Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

110 В О Л Н Ы ,	О Б Р А З У Ю Щ И Е С Я П Р И П У Л Ь С А Ц И Я Х О С О Б Е Н Н О С Т Е Й		Г Л . Il l
П ри у — 0,	ка к это следует из формул	(13.10) и (13.20), 3 =	0-
Объясняется	это тем, что пульсирующи й	горизонтальный диполь

эквивалентен горизонтальным колебаниям цилиндра малого ра диуса. Естественно, что при горизонтальных колебаниях цилиндра возмущения вблизи цилиндра распространяются в горизонталь ном направлении по обе стороны от цилиндра .

Наличие под знаком суммы в (13.20) затухающего	множителя
е—Рь Ivl доказывает, что с удалением от диполя весьма	быстро уста

навливаются системы р е г у л я р н ы х волн. Кроме этого, с увеличе

нием номера	к корни	трансцендентного у р	а в н е н и я (13.15) быстро
растут. В предельных		случаях v - > 0 имеем	pf t - > — ,	а при v-»- оо
pf t ->-	Поэтому главна я часть возмущенного			у р о в н я жид

кости представляется расходящимися синусоидальными волнами,

которые вблизи диполя имеют несколько искаженну ю						форму.
В предельных случаях			v = 0 и v = оо третье слагаемое в (13.19)
отсутствует, т. е. в этих			случаях волновой пропесс отсутствует.
При v = 0 и v =	оо интеграл в (13.19) вычисляется . Этот						предель
ный результат	легко	получить		методом зеркальных		отражений .
В самом деле,	при v = 0		имеем следующие		граничные		условия:
	I m -^р-		— 0	при z = 0,
	т	Z	п	.	\		(13-21>
	l m		= 0	при z — — п,

т. е. жидкость заключена в горизонтальные стенки. Поэтому, ес ли в точке (0, £) имеем горизонтальный диполь, то на основании (13.21), совершая зеркальные отражения на всю плоскость х = = у -f- iz, найдем

W ( X ) Z =	J 2 _	V /	1	i	1	2hni
	2я	•<--1 \	х—г'!1 — 2hni		xA-it—	2hni
		П=—оо	a	1	s

И с п о л ь з уя формулу

nctgnx = ± + £ {-Л-

окончательно найдем		n=l v
окончательно найдем						71X
						71X
w{x)=-%-	n	-.	,			s i n — i T "	,	.rx .
w{x)=-%-	ihi	-.	,	n		h l .	,	.rx .
x '	ihi	. nix	— it)		••'	. nix	+	it)	"
		sin	n 7 .		••'	sm	2hi		"
			2hi				2hi

(13.22)

В другом предельном случае v = оо граничные условия имеют вид Re w (х) = 0 при 2 = 0,

тl m d w

п	1.1	1	( 1 3 - 2 3 )	'
- U	при z = — п.			'

s 13	ПУЛЬСИРУЮЩИЙ д и п о л ь ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ

Метод зеркальных отражений дает следующее:

w (х) =	1	1
w (х) =	п(х— iQ	. к(х-\- Е)
	п(х— iQ	. к(х-\- Е)
	2hi	sm — — — —
	2hi	2hi

111

(13.24)

Из формулы (13.20) для амплитуд расходящихся волн имеем

ch X0h ch Х0	(h + £)	(13.25)
vh -\- sh2 Xah		(13.25)
vh -\- sh2 Xah

Заметим, что характеристическая функция горизонтального диполя одновременно является комплексной скоростью дл я источ ника интенсивности Q. Поэтому, как и в § 12, можем распреде лить источники по плавающему контуру С и дл я комплексной ско рости будем иметь

^-=\q(s)w(x-Z)ds,

(13.26)

где

w (х —

ei at

комплексная

скорость

источника

единичной

интенсивности, помещенного в

точке

= r|

-f- it,. На

основании

(13.19) асимптотический характер w (х

— g) определяется выраже

ниями:

при

оо

vch%0

(h +

л ^ х

_ ц + щ

при

х-> — оо

(13.27)

( I

—

| ) =

- V ^

е Д.(х-Г!+ гЛ) _

s /

-h sh2

X0h

)

Принимая

во

внимание, что на свободной поверхности ф =

можно

возвышение

уровня

жидкости представить в

форме

30/-

') =

/ -

f <PUA 0)e^

- L

(13.28)

Воспользовавшись формулами (13.26)—(13.28), получаем сле дующее выражение для асимптотического вида свободной поверх

ности при у	=	i 0 0 :	(У. t) = A±e^>-°y\
где		8	(У. t) = A±e^>-°y\	(13.29)
где
А ±	= f	v f t t s h ^ f e I ? <*>c h А « (/ г + S)е ±		( 1 3 - 3 ° )
		~	" с

Нетрудно видеть, что выражение для А+ при /г - > оо автома тически переходит в ранее установленную формулу (12.3).

Затрачиваемая колеблющимся плавающим контуром на образо вание волн энергия определится как сумма энергий,переносимых

112

В О Л Н Ы , О Б Р А З У Ю Щ И Е С Я

П Р И П У Л Ь С А Ц И Я Х

О С О Б Е Н Н О С Т Е Й

Г Л . 111

волнами в правую и левую

стороны.

Поэтому,

используя

формулу

(2.53),

получим

Ncp

= ^-pg(\A+\2

\A_\*)u,

(13.31)

где

и — групповая

скорость

волн,

определяющаяся

формулой

(2.45)

„ — _ L

J L

/ i

_ L

X ° H

А0

[

"f"

s h 2 V

которую

на

основании соотношения

л п

sh X0h

v ch Xah

можно

также

записать

в виде

1 a vh -f- sh2 Х0/г

А,„

sh3 Х0/г

Учитывая это выражение и подставив значения А±

(13.31),

будем

иметь

q (s) ch X0

(A. - f Q

e^»Vs

8и ch2

V »

5 (s) ch Я,0

(/г - f Q e-JMffe

(13.32)

Если gx , g2

и g 3

— интенсивность

источников

соответственно

при

горизонтальных,

вертикальных

вращательных

колебаниях

с единичными

амплитудами

скоростей,

то

по

соображениям,

изложенным

в §§ 11 и 12, дл я коэффициентов

демпфирования Хц,

найдем

выражения

ре

Хц — Аи ch3 kah

j д. (s) ch X0

(h +

0 еЯ*ч&

j 9 l (s)ch/V0

(h +

e-i^ds

(13.33)

Д л я контура прямоугольной формы ширины b и осадки Т можем приближенно определить Х33 и Хи с той же степенью при ближения, что и в § 12, распределив источники интенсивности q3 = 1 и д4 = у по днищу плавающего контура . В результате по лучим

V-	ch2 Х0 (fe — Т)	I sin /	у3	1
2и	ch2 Xnh
pgb*	ch2 Я.0 (/г — Т)	d j	smt	2 1	(13.34)
	ch2 Я,0Л	If

(* = Х0 Ь/2).

В случае вертикальных колебаний контура произвольной фор мы небольшой ширины, уравнение которого задается у = ± ~ | г ^ (z)>

ПУЛЬСИРУЮЩИЙ д и п о л ь	п о д	ПОВЕРХНОСТЬЮ		и з
д л я коэффициента демпфирования	находим		выражение
о
Я„ = JfL к\ х = \	Z' (z) c	h V	f t ' ] dz.	(13.35)

Мы провели анализ волнового процесса при пульсированиях горизонтального диполя в жидкости конечной глубины и рас смотрели простейшие приложения результатов этого анализа .

Проведем теперь исследование в другом случае. Пусть в точке (О, £) имеем вертикальный диполь, интенсивность которого из

меняется со временем но гармоническому закону, тогда					подобные
рассуждения		приводят	к	следующему выражению для	функции
w (х) \и-	7 5 ] :
w (х) —	Г /	1		1
w (х) —	2я£		х-\-	i(2h - j - t)

shX„	(h +	Q	cos XQ (x -f- ih).	(13.36)
xh +	sh3	Xah

Здесь также при v = 0 и v = оо третье слагаемое отсутствует. Результат непосредственного вычисления в этих предельных слу чаях, а также метод зеркальных отражений приводят к следую щим выражениям:

при v О

		.	я(х — it)	.	п (х 4- it)
		sm	V21»	sin	21и
п р и v — оо
w (х) =	Г	я {х + it)			л(х — it)
w (х) =	Ah
	Ah
			2hi		1	2hi
			2hi			2hi

(13.37)

(13.38)

	Кроме	того, при любых v выражение		для ф(г/, 0) получается
в	удобном	для вычисления виде. Имеем
		оо
,	А \	г Г XshXih + t)	, ™	,

4>0/, 0) = - — j	^ h U - v c h U C 0 S ^ d X +
о

114 В О Л Н Ы , О Б Р А З У Ю Щ И Е С Я П Р И П У Л Ь С А Ц И Я Х О С О Б Е Н Н О С Т Е Й Г Л . I I I

П ри

помощи

теоремы

вычетах

находим

следующее

выражение

д л я

возвышения

уровня

жидкости:

3 =

cos f,hh

sin f,k (h +

^ k

l y l +

j a t

vh -

0 vh +

sh2 X0h

(13.39)

Следовательно, амплитуды расходящихся волн определяются

формулами

p^ch X0h sh Х„ (h +

(13.40)

vh -

sh2

XJi

На основании полученных результатов дл я п у л ь с и р у ю щ и х го

ризонтального и

вертикального диполей проведем анализ волно

вого

процесса

случае

эксцентрического

вращения цилиндра .

Пусть

под

свободной

поверхностью имеем ц и л и н д р радиуса а, ось

которого

находится на глубине

Т, и пусть

цилиндр совершает равномерное вращение с

угловой

скоростью

вокруг

неподвижной

оси,

проходящей

через точку О и

п а р а л л е л ь

ной

оси цилиндра

(рис.

3.5).

ООх

Полагаем,

что

эксцентриситет

= б

является

малой

величиной, так что величи

Рис. 3.5.

ну

скорости

точек

поверхности

цилиндра

можно принять равной v да аа.

Очевидно, что

н о р м а л ь н а я скорость

какой-либо

точки

В поверхности цилиндра

определяется

выражением

— аа sin а.

Из треугольника

ООхВ

(рис. 3.5) имеем

sin а sing

поэтому

vn = об sin £.

В неподвижной системе координат угол \ выражается через полярный угол 8 следующим образом: = 9 — at, следовательно, для нормальной скорости получаем окончательное выражение


	vn	=	об sin (6 — at) =		F j cos 0 +		V2 sin	l	(13.41)
	F 1	=	— 08 sin at,	V2	=	o8cosat.

Д л я того чтобы приближенно					удовлетворить			условию	обтека
ния, необходимо			сложить характеристические функции горизон
тального и	вертикального диполей,					положив
Г' =	Ге»°',		Г = 2яа5 об;	Q' == Qe>at,			Q= — 2na>obj.		(13.42)

§ 14 В И Д О И З М Е Н Е Н И Е М Е Т О Д А О С О Б Ы Х Т О Ч Е К 115

С к л а д ы в ая выражения (13.20) и (13.39) при вышеуказанных
значениях Г и		Q,	получим
3 = ±	2na2 6v2		COS P,.fe		_ R t \| „ i
3 = ±	2na2 6v2			"	e P f t l y \| cos [at ± 6ft (h — T)}		+
							(13.43)
где верхний знак следует взять при у >						0, а нижний — при у < 0.
Из (13.43) видно, что амплитуды образующихся волн опреде
ляются	формулами
		А±	= Т	2па^		ch КК	(13.44)
Интересно		отметить,		что	в случае	неограниченной	глубины

жидкости, волны образуются только с одной стороны. В самом

деле,	устремив h к бесконечности	и приняв	во внимание, что
l i m Х0	= v, получим
	А+ = 0, А- =	4 n a V 6 e - v r .	(13.45)

В этом случае амплитуда достигает максимума при круговой ча стоте о = ]/2g/T, т. е. при частоте, равной частоте колебаний ма тематического маятника длины Т/2. Максимальное значение ам плитуды определяется вырал<ением

Л _ =	1 6 я ( - ^ - ) 2 б е - 2 .	(13.46)
Длина излучаемых волн	при максимальной	амплитуде	равна
Я = пТ.
Таким образом, в а р ь и р у я глубину погружения Т и эксцентри
ситет б, можно получить значительный диапазон излучаемых			волн,
что позволяет эксцентрично	вращающийся цилиндр использовать
в качестве волнопродуктора	в малых опытовых	бассейнах.

§ 14. Видоизменение метода особых точек

Развитые в предыдущих параграфах способы определения вол новых потоков можно несколько видоизменить с тем, чтобы не пользоваться двумя независимыми мнимыми единицами i и /. Д л я определенности рассмотрим случай неограниченной глубины жидкости, и пусть потенциал скоростей имеет вид

Ф {у, z, t) = Ф {у, z) е™.

(14.1)

Предположим, что мы выделили особенность и для гармони ческой во всей нижней полуплоскости функции F (у, z) имеем

116 В О Л Н Ы , О Б Р А З У Ю Щ И Е С Я	П Р И П У Л Ь С А Ц И Я Х О С О Б Е Н Н О С Т Е Й	Г Л . I I I
условие при z — О
~	vF = % (у, z),	(14.2)

причем в обеих частях соотношения (14.2) имеем функции, гар

монические во всей нижней полуплоскости, и поэтому (14.2)

спра

ведливо дл я всей нижней

полуплоскости.

Перейдем теперь

комплексным

координатам

х = у + iz,

х = у — iz,

(14-3)

тогда

соотношение

(14.2)

примет

вид

OF \

~дх~ ~

I T / 1 _

V F

( 1 4 - 4 )

Ф у н к ц и и F {х, х)

(xi х)

удовлетворяют

уравнению

Л а п

ласа,

которое

в координатах

и х

имеет вид

дх

Отсюда

общее

решение

уравнения

Л а п л а с а представляется

в форме

F(x,

x) =

F1(x)

F2(x),

Подставив (14.5) в (14.4), получаем

два независимых

уравне

ния для определения

функций

(х)

и F 3

(х):

)

dF2

(14.6)

v F

(ж).

Прежде

чем решить

уравнения

(14._6), представим

условия

..излучения (11.6) через переменные

и х.

Имеем:

при у ->-

-f- 0 0

Ф (х, х) =

B+evz~ivv

В+е~ -ivx

при у —i

оо

(14.7)

Ф (х, х) =

B^eV2+ivv

== Д_е«*.

Условиям

(14.7)

мы удовлетворим,

если решения уравнений

.(14.6)

возьмем

при соответствующих

пределах

интегрирования:

)

(х) =

ге~™х

хг (х) е™*йх,

— со

(14.8)

F 2 (х) = ie^x j % 2 ф e - i v x

§ 14	В И Д О И З М Е Н Е Н И Е М Е Т О Д А О С О Б Ы Х Т О Ч Е К	117
Т а к им	образом, если функция % известна, то при	помощи

(14.8) можно определить регулярную часть функции ф. Кроме того, видим, что видоизмененный метод позволяет сразу выбирать те решения, которые удовлетворяют условиям излучения, не при

бегая	к дополнительным решениям		однородного уравнения, как
это имело место в §§11 и 12.
Из	(14.8) для амплитуд	излучаемых		волн	получаем	выраже
ния
	-{-60			--00
	В+= —i \ ул (х) eivx	dx, #_	=	i j %2	(x) e-^dx.	(14.9)
	—со

Покажем, как этим видоизмененным методом определяется волновой поток в рассмотренном уже нами случае пульсирующего источника.

Обозначим через G функцию, отвечающую указанному случаю. Эта функция, очевидно, имеет вид

	G = l n - L - r n - 4 4 - F ,								(14.10)
где
г =	К*(1/-Т1)2 +	( 2 - 0 2 ,			r' =	V	(y-4)2	+ (z+Q\	(14.11)
a F (у, z)	— гармоническая			функция		во	всей	нижней	полупло
скости. Ф у н к ц и я G при z =				0 удовлетворяет условию
		4 ^ - v G			=	0,
		dz
которое для функции F		(у,	z) принимает				вид
	^ -	v	F	= 2 ^ 1 n J 7			-		(14.12)
В обеих частях равенства				(14.12) стоят функции гармонические

во всей нижней полуплоскости, поэтому (14.12) справедливо при всех z < : 0.

Так	как
	21п-1- =	1 п — Ц -		+ 1п - =Д —		(Б = Т\|-И£),
	г	х—I			х—1
	г
то равенство (14.12)		представится в			форме
	OF	vF =			+
		vF =			+
				х — \	X	\|
Отсюда	следует, что дл я		функции
		F {х,	х) =	F1 (х) - f F2 (х)		(14.13)

118 В О Л Н Ы , О Б Р А З У Ю Щ И Е С Я			П Р И П У Л Ь С А Ц И Я Х О С О Б Е Н Н О С Т Е Й Г Л . I I I
получаем
	Fx	(х) = — ег			dx,
					х-1
						(14.14)
	Fu	(х) = — tvx		\ _1	dx.
				-)~оо
Из формул (14.14) пр и помощи теоремы о вычетах						легко на
ходим асимптотический вид функции G:
при !/-> -г	оо
		G =	—	2nie-Wx-t),		(14.15)
при у—>	оо					(14.15)
при у—>	оо
		G =	—	2nieW*-l\
совпадающий с ранее найденным в § 12 (Q = — 2л) .
Рассмотрим	этим методом более				сложную и вместе	с тем ин

тересную задачу. Пусть под поверхностью т я ж е л о й жидкости не ограниченной глубины движется прямолинейно - горизонтально по направлению оси у источник с постоянной скоростью и, который одновременно пульсирует по гармоническому закону . В этом слу чае потенциал скоростей образующегося волнового д в и ж е н и я со стоит из двух частей: потенциал скоростей, отвечающий устано вившемуся движению источника, и потенциал скоростей, отвечаю щий пульсациям источника.

Первый потенциал описывает обычные д л я этого случая уста новившиеся волны, образующиеся позади источника, а второй — волны, излучаемые пульсирующим источником. Мы проведем ана лиз излучаемых волн, которые, как будет видно из дальнейшего, обладают весьма интересными особенностями.

Исследование будем проводить в подвижной системе коорди нат, перемещающейся поступательно с постоянной горизонтальной скоростью и, т. е. в системе координат, связанной с движущимся

источником, причем ось Оу направляем по направлению				д в и ж е н и я .
Д л я	определения	волнового движения мы имеем		граничное
условие	на свободной	поверхности
		дФ	= 0,	(14.16)
		dt*

где daO/dt — производная по времени, рассматриваемая в непо движной системе координат. Если дФ/dt означает производную по времени в предположении, что функция Ф выражена через время

ВИДОИЗМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОСОБЫХ ТОЧЕК

119

и координаты точек подвижной системы координат, то имеет место равенство

дФ
- a r = - a i	u-Jy->	< 1 4 Л 7 >

поэтому условие (14.16) в подвижной системе			координат		примет
вид
52 Ф	д2 Ф , „ д*Ф	дФ п	Л	. . .	, 0 .
- Ж - 2 и - Ь Т Ъ Т + и ' ^ r + S-8T = ° ^			z = °-	( 1 4 - 1 8 )

Если источник пульсирует с частотой а, то потенциал скоро стей, отвечающий излучаемым волнам, можно представить в форме

Ф {у, z, t) = Ф (у, 2) е«",

(14.19)

где для определения гармонической функции ф (у, z) будем иметь условие

где
v — o2Ig, % — ua/g.	(14.21)
В предельном случае и == 0, т. е. когда	ИСТОЧНИК неподвижен,

излучаемые пульсирующим источником волны представляют си стему волн, расходящихся по обе стороны от источника. В другом

предельном случае, когда	a = 0, позади источника образуется
установившаяся система волн. Эти два предельных случая		пока
зывают, что при а Ф 0 и	и Ф 0 излучаемые источником	волны
будут иметь несколько сложный характер, который нельзя		зара
нее предугадать.		"I

Анализ граничного условия (14.20) показывает, что возможно существование четырех систем свободных волн. Какие из этих систем и в каком направлении излучает источник, трудно указать заранее. Поэтому дл я устранения неопределенности при решении задачи введем, ка к это обычно делается в теории волн, малые дис-

сипативные силы, пропорциональные	скорости частицы, т. е. оп
ределяющиеся формулой — и,]©, где V — вектор скорости частицы,
а pj — постоянный положительный	коэффициент,	который при
окончательном решении задачи следует устремить к		нулю.

При такой форме сил трения опять можно предполагать су ществование потенциала скоростей, только теперь интеграл Ла - грапжа будет иметь, как это следует из уравнений гидромеханики,

несколько более	общий чем	(1.2) вид:
р - р 0	= - р 4 г -	4 - р \| у ф 1 2 - № 1 ф - р ^ -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20234.21 Mб10Харрик И.Ю. Функции многих переменных.pdf
#
25.10.202314.52 Mб41Харт Э. Гидратированный электрон.pdf
#
19.10.20236.15 Mб6Хартович, Ю. И. Вибрационный выпуск руды.pdf
#
23.10.20236.99 Mб9Харчева Л.И. Концентрация производства и эффективность ее современных форм.pdf
#
29.10.20233.77 Mб17Харченко К.С. Практика профильного шлифования.pdf
#
25.10.202312.5 Mб36Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля.pdf
#
23.10.20234.62 Mб14Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
#
29.10.20234.32 Mб14Хацкелевич В.А. Расчет режимов генератора при анодной модуляции на новых лампах.pdf
#
24.10.20239.84 Mб6Хачатрян Х.А. Стабильность работы почвообрабатывающих агрегатов.pdf
#
22.10.202314.34 Mб28Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf
#
19.10.20237.4 Mб96Хаяк, Г. С. Инструмент для волочения проволоки.pdf