Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3311 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

100 В О Л Н Ы , О Б Р А З У Ю Щ И Е С Я П Р И П У Л Ь С А Ц И Я Х О С О Б Е Н Н О С Т Е Й Г Л . I I I

и, следовательно,		для	коэффициента демпфирования л-4, находим
	Я4 4	= роа 4		2 sin t			(t)		(11.26)
				t

Рассмотрим теперь другой пример . Пусть имеем пластинку
погруженную	вертикально в			жидкость		и совершающую			колеба
ния . В этом случае контур интегрирования							С -f- С в (11.18)			мо
жем стянуть к	вертикальному			отрезку		2 Г, где Т		— глубина		по
г р у ж е н и я пластинки .			Учитывая,		что	значения		действительной
части функции F (х) с обеих сторон пластинки одинаковы, а зна
чения мнимой	части различаются				знаками,		будем	иметь
			о	<9ф_
					+ v<p_(0,		z) j sh vz dz,		(11.27)
				dz

где ф_ — значение функции ф при у = —0.

П р и н я в

во

внимание,

что

при

z — — Т,

ф__ = 0,

формулу

(11.27) можно

представить

форме

В±

= — 2v

ф_ (0,

z) evz

dz.

(11.28)

Возьмем в качестве первого п р и б л и ж е н и я значения ф_ при v

со. В

частности,

для горизонтальных

колебаний ( 9 _ I v = = c o

vyT2

—

z'-,

тогда

В±

= — 2Tvt

J Y \

— хг e~tx

+ i

=• —

t j

у 1-х2ch

txdx

— 2t\

Y±

—

x2shtxdx

(11.29)

- i

(t = vT).

Первый

из

интегралов

выражается

через

функцию

Бесселя

I x

(t) от мнимого

аргумента

i x

(о =

j /

l — х2

ch tx dx,

(11.30)

а второй' —

через

функцию

Струве L x

(t)

от мнимого аргумента

[ 7 ]

Ьх

(0 =

- f - J У Т ^

sh te das,

(11.31)

следовательно,

В±

= -

nTv

\IX

(t) — L x

{t)\.

(11.32)

Д л я коэффициента демпфирования

Х2 2

получаем выражение

Я.2 2 = р я г о Г 2

[/, (0 -

Ьх (Щ\

(11.33)

П У Л Ь С И Р У Ю Щ И Й источник П О Д П О В Е Р Х Н О С Т Ь Ю

101

§ 12. Пульсирующий источник под свободной поверхностью жидкости неограниченной глубины

Пусть в точке g = т| -f- i£ помещен источник, интенсивность которого изменяется со временем по гармоническому закону Q' —

— Qejoi; тогда функция w (х) должна иметь вид

и>(х)=-^Ы(х-%)+Н{х),

где Н (х) — голоморфная функция в нижней полуплоскости. Функ -

, .

ция

же t

(х)

-f- ivw

в нижней

полуплоскости

определяется

выражением

F(x)

-f- iv In (х — £) +

Нх

(*),.

2л

где

Нх (х)

— некоторая

голоморфная

функция

н и ж н е й

полу

плоскости.

Согласно условию (11.8) и принципу симметрии Шварца

функ

ция F (х) имеет особенности в

точке

£ =

т) — ££ такого ж е

типа,

как

и в точке

Е =

-f- ££. Поэтому

функция

F (х)

может

быть

представлена

в окончательной

форме

( * ) = * f *

+ - A ^ + i

v \ n £ = l

2я [ г — 1

а ; _ |

Подставив

это выражение

(11.12)

произведя

интегрирова

ние,

находим

w (х)

In i

—

• dx

.(12.1)

В рассматриваемом

случае

выражение дл я Вх

-f- Ш 3 имеет вид

—оо

.1 ж — g

-(-со

Применяя

теорему

о вычетах,

будем

иметь

Вх

i £ a

Ах

а 2

— 2<?iei v l .

З а м е н я я

г на /

г на

—/' и

учитывая (11.16),

получим

В+

Qje^-^\

Поэтому для комплексных амплитуд излучаемых волн имеем

(12.2)

1 0 2 В О Л Н Ы , О Б Р А З У Ю Щ И Е С Я П Р И П У Л Ь С А Ц И Я Х О С О Б Е Н Н О С Т Е Й Г Л . Ш

Е с ли пульсирующие	источники		распределены по	контуру С
с интенсивностью q (s), то в результате суперпозиции				комплексная
амплитуда излучаемых	волн	примет	вид
4	= 7 (	? ( «	) « .	(12.3)

sс

На основании (11.19) затрачиваемая энергия на образование

волн определяется выражением

	ср	ра	q (s) e^W^	ds	+	q (s) e^-i^				ds	(12.4)

Пусть контур совершает поступательные вертикальные колеба
н и я	с комплексной		амплитудой	скорости			z;g;	тогда		очевидно, что
q (s)	= v3q3	(s), где	q3 (s) не зависит от v3.					По	соображениям,
изложенным		в § 11, затрачиваемая энергия					Ncp	=		Я 3 3 \| v3\2,	где
^зз — коэффициент			демпфирования.		Отсюда			дл я	К33	получаем
	^зз —	да				j <7з ( s ) '		-jvTi ds			(12.5)

Аналогичное выражение можно получить д л я коэффициента демпфирования Я 4 4 пр и в р а щ а т е л ь н ы х колебаниях с угловой ско ростью coeiat. Имеем

\ <?4 (s) e v ^ ' V T i	ds 2	+ К g4 (s) e v £ - ^	ds	(12.6)
Д л я оценки коэффициентов	демпфирования		интенсивность
источников можно взять в первом		приближении,	п о л а г а я	q\ =

=— 5ф/3ге.

Рассмотрим некоторые примеры п р и б л и ж е н н о й оценки коэф

фициентов демпфирования. Пусть п л а в а ю щ и й контур С имеет прямоугольную форму ширины Ъ и осадки Т. В этом случае источ ники можно считать распределенными по днищу, причем q3 = 1, q4 = у. По формулам (12.5) и (12.6) получаем

рое—2vT	2	. vb \ 2
рое—2vT	—	Sin—;р
	v	2
- р о е - ^ г	\|" _ L Jcos - J - - - J - sin • v6		(12.7)
- р о е - ^ г	\|" _ L Jcos - J - - - J - sin • v6

П р и малой ширине b плавающего контура будем иметь

X 3 3 ^ p o 6 2 e ~ 2 v r

ки^-±гра(хЬ*)*е-*>т.

(12.8)

Рассмотрим теперь другой пример . Пусть имеем контур, максимальная ширина которого Ъ и осадка Т, но произвольного

П У Л Ь С И Р У Ю Щ И Й

и с т о ч н и к

ПОД П О В Е Р Х Н О С Т Ь Ю

103

очертания, уравнение

которого

задается в

виде

y = ± \ z { z ) .

(12.9)

Пусть

контур

совершает

вертикальные

колебания со

скоростью

vejat,

тогда в точках контура С имеем граничное

условие

- g - = ycos(«, г).

(12.10)

Положил!, что ширина контура мала, тогда

cos (п, z) =

\Ъ'

(г).

Перенесем

граничное

условие

(12.10)

на

вертикальный

отрезок

( — Г, 0) оси г:

-±.Z'(z)v

при у=+0,

±.Z'(z)v

при у =

- 0 .

(12.11)

Тогда мы в точности удовлетворим условиям (12.11), если

вдоль

отрезка (—Т, 0) оси z

распределим

источники интенсивности

q =

— bZ'

(г) v;

q3=

— bZ' (z).

Подставив

значение

q3 в (12.5),

получим

где *)

k33

pob*xl(vT),

(12.12)

x2(vT)

Z'(z)e™dz.

(12.13)

Представим Z (z) в

—т

виде

параболической

функции

( z ) ^ i - [

- ~

(12.14)

где показатель тп связан с коэффициентом

полноты

% =

S/bT

пло

щади б1 , ограничиваемой

контуром

С,

соотношением

X = m'/m+l.

(12.15)

Выражение

(12.13)

принимает

вид **)

к 2

(V71) == m

\ z"1 -1 e~v r 2

dz.

(12.16)

Интегрированием по частям находим рекуррентное

соотноше

ние

x a ( v 7 \

m + l )

( m + l )

' (

v r ' g ~ e " ^ r

•

(12.17)

*) х а является

фунцией

v7\

если

Z(z)

является

функцией от

комбинации

г/Г —ср. с

(12.14).

(Прим.

ред.)

интегрирования г = — Тгъ,

**) Автор делает

замену

переменного

затем

г , опять обозначает

через

г.

( П р и м .

ред.)

404	В О Л Н Ы , О Б Р А З У Ю Щ И Е С Я П Р И П У Л Ь С А Ц И Я Х О С О Б Е Н Н О С Т Е Й Г Л . I I I

П ри т = 1/2 (х = 1/3) имеем

	1
х 2 (х, 4 ) = 4	dZ=4 Y-r ф о ^ ) ( * = v 7 T ) -

ог "

где Ф (и) — функция Крампа:

Ф(и)

•dt =

' о

1,0 \

0,8- 0,33

0,71

4,2 — о,	^0,5

е~и'	du	(у — и").
При	т = 1 (х = 0,5) ре
зультат		вычисления				дает
следующее:
к 2	( г ,	1) =	1 — е~~х
				_	.
П о л ь з у я с ь рекуррент
ным	соотношением				(12.17),
можно		получить			в ы р а ж е
н и я	функций щ д л я всех
положительных				целых т
и д л я дробных т,				отличаю
щ и х с я		от целых			на	V 2 .
Так,	например, дл я целых

тполучаем

к2 (х, т) =

= = _ m ! _ _		_ X r P m - l ( x )
х т	е	х т

0,2	Ofi	0,6	0,8
			ZltYT

Рис. 3.1.

где Pm-i {%) — многочлен степени т — 1:

Pm-i	№ = тхт^	+
- f m	(т — 1)ж™-2 -\|	\-т\

Отсюда видно, что при больших х — vT, х2 (т, х) имеет порядок малости х~т. Этот ж е результат остается справедливым при любых т > 0. В самом деле, проведя в формуле (12.16) замену перемен ных vTz = и, получим

к2 (х, т) =

Г (т) — j

ит~1е-^и

где Г (т) — функция гамма.

Следовательно, при больших х и при любых т > 0, "л2 (х, т) имеет порядок малости х~т.

П У Л Ь С И Р У Ю Щ И Й и с т о ч н и к

П О Д П О В Е Р Х Н О С Т Ь Ю

105

При малых х = \Т

приближенное

значение х 2 (х,

т) имеет

вид:

т ,

х0(х,

т)

— 1 —

„

X".

•2)"

6 (т -f- 3)

Н а рис.

3.1

представлена

за-

висимость

Х 2 (уТ)

для

различных

значений коэффициента полноты %.

К о н т у р ы , отвечающие

этим

коэф

фициентам

полноты,

изображены

на

рис. 3.2.

В ы р а ж е н и е

(12.12)

можно

так

же

представить

виде

^ 3 3 = p ] /

f \^\{х)Ь2

(x =

vT).

Рис. 3.2.

Отсюда максимальные значения демпфирования будут иметь

место

при

х 2

(х)

4 ж -dx^ =

Из

(12.16) легко установить, что

•—\е

Поэтому

предыдущее

уравнение

примет

вид

(х, X)

= 5 Х - 1

Рассмотрим

теперь

случай

водоизмещающего цилиндрического

тела, примыкающего к вертикальной стене и совершающего вер тикальные колебания (рис. 3.3). Такой вид колебаний водоизме-- щающего цилиндрического тела используется в опытовых бассей

	нах в качестве			волнопродуктора, соз
	дающего плоскопараллельную					систему
	регулярных волн.
	Н а вертикальной				стене и на	поверх
	ности тела S имеем граничные					у с л о в и я :
	ЭФ	=	0		при у = 0,	(12.18)
	ду
Рис. 3.3.	дФ	• =	vcos(n,	z)	на S.	(12.19)
	дп

Условие (12.18) позволяет продолжить волновой поток в левое полупространство, и в результате приходим к задаче об опредеглении потенциала скоростей Ф при вертикальных колебаниях сдвоенного тела как одного целого, которое излучает волны по обе стороны от себя.

406	В О Л Н Ы , О Б Р А З У Ю Щ И Е С Я				П Р И П У Л Ь С А Ц И Я Х				О С О Б Е Н Н О С Т Е Й Г Л . Ш
	Как и в предыдущем				случае,		распределим			источники	вдоль
отрезка			( — Г,	0) оси z, тогда		дл я амплитуды			о б р а з у ю щ и х с я		волн
получим			выражение
				А+	=	у - Ъ к 2 (vT) а,				(12.20)
где	а — амплитуда вертикальных						колебаний волнопродуктора .
	Энергия,			расходуемая	на	образование			системы р е г у л я р н ы х
волн,		бегущих вправо, определяется формулой
				Ncp	= A - pa W x £			(vT).		(12.21)
	С	увеличением частоты			колебаний			энергия,		расходуемая	вол

нопродуктором, возрастает до максимума и затем постепенно убы

вает.	По этой причине таким волнопродуктором трудно								создать
систему регулярных волн небольшой							длины, так как дл я их			соз
д а н и я	необходимо подводить				к волнопродуктору			большие		мощ
ности;	система длинных волн (малые частоты о)							сравнительно
л е г к о	создается		волнопродуктором			при небольших мощностях,
подводимых к нему.
Более		общее	рассмотрение		разобранных здесь			вопросов		для
с л у ч а я конечной			глубины жидкости содержится в					работе [ 7	5 ] .
	§	13. Пульсирующий			диполь		под поверхностью
			жидкости	конечной			глубины
В	§ 12	показано, что в		случае		неограниченной		глубины		жид

кости метод особых точек и отображений быстро доставляет ре

шение задачи об определении волнового процесса,	возникающего
п р и пульсациях особенностей. Значительно иначе	обстоит дело

при рассмотрении задач такого же типа в ограниченном по глу бине потоке. В этом случае приходится сочетать метод особых точек с методом Фурье \ п ] . В качестве простейшего примера оп ределим волновой поток, образующийся при пульсированиях

горизонтального			диполя, помещенного в точке (0, £) (£ <						0).	Стре
м я с ь		частично	удовлетворить	условию		I m dwjdx		= 0	при	z =
=	—h, представим функцию			w (х)	в	форме
		» ^	= 4 г (lZH[	+ x +	IU + q) + F			^		(13Л)
где	F	(х) — голоморфная функция			во всей полосе 0 >				z >	—/г.
	Н а	основании (11.8) и (11.9) для определения функции								F (х)
имеем		условия
							1	+ t)f +
				(х -		{х + i (2h		+ t)f +
				x + i(2k + Q			при z = 0,			(13.2)
				x + i(2k + Q

П У Л Ь С И Р У Ю Щ И Й Д И П О Л Ь П О Д П О В Е Р Х Н О С Т Ь Ю

107

I m

= 0

при

z = —h.

(13.3)

Воспользуемся

очевидными

интегральными

представлениями

X it = _ iV

\ emx-iD

d ^

(13.4)

—

I; ^ eiX[X+i(2h + t,)l

i (2h -f

справедливыми

при г =

0 и г -

£ >

О, тогда

условие

(13.2)

п р и

мет вид

оо

I m

+ ivFJ

—

j ' (Я - f v) е - ^ л ch Я (/г +

Q sin А,г/ <U.

(13.5)

Воспользовавшись

методом

Фурье,

представим

функцию

^ (а-)

форме

оо

F (х)

= J Л (X) sin X (х + ih) dl.

(13.6)

Очевидно, что выражение (13.6) удовлетворяет условию (13.3).


Удовлетворяя			условию	(13.5),		найдем
			A(X)v ' = ±л		{l+^Cл. Chsh\{hAh^°— vchAh		•	(13.7)4 '
Из	соотношения (13.7)			следует,		что подынтегральная		функция
в (13.6). есть мероморфная функция от X, причем эта функция
имеет		действительный и		положительный простой полюс				в точке
X =	Х0,	где А,0	— корень	трансцендентного			уравнения
			X0shX0h		— v c h 5 i 0 « = 0.			(13.8)

Это уравнение совпадает с (11.5а). В (13.6) следует рассматривать главную часть интеграла в смысле Коши.

Учитывая, что рассматриваемая задача допускает решение, соответствующее свободным волнам с волновым числом Х0, можем» выражение дл я w (г) записать в общем виде:

2л \ x — it, ' х + i (2h + Q

+ ~A2 cos-X0 (x -f- ih). (13.9)'

108

В О Л Н Ы , О Б Р А З У Ю Щ И Е С Я П Р И П У Л Ь С А Ц И Я Х

О С О Б Е Н Н О С Т Е Й

Г Л . I I I

Постоянные А1

и А2

выберем

так, чтобы

были

удовлетворены

условия

излучения (11.6). Д л я этой цели преобразуем выражение

д л я функции ф (у,

z) при z

— 0. Воспользовавшись

интегральными

представлениями

(13.4)

отделив в (13.9) действительную

часть,

после выполнения

некоторых

преобразований

получим

оо

„.

О I' A. ch X{h

l) sin hj

, , л

'•

-f- Л 2 cos X0j/) ch Я0 «.

(13.10)

Подынтегральное выражение в (13.10) является четной функ

цией X,

поэтому

ф {у,

0) = - J L

J (у) + (А1

sin Х0у

+ ЛаСозЛ,^) ch X0h,

(13.11)

где

-[-со

СО

Д л я

вычисления

функции

(у)

рассмотрим

криволинейный

интеграл

-\-оо

—оо

где интегрирование проводится по пути L , состоящем из

отрез

ков

действительной

оси

(— оо,

—Я0 — е),

(— Х„ +

е, Х0

— е)

——(—о

I гр—о—*—I—o-J—*.—»-

(л.„ + 8 , + оо) и верхних по-

л у о к р у ж н о с т е й

радиуса

е с

- о о

-Я,,

К0

+ ° °

центрами

точках

X —

Рис.

3.4.

= — К

к X =

Хп

(рис. 3.4).

П р и м е н я я

теорему о вы

четах, легко установить связь между функциями / (у) и М (у). Имеем

J(y) = M (у) + 2 m v c h y + h s ^ + ^ cos Х0у.

(13.14)

Ф у н к ц и ю Ж (г/) нетрудно вычислить. В самом деле, уравнение (13.8), помимо действительных корней ±Х0, имеет последователь ность чисто мнимых корней Xh = ±i$u, где {}&(& = 1, 2, ...) — корни трансцендентного уравнения

6 f t sinB f t ft - f vcospf t ft = 0.

(13.15)

Поэтому*) В случаепри помощиу > 0 к интегралутеоремыпоо контурувычетахL добавляетсянаходим * ) :равный нулю

интеграл по верхней полуокружности бесконечно большого радиуса. В случае у < 0 добавляется интеграл по нижней полуокружности. (Прим. ред.)

§ 13 П У Л Ь С И Р У Ю Щ И Й д и п о л ь П О Д П О В Е Р Х Н О С Т Ь Ю 109

при

оо

(V) -

2лiv

™shhcosh(h

+ Q

H v

(У) — <MlV

Уц

v h

g i n 2 p h

при

M{y)

~ 2 n i , V , ^ f y c o s P

(fe

+ D

ft=l

следовательно,

для

функции

(у)

окончательно

получаем

оо

cosftf e fecos[Jf e (fe-K)

_ P f t i

y |

*^ (г/) =

2ягг

v/i — sin2

(Зй/г

L f t - i

ch XJi

ch X0

(fe +

£)

(13.16)

где верхний знак относится к случаю у >

нижний

— к слу

чаю

у << 0.

Теперь

нетрудно

удовлетворить

условия

излучения

(11.6).

Д л я

этого

достаточно

положить

.7Qv ch Х0

(h + О

= 0,

(13.17)

отсюда

имеем

окончательные

выражения

для

ф (у, 0)

и? (х):

с о

Ф (у,

0) =

±Qv

Vл

cos

$hh

cos

pfe

(ft

- c _ P f

e | y |

—-

vfe — sin2

P7lft

ch Я0Л ch X0

(h -f £)

(13.18)

vA + sh2

X0h

со

+ я J

X s h U - v c h M

S i n M 2 : 1

(13.19)

Возвышение свободной поверхности определяется из соотно

шения	$ =	—)'	Ф (у,		0)е*а1.	Поэтому			имеем
8 (у. 0	=	^ / 4	^	^ ,	COS Pftfe COS Pfe (ft +				g)	-fih\y\+jat
8 (у. 0	=	^ / 4	^	J	vft — sin		2	ft
				—	vft — sin			p ft
				ft=i
						ch X0h ch			+	jfgtxyrt	(13.20)
					~	vft + sha A,Ji					(13.20)
					~	vft + sha A,Ji

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3311 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
29.10.20234.21 Mб10Харрик И.Ю. Функции многих переменных.pdf
#
25.10.202314.52 Mб41Харт Э. Гидратированный электрон.pdf
#
19.10.20236.15 Mб6Хартович, Ю. И. Вибрационный выпуск руды.pdf
#
23.10.20236.99 Mб9Харчева Л.И. Концентрация производства и эффективность ее современных форм.pdf
#
29.10.20233.77 Mб17Харченко К.С. Практика профильного шлифования.pdf
#
25.10.202312.5 Mб36Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля.pdf
#
23.10.20234.62 Mб14Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
#
29.10.20234.32 Mб14Хацкелевич В.А. Расчет режимов генератора при анодной модуляции на новых лампах.pdf
#
24.10.20239.84 Mб6Хачатрян Х.А. Стабильность работы почвообрабатывающих агрегатов.pdf
#
22.10.202314.34 Mб28Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf
#
19.10.20237.4 Mб96Хаяк, Г. С. Инструмент для волочения проволоки.pdf