н и я функций ор2,

ib3 и гр4 для шпангоутов,

раз ­

личной формы приведены в главе V I I . Этими выражениями можно

воспользоваться

для более точного

расчета второй части дифрак­

ционных сил. Получающиеся при этом формулы

довольно,

гро­

моздки, поэтому

изберем другой путь. Прежде

всего заметим,

что вторая часть

дифракционных сил обусловлена

интегральным

тура

L

можем

положить

У 2 =

— с-гУ,

% = — с з г '

Ь

=

— с42/2.

(17.43)

причем здесь, как и в случае, рассмотренном

в§ 16г

коэффициенты

с2 ,

с 3

и

с4

суть

соответствующие отношения присоединенных масс

к площади шпангоута и моменту

инерции.

На

основании (17.43) вторую часть дифракционных сил

можно

представить

в

форме

l

tx

с

0 3

0kz~ihv

sin

е

(yf c

o s ( И ) у} ^

1

Y.2

— pio0e

W-'

^с,

) уе"

-f- i4cos (п, z))

ds,

Z 2

=

рш 0 е' ( ° ( ^ " x

c

o s

e> cs

\ zehz-ihvsin

E

(v\

cos (n, г/)

+

(17.44)

- f

V3 cos (и,

z))

ds,

M 2

=

р к т 0 е {

0 0 8

e> c 4

) yzehz~ihvsin

e

(i>2 cos (n,

y)

+

+

fз cos (rct

z)) ds. )

В ы п о л н я я преобразование Остроградского и

пренебрегая

членами,

содержащими

(к

sin гу)2,

получим

У 2

=

гоу?{ « к - * * С 0 5

е> [ р 2 2 х 4

(кТ)

v\ —

cjx(a%

(17.45)

Z

t

=

0

c

o

s E )

33

1>з К

( ^ ) -

/с cos

2

0

x

4

(fef)],

гсте* <«"-**

ц

eb

A / 2

=

i o /

« " - ^ c o

s E> [ -

c,bltSrn

(кТ)

vl

+

с 4 7 . А « е • и 5

(fcT1)].

Здесь

мы

ввели новый

поправочный

коэффициент

и

"

63

(17.46)

ji

r Г 3

(z)

e'^dz,

==

- | -

J

(z ) dz, (7x

12

3Jxbt

Т а к и м образом,

получены удобные

в ы р а ж е н и я

для

распре­

154

П Л О С К И Е З А Д А Ч И Т Е О Р И И К А Ч К И С У Д О В

Г Л . ГУ

cos (n,z)ekz

на L,

(17.47)

дп

Атф! = 0

при z =• 0

(17.48)

di/

1 dz'

Решение

задачи дл я источника

в форме (17.12),

(17.18) и (17.19)

справедливо

только при

е Ф 0.

Д л я случая же

е = 0 в такой

получить функцию G* дл я

горизонтального диполя,

удовлетво­

ряющу ю условию (17.48) и уравнению

(17.49).

Д л я

этого

до­

статочно

продифференцировать

выражение

(17.12)

и

положить

е =

0. В

результате

будем

иметь

"*

д

[Ка(кг)

+

К0(кг')}-

ОО

-

2ке* <*Ю J ё

СН-0 « " 1 1 ( У - ч ) / * ( * +

*)] ^

(

1 7 щ

о

при

| г / | - > с о

функция

G*

стремится

к

нулю

и,

кроме

того,

как

видно из

(17.50),

G* является действительной

функцией.

При помощи распределения диполей можно построить функ­

цию

гр|. Не вдаваясь

в

детали

этого построения,

у к а ж е м л и ш ь ,

что,

в отличие

от случая

е =£• 0,

функция

при 8 =

0

являетс я

действительной

функцией, стремящейся

к

нулю

при

|г/|—>-оо.

Это означает,

что поперечная дифракция

в рассматриваемом

слу­

жидкости с сохранением

фазы

набегающих

волн.

Приведенный

вывод

следует такж е непосредственно из рассмотрения

граничной

задачи

(17.47) — (17.49). Из условия

(17.47) и уравнения (17.49)

видно,

что кроме

функции 1|з* =

ehz,

определяющей

набегаю­

щую систему волн, нет других

функций, характеризующи х сво­

бодные

волны, т. е. отсутствует

эффект

отражения и

прохождения

волн.

Поэтому

решение

всей

граничной

задачи

по

условиям

(17.47)

и (17.48)

и

уравнению

(17.49)

определяется

действитель­

Д И Ф Р А К Ц И О Н Н А Я

П Р О Б Л Е М А

155

То

обстоятельство,

что при е — 0, ibjj является

действительной

функцией, приводит к в а ж н о м у

выводу.

Согласно формулам

(17.28)

дифракционные

силы,

действующие

на

симметричный

относительно оси z шпангоут, сводятся к одной силе

Z — — piOgeW-WvZ

\ %ehzcos

(re, z) ds.

(17.51)

L

Т а к

как

функция

TJ)3

(е == 0)

я в л я е т с я

действительной

функ­

цией,

то поперечная

дифракция

обусловливает

только

эффект

присоединенных

масс:

Zx

= 0,

Z =

Z 2 =

ia^

{at~hx)lis3vl

[к, (kT)

-

кЬащ

(кТ)].

(17.52)

ракционной

силы,

совпадает

с

фазой набегающих

волн в

точке

(х,

0,

G).

Поэтому

дл я удлиненных

судов

при е =

0 на каждый

шпан­

гоут действует

в о з м у щ а ю щ а я

сила,

с в я з а н н а я с

перемещением

частицы и ее абсолютным ускорением в точке

(х, 0,0)

и имеющая

ту

ж е фазу, что и рассматриваемая

частица.

Вблизи

носовой и кормовой

частей удлиненных

судов при

е

= 0,

н а р я д у

с

поперечной

дифракцией,

имеет

место

т а к ж е

и

продольная

дифракция . Однако

у острых

судов

этот

эффект

нию функции "фд наталкивается

на трудности.

Условия

(17.47) —

(17.49)

можно

преобразовать

в

иному виду.

Положим

Це3

=

**F (у, z),

(17.53)

тогда

условия

(17.47) — (17.49)

примут

вид

dF

— j ^ - - f kF cos (я, z) =

cos (re, z)

на L,

(17.54)

—-

= 0 при

2 =

0,

(17.55)

dy*

"Г

dz*

'

dz

0 .

(17.56)

Основная трудность

+ J

"

+ 2 f c

"

заключается в

том,

что условие (17.55)

F (у, z) я в л я е т с я гармонической и когда контур L можно

отож­

дествить с пластиной, точное решение задачи получается

в виде

разложения в р я д (§ 18).

156

П Л О С К И Е

З А Д А Ч И Т Е О Р И И К А Ч К И

С У Д О В

ГЛ. IV

§

18. Колебания

пластины,

плавающей

на поверхности

тяжелой жидкости неограниченной глубины

В

предыдущих

параграфах

выяснена

общая

механическая

картина сил, действующих

на цилиндрические

суда,

и развиты

методы

приближенного

расчета

коэффициентов

демпфирования

и дифракционных сил. В этом и следующем

параграфе мы изло­

жим точные решения в двух

простых случаях,

полученные в ра­

ботах

автора

[7 1 > 7 7 1 .

"

i,\

Пусть шпангоут цилиндрического судна имеет

прямоуголь ­

ную форму и малую

осадку,

вследствие

чего цилиндрическое суд­

но можно отождествить с горизонтальной плавающей

пластиной

ширины Ъ = 2а. В этом случае удается

получить точное решение

в виде быстро сходящегося

ряда и все гидродинамические

х а р а к ­

теристики можно просчитать до конца с достаточной дл я

практи ­

ческих

целей

точностью.

Решение задачи будем проводить при помощи функций ком­

плексного

переменного

х = у -f- iz.

Поэтому

мы опять

будем

пользоваться

двумя

независимыми

мнимыми

единицами

i и /

н, кроме того, рассмотрим случай

нормального

набегания

волн

на

плавающую

пластину (е = л/2) .

Потенциал

всего

волнового

движения имеет вид

Ф (у, z, t) = {ц> -|- / - f

г о Ф * )

(18.1)

где

ф* — функция

набегающих

волн

ф *

= ebz-jvVf

v =

02,g^

(18.2)

Д л я определения

гармонической

функции ф (у,

z) имеем

усло­

вия

- J " = v

+ m J ~ j o r ^ v

— V (у)

при г = 0 и | у | < а,

(18.3)

- | L _

у ф = 0 при z = 0 и \у\>а.

(18.4)

Кроме того, функция ф (у, z) должна

иметь следующий

асимп­

тотический

вид:

при

у ~> оо

ф =

B+e^-w,

при

у - > — оо

(18.5)

Ф =

B^e v z + j v , J .

Введем

в рассмотрение

функцию

комплексного

переменного

w (х) = ф (у,

z)

+ ё-ф (у, z)

(х = у +

iz), тогда

условие

(18.4)

представится

в

форме

I

m

+ i

v w

) = 0

П Р И 2 = 0

и

I У

I <

о-

(18.6)

158

П Л О С К И Е

З А Д А Ч И

Т Е О Р И И

К А Ч К И

С У Д О В

Г Л . I V

У м н о ж а я

второе

из

равенств

( 1 8 . 1 1 )

на v и

с к л а д ы в а я его с

первым,

получим

условие

дл я г при

\ у | <

а

и z = О

- J - +

v r = F ( j / ) +

y

j

b

^

+

vr' — vcp, + v 2 ( а — у) ^

+

г/ у'

+ v 2 j J F ( / ) ^ W -

( 1 8 . 1 3 )

Гармоническая

функция

г

(у,

z), р е г у л я р н а я в н и ж н е й

п о л у п л о с ­

кости,

исчезающая

в

бесконечности и удовлетворяющая

гранич­

ным

условиям

( 1 8 . 9 )

и ( 1 8 . 1 3 )

при заданных

значениях

постоян ­

ных

ф х , грц г'

и 7 Х , определяется

единственным

образом

дл я вся­

кого v > - 0 .

В самом деле, пусть гх (у, z) и г2

(г/, z) — д в е

гармонические

функции, регулярные при z - < 0 , ограниченные в точках

пластины

и

удовлетворяющие

условиям

( 1 8 . 9 )

и

( 1 8 . 1 3 ) .

Тогда

ф у н к ц и я

г*

=

/-j — г2

удовлетворяет однородным

граничным

условиям

Д

Г

0

при z = О и

I у | >

а,

dz

dz

- j ,

vr* = 0

при

2 =

0

и | у | < ; а.

Ф у н к ц и я

г* (г/, г)

ограничена при всех г <

0 и

исчезает на

бесконечности. П р и м е н я я

формулу Грина,

получим

+ о о

0

-fo

+ а

j "

j

j grad г* | 2 dz dy =

^ г* ~

dy =

— v

j г * 2 ф ,

—оо —оо

—а

'—а

откуда

следует,

что г* =

0 .

того, как г

(у,

z),

Легко

также

показать, что

после

ф г , ф х , г'

и Y x

найдены, функция

F (у) = d<p/dzB точках пластины

условием

( 1 8 . 1 3 ) определяется

единственным

образом.

Действительно,

пусть

Vt (у)

и

У2

(у)

— две

функции,

определяемые

условием

( 1 8 . 1 3 ) .

Ф у н к ц и я

V* — V± — V2

удовлетворяет

уравнению

F* +

v 2

J ^V(y")dy"dy'=

0,

а о

которое

можно

написать

в иной

форме

(V*)y=a=0,

(dV*/dy)^a

= 0.

Ф у н к ц и ю

/ (х),

а

следовательно,

и

df/dx

представим

в

виде

р а з л о ж е н и й в

ряды

со

а г

f(x)

=

г +

is = 2

(аг -

К * 2 -

а 2 ) " ,

н =1

J.

(18.14)

dx

Из условия (18.9) следует, что

все

ап

(п

=

1,

2, 3,

.. ^дейст ­

вительны.

П о л о ж и м

ж — | / ж2 — а 2

=

а£.

Тогда

на

отрезке

(—а,

+ а )

имеем

| =

е ш ,

у = a cos 9.

П о л ь з у я с ь

этим,

из равенств

(18.14)

находим

ОО

СО

г =

£

я п

cos пд,

- gj - =

А

S I N

Е

^

ГСЙП

cos

гаЭ.

(18.15)

п=1

п=1

П р а в у ю часть

в

(18.13)

после

замены

у

=

a cos 0

обозначим

через

F (9).

Ф у н к ц и ю

aF (9) sin Э разложим

в

ряд

Фурье

по

косинусам

в промежутке

(0, л):

aF

(9) sin 9 =

4f- +

2

Ь„ cos тг9.

(18.16)

^

п=1

Коэффициенты Ьп зависят линейно от постоянных <рь

ф х

и

причем от ух

зависит

только

Ъ0,

а

от

ф г

— только fc^s+i

( s =

О,

1, 2,

. . . ) . Имеем

+а

+

1 Г

1

j

J > f o W < ¥ < f c .

(18.17)

Подставляя теперь ряды (18.15) и ;18.16) в условие (18.13),

получим

со