книги из ГПНТБ / Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля

У д е р ж и в ая в

подынтегральных

выражениях

(16.25)

члены, со­

держащие v в степенях не выше первой, будем

иметь

в ! = ± iv S +

Им (°)

Bf = - b + v s +

Им (0)

Р

(16.27)

1*24(0)

Bi

= ±

ivlb0S

12

+

где

S — площадь,

ограничиваемая

шпангоутом,

а Ь0

— глубина

погружения

центра

тяжести

(центра

величины

этой

площади).

По

формулам

(16.26)

получаем:

Х2 2

=

pav1 1 £

+

И«(0)

2

>

Я3 3

=

pafft

v ' 5 +

fe(0)

b0S-

bs

,

m4(Q).

(16.27a)

^44 =

P 0 v 2

12

r

p

24

pav'

s +

t'2 2 (0)

12

+

•144(0)

Изложим

метод

приближенного

расчета

коэффициентов

демп­

фирования для

любых

значений

частотного

параметра v. Д л я

этого положим,

что значения

функций

q>s

в выражениях

(16.25)

для случая колебаний сдвоенного шпангоута в безграничной

жид­

кости и, кроме того, что при интегрировании в (16.25) можно

про­

извести

соответствующее

усреднение.

Д л я

выяснения сущности излагаемого метода рассмотрим

зна­

чения

функций ф2 , ф 3

и ф4

при колебаниях эллипса с полуосями

b 2 = cell 10 и Т = с sh Н0, где с = | / " - |

Т2 — фокальное

расстоя ­

ние. Воспользуемся

эллиптической

системой координат

г / =

с ch £ cos и, z =

c s h £ s i n r j .

(16.28)

Из

(6.8) следует,

что граничные условия для определения

функций

ф 2 , ф 3 и ф4

имеют вид

=

JCOSTJ,

Sin Г),

у- — AT2

sin 2м при I = 10.

(16.29)

Ф»' = е-"Е sin ran, Ф(„2, = e-"lcosreM

(га = 1 , 2 , . . . ) . (16.30)

16

И Н Е Р Ц И О Н Н О - В О Л Н О В Ы Е

Г И Д Р О Д И Н А М И Ч Е С К И Е

С И Л Ы

143

глубина п о г р у ж е н и я

центра

величины, Jx

= 2г/о/3— момент

инер­

ции ватерлинии шпангоута

относительно середины и, наконец, х х ,

х, и х 4

— следующие

безразмерные

поправочные

коэффициенты:

Y (z) evzdz,

к 2 =

42-_

Г JY_ evzdz,

Ь

.)

(16.40)

т

где У (z) -— dz - у 2 (z) — уравнение

шпангоута.

На основании (16.26) и (16.39)

получаем'следующие простые

выражения

для коэффициентов

демпфирования:

b a

a

= pav*,S»(l + c 2 ) * X i ,

Я 3 3

= pab 2 |x 2 —

(16.41)

1 - ( 1 - с 4 ) - ^ - х 4

К* = — pav»5/.v (1 + с2 )

1 _ (1 _ c j

G = —2ni

v c h

* °

<ft + C>ch*-o ( z + f e >

(У—ч)

(16.42)

На

основании

(16.17) для функции <р имеем

при у -> ±

оо

ф

U U

к0

(vh

-,- sh2 k0h) 6

(16.43)

где

Л/* =

j ch Я0 (z - f h) е^У

Ш-

- Я о Ф [ ± i cos (га, у) +

- f

th Я0 (z -f- h) cos (га, z)]j ds.

(16.44)

Из

соотношения

получаем

следующие выражения

для амплитуд А±

расходящихся

волн

/1+

=

2аХ0

М

,

(16.45)

sli ).t,h

где а -

групповая скорость излучаемых

волн:

1

а , .

2Xuk

1 a vh -(- sh2 A,0fe

(16.4 6)

о = —

- т - 11

энергии, затрачиваемой на

образование

воли:

N,

8а ch2

М+ \~ + | М~

| 2 ) .

(16.47)

ср

X0h

В соответствии с"этим для коэффициентов демпфирования

бу­

дем иметь

X

=

9 8

— / 1 Д / + Р

+ 1МГ12 )

(s =

2,3,4),

*ь яя

(16.48)

л , 4

=

где

<9ф,

ch Х0

(z -)- A)

e±n-«v

х,

i cos (и, !/)

дп

•оЧ>* i

+

th Я0 (z -|- h) cos (га, z)J

ds.

(16.49)

Полагая

<p2

= —c,2y, (p3 =

—ca z и q>4

-- — c4yz, можно

гакже

и для ограниченной

глубины

жидкости

приближенно

вычислить

коэффициенты демпфирования для шпангоутов

произвольной

фор­

(16.48) и (16.49), представляет собой волновое число

излучаемых

волн и связана с частотным параметром v = a2/g

соотношением

X0thX0h

=

\.

(16.50)

§ 17. Дифракционная

проблема

для

В § 15 показано,

что дифракционный

потенциал

Ф 2

(х, у, z, t)

цилиндрических

судов

имеет

вид

Ф 2 (х, у, z, t)

= е*

c o s

Е> ijj (у,

z),

(17.1)

где

о = а 0

— uk0 cos е— к а ж у щ а я с я

частота,

о 0

и

А:0

— соответ­

ственно истинная частота и волновое число набегающей

системы

регулярных

волн, е — угол

менаду

вектором

фазовой

скорости

•ф (у, z) определяется из

условий

д\\>

= 0 при z = 0 ( к =

(17.2)

к\р

Д И Ф Р А К Ц И О Н Н А Я

П Р О Б Л Е М А

145

. в „

„ /

, ,

е

11) кп

(z -|- h)

,

,

eh /f0 (z -)- A)

X

дп

у 2 cos (и, г/) +

у3

пIhл kгhт Н -

c

o s

z

)

ch /c0/i

ft

X e-1 "^s i n 8 на

/у,

(17.3)

дхр/dz =

0 при

z = — h,

(17.4)

(17.5)

При

- j -

оо

c\xkn(z-ih)

№

(к., =

/с01 sin с J),

ch /f„/j

(17.6)

при

f/-> — оо

_

р

ch fr0

(z + /г)

ip =

С.

где

и

Уз — проекции

на

оси у п

z

амплитуды абсолютной ско­

рости

частицы

набегающих

волн в начале

координат:

v\ = —— r0k0

sin е,

v\ =

ia0 r0 .

(17.7)

Ограничимся анализом дифракционной проблемы при неогра­

ниченной

глубине

жидкости.

В этом

случае

к = к0

и

условия

(17.3)

и

(17.0)

принимают

несколько

более простой

вид:

Л |

' =

_ [y|cos (га, у) +

УЗ cos (га, г)] ehz-ih,J

s i l l E на

L .

(17.8)

При

у-

- j -

оо

г|)

=

C+ehz~ih*y

(17.9)

при

у-

— оо

причем

гр =

С__е'! г +; '<^,

к2

= к | sin е |,

vо = a0 r0

sin е,

(17.10)

г

= У{У -

П ) 2

+

(2 -

О2 - *

(17.11)

Поэтому функцию

G источника

в рассматриваемой

граничной

задаче представим в форме

G =

K0(kir)

+ K0(kir')

+

Gb

(17.12)

г' = V4i/ - гО2 + (z + I)2.

(17.13

П р и м е н я я теорему о вычетах,

находим следующие асимптоти­

ческие

формулы:

при

у - > -f- со

2 л i — eh(z+Z)-ikz

(у-п)

при

у-

(17.19)

Представим теперь

функцию

ф, р е ш а ю щ у ю

дифракционную'

проблему, в следующей

форме:

^ = - ^ - ^ 5

( 1 7 2 0 )

(ve2 = <V 0 sin е,

Уз =

io0r0),

где ф | и фз на основании (17.8) удовлетворяют

граничным усло ­

виям

= cos (re, у) ф*,

= cos (re, z) ф* на L,

(17.21)

Н а р я д у

с функциями ф2 и фз рассмотрим

три элементарных

решения ф 2 , ф 3 , и ф 4

уравнений

(17.2), (17.5) и (17.9),

удовлетво­

р я ю щ и х граничным

условиям на L :

= cos («,{,), ^

=

cos(re,z),

=

=

г/ cos (re, z) — z cos (re, y).

(17.22)

Очевидно, к а ж д а я

из этих пяти

функций

может

быть пред­

ставлена в

форме

дп

где G — функция

источника,

определяемая

соотношениями

(17.12), (17.18) и (17.19). Доказательство представления

функции

ф формулой (17.23) вполне аналогично проведенному в § 16.

Воспользовавшись соотношениями (17.19) и (17.23), будем

иметь

следующие асимптотические

формулы:

при

у-

4- оо

(17.24)

при

у

ф п •= i

Hnekz+ih*y,

148

П Л О С К И Е

З А Д А Ч И

Т Е О Р И И

К А Ч К И

С У Д О В

Г Л . IV

где

/ / *

=

j "

ekz+ik*v

j

-

^

г|)„ [ ±

ik2 cos (n,

y)

A; cos (n, z)]j ds.

Перейдем к вычислению дифракционных сил. Согласно

(15.33)

и (17.20) дифракционное давление р° определяется

выражением

р° = (pio0v2$

+

Рio0vhb3) е1 ^ ~ к

х 0 0 3 Е>.

(17.25)

Д л я

дифракционных

сил,

действующих

на

шпангоут,

имеем

формулы

Y°

=

—

\ р° cos

(га, у) ds,

Z° =

— \ р

cos (га, z) ds,

L

L

M°

=

—

[ p° [у cos (га, z) — z cos (n, у)] ds,

L

которые

на

основании

(17.25)

и

(17.22)

примут

вид

Y°

=

— p i a /

«rt~hx

cos е)

^

+

vfy«)

d S

i

L

^

^

d

s =

l^m^-ds

(17.27)

L

для всех функций г|>т в том числе и для функций ip| и г|>з.

Восполь­

з о в а в ш и с ь этим

правилом и принимая во внимание

условия

17.21),

будем иметь

У° = — pio0el

< а ( ~ й х

С 0

3 е>

f ij)2 ef e -'f t i>s i n 8 \v\ cos (/г, г/) +

1

<

-'

+

г^з cos (га, z)] ds,

Z° =

0

A (

I XCOSE

3

e'" -

i f t

i/

s i n E

[yf cos (n, y)

+

— ргсте*

> С i|)

(17.28)

-f-

v-i cos (re, z)] ds,

M° =

— ргсг0е;

«"-f t *

e> [ г р 4 е ^ г - й ! / s i n

e

\v\ cos (и, г/) - f

i .

+

Уз COS (n, Z)] ds.

;