книги из ГПНТБ / Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля

130

П Л О С К И Е З А Д А Ч И

Т Е О Р И И

К А Ч К И С У Д О В

Г Л . I V

dq>/dz =

0

при

z

- к

(15.19)

дгц>

й2ф

=

0.

(15.20)

ду*

'

~д1?

Гармоническая функция ср (у,

z) отвечает случаю чисто вынужден­

ных

колебаний плавающего цилиндра с частотой о при отсутствии

иметь

следующий асимптотический

вид:

при у - > -\- оо

Ф {у, z) = В+

ch Я„ (z +

h) -iKv

при

у-*- — оо

(15.21)

X0thl0h

= v.

(15.22)

Если функция ф (у, z) определена, то динамическое

давление

Рй=-Р10<р(у,г)е«*.

(15.23)

Ф у н к ц и я ф (у, z) характеризует инерционно-волновые

эффекты

эффектами,

будем

называть

инерционно-волновыми.

Перейдем

теперь к упрощению

условий,

определяющих ди­

фракционный потенциал Ф 2

(х,

у , z,

t). Принимая во внимание

зависимость граничного условия

(15.12) от переменной х и времени

t, можем положить

Ф 2

(х, у, z, t)

= е* (ot-h„x

cos е)^ fyt

^

(15.24)

При такой форме представления условия (15.1), (15.12) и (15.13)

примут вид

1z~

— /£ф = 0

при z =

0

к =

—

(15.25)

е

,

* , th ка (z + h) е

,

Л

дп

V2

COS (га, у) -|

V3 C 0

S № Z ) j X

ch k0(z+h)

c _ i K „

R i n ,

(15.26)

ch

k0h

на

dty/dz =

0

при z =

— h.

(15.27)

§

10

И Н Е Р Ц И О Н Н О - В О Л Н О В Ы Е Г И Д Р О Д И Н А М И Ч Е С К И Е

С И Л Ы

133

Л е г к о показать, что

матрица третьего порядка,

составленная

из

этих

коэффициентов,

симметрична, т. е.

д<Рт

• — фи

ds =

0.

дп

дп

Из условий (16.2) и (16.4) и асимпто­

тических

свойств

(16.5)

следует,

что

l i m

1 «

дп

— фт" дп

ds=0,

Рис. 4.2.

1

и,

следовательно,

после предельного

перехода

будем

иметь'

/'

д<?т

d(f>,

\V-dn-

< P M

D S

= 0 '

что

доказывает

симметричность

матрицы

коэффициентов cj m .

Если

контур

Z, симметричен

относительно оси z,

то из

шести

циентов Cjm,

только

четыре

отличны

от

н у л я с 2 2 ,

с3 з, с 4 4

и с 2 4 , а

с 2з

=

с з4 =

0- Это следует из

определения (16.8) и

формул

(16.6),

(16.7).

Проведем анализ инерционно-волновых

сил, действующих на

контур L . Д л я

проекций Y

и Z и гидродинамического

момента М

имеем

формулы

Y

— —

\ pg

cos (га, у) ds,

Z =

— j pg

cos (га, z) ds,

M

^ /?g (г/ cos (ra,

z) — z cos

(re,

г/)) ds,

(16.9)

=

—

где инерционно-волновое давление pg

на

основании

(15.23) и (16.1)

определяется

выражением

Ра =

- Р*ст (у 2ф2

+

^зФз +

Wt) ei 0 '.

(16.10)

Подставив (16.10) в (16.9) и воспользовавшись

соотношениями

(16.3)

и (16.8),

найдем

.

Y

=

dV2

. v

dV3

у

dV4

И122 ~ t

Л 22^2

^32

^dt

Л32^3

М*42 fa

Z

=

Л7 ,

dV4

\

V

М-43

d V *

Л з у *

1(16.11)

Г23 Ht

Л 23у 2

ГЗ

dt

Л33^3

dt

м

=

dV.z

.

у

dV3

. у

И-41

dVi

,

у

^24~d~t

Л24^2

М-34 ~Jt

Л34^3

Л 44К 4'

«34

П Л О С К И Е

З А Д А Ч И

Т Е О Р И И

К А Ч К И С У Д О В

Г Л . I V

где

V$

= vseiot

(5 =

2,3,4) .

(16.11а)

*

(^22

Л 22' 2

(-l24 ~J(

Л24^4'

(16.12)

Л/ =

-

^44

~ ^44^4 -

^24

* % ™ V »

Из в ы р а ж е н и й

(16.12) видно, что коэффициенты p,;-TO и A-jm

пред­

ставляют собой

обобщенные коэффициенты

присоединенных

масс

динамических у р а в н е н и й колебаний контура L коэффициенты

\ijm

играют р о л ь добавочных масс, моментов

инерции и т. п . ,

т. е.

они характеризуют инерционные свойства

жидкости пр и колеба ­

контуром на образование

волн (§§ 11—13). В предельных с л у ч а я х

v = 0 и v = оо волновой

процесс

отсутствует, и

тогда

Xjm

— 0.

Х а р а к т е р изменения обобщенных коэффициентов присоединен­

ных масс легко установить при помощи

рассмотрения предельных

случаев .

v = o2fg

В предельном случае

=

0

граничные

условия

(16.2)

д л я функций Ф8 становятся более простыми: dqjdz

= 0. Это условие

•означает, что частицы жидкости на свободной поверхности

могут

двигаться только в горизонтальном

н а п р а в л е н и и , т. е. жидкость

в этом случае я в л я е т с я

у л ь т р а т я ж е л о й .

Условие dtys/dz = 0 при z = 0 позволяет п р о д о л ж и т ь

функции

<р„ в верхнюю полуплоскость четным образом, пр и этом

г р а н и ч н ы е

что функция ф 2 отвечает колебаниям сдвоенного к о н т у р а , колеб ­

лющегося

как одно целое, а ф у н к ц и и ф 3 и ф4

отвечают

к о л е б а н и я м

сдвоенного

контура,

половинки которого

совершают

к о л е б а н и я

в противоположные

стороны. Присоединенная масса

к о н т у р а L

В

другом предельном случае v =

оо граничные условия (16.2)

т а к ж е

упрощаются . В этом случае ф 3 = 0. Это условие

означает

что на свободной поверхности частицы

беспрепятственно

д в и ж у т с я

136

П Л О С К И Е З А Д А Ч И Т Е О Р И И К А Ч К И С У Д О В

Г Л . IV

1*ая (°) = ~ ~ 1 п

~ пТ

cos ~2h

чен М. И. Гуревичем

[ 1 7 1 . На

рис. 4.3

представлены

кривые

ц и

(0)

—

const.

f ( —

1 \

2h '

h

Е с л и жидкость заключена в канал

кругового

сечения

радиуса г,

то влияние

пространственного

ограничения

на присоединенную

bjZh

массу

(х3 3

(оо)

плоской

м

iz

пластинки

характеризует -

ся графиком

[ 1 8

] , приве­

денным на рис. 4.4.

Проведем

теперь

ана­

лиз коэффициентов

демп­

фирования .

Д л я

этого

G= In

In ^

e~ivx

^

Avx

dx

dx, (16.15)

—

• I

-j- со

x =

у -f- iz,

I ~

it,,

r=\x

— l\,

r' = \x — t\,

И Н Е Р Д И О Н Н О - ВОЛII О В Ы Е

Г И Д Р О Д И Н А М И Ч Е С К И Е

С И Л Ы

137

причем асимптотический вид функции G следующий:

при

у - *

-\- оо

G -

— 2nie-iv

<*-£),

(1(3.16)

при

у ->- — оо

G = — 2nieiv

(^-|).

Применим теперь формулу

Грина

к гармоническим функциям:

Ф и

G в области S,

ограниченной

контуром

L

+ С (рис. 4.5),

где С — окружность

малого

радиуса

е с центром в

точке Р

(у, z)r

а 2 состоит

из вертикальных

отрезков А,А2

и

А6Ав

и горизон­

тальных

отрезков

А2АЯ,

А±АЬ

и

У12 ^4в

Па основании формулы Грина имеем

д

и -

дп

Ф dG

(Уд

Рис. 4.о.

И

д<р G

дО

ds -f-

2лф (у, z) =

0.

дп

Ф дп

Принимая во внимание

асимптотический

вид функций

ф и (?,

а

также

равенства

dq>/dz = гф,

dG/dz

— vG

на

отрезках

А2АЯ

и

А.УАЬ,

получим

ф =

ш V

<г -^>,

(16.18)

при у - > — оо

ф =

iB~ev

<*-ИЮ, ]

138

П Л О С К И Е

З А Д А Ч И Т Е О Р И И

К А Ч К И

С У Д О В

Г Л . I V

где

В+

=

^ ev

<i!H-z)

— v<p |i cos (га, у) + cos (га, z)]\ ds,

(16.19)

В~

e v

(—iy+z)

~

— vcp [— i cos (re, г/) +

cos (re, z)]| ds.

Д л я

возвышения

свободной

поверхности

имеем:

при

у -5- + оо

ate, f) =

4 - # v

«"-vv),

при

г/ - > — оо

(16.20)

8

(у, *) =

- ^ - 5 ~ е * ( < " + ^ ) .

Таким

образом,

амплитуды расходящихся

волн

и

затрачивае­

м а я

на

их

образование энергия определяются формулами

А-

= — 1 В'

1

8

1

(16.21)

2 Г | 2 ) -

Применяя теорему

об изменении

энергии,

можем записать

^ - = - Y V 2

- Z V 3 - M V 4 - N ,

(16.22)

где

Е — полная

энергия,

которая

является

периодической

ф у н к ц и е й

времени,

а Y, Z и М — гидродинамические

силы и их

обусловленных

плавучестью шпангоута

L .

За период

колебаний

2л/ о из

равенства

(16.22) имеем

- (YV2

+ ZV3 +

А / У 4 ) с р

=

Ncp.

1

v33 I

Я,24

Re (v2,

г;4)

=

po

B + | 2

+

(16.23)

§ 16

И Н Е Р Ц И О Н Н О - В О Л Н О В Ы Е

Г И Д Р О Д И Н А М И Ч Е С К И Е

С И Л Ы

139

Ф у н к ц и я ф линейно

зависит

от

v2,

v3

и t>4:

Ф = у 2 ф 2 - f 1;3 ф3 + у4 ф4 .

В соответствии

с этим

где

В±

=

игВ$

+ v3B$

+ v,Bt,

(16.24)

Bf

= \ev

(±и/+*)

\ ф 4

1 ± £ cos {п, у) - j -

cos (n, z).] ete

'£

1

( * = 2, 3, 4).

"

(16.25)

Подставив (16.24) в (16.23), получим следующие

формулы д л я

коэффициентов

демпфирования:

К„=

-^-(\В+\а

+

\В7\2)

( 5 = 2 , 3 , 4 ) ,

К

=

Re (BfBt

+

(16.26)

Прежде всего покажем, что при помощи функций

Bf

мы при ­

дем к прежним

результатам дл я примеров, рассмотренных в §§1 1

и

12.

Пусть

ширина

Ъ шпангоута

по ватерлинии

является

малой

величиной. Тогда, стягивая контур L к отрезку

(— Т,

0)

оси z„

будем

иметь

о

Bf

=

B J =

-

b

j e^Z'

(z) dz = -

bx2

{vT),

— T

и,

следовательно,

для

кяз

получаем

результат,

совпадающий с

(12.12).

L имеет прямоугольную

Пусть теперь контур

форму

и

м а л у ю

рины Ъ = 2а, тогда

для Bf

имеем

+ а

Bf

=

-

j

e^v

( - ^ L - vq>.) dy

(s = 3, 4).

— a

Сопоставляя

это выражение с выражением (11.21), убеждаемся

в их совпадении (В±

=

iBf).

Н а к о н е ц , в

случае вертикально погруженной пластинки по­

лучаем результат, такяге

совпадающий

с (11.28)

о

В*

=

±

2iv \ e™q>s (— 0, z) dz.

—"'г

Проведем

теперь

приближенную

оценку

коэффициентов:1

демпфирования

шпангоута

произвольной

формы

при малых v