книги из ГПНТБ / Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля

§ 10

Д И Ф Р А К Ц И Я В О Л Н Н А Д В И Ж У Щ Е Й С Я П Р Е Г Р А Д Е

91

к оси х,

так ка к для этого случая потенциал скоростей

Ф 0 основ­

уравнени я (10.9) в форму

(10.12)

требует

специальных

обосно­

ваний .

Перейдем к подвижной

системе

координат,

неизменно

связан­

ной с движущейся преградой и с осью х,

направленной

по ско­

рости и. Пусть дгФ/dt

означает производную по времени в пред­

положении, что функция Ф выражена

через

координаты

точек

подвижной системы. Тогда имеем

соотношения

Ф (х, у, t) = Ф

— vt, у, t),

—

=

_

и — ,

(10.13)

(\

г\ д2 Ф I д 2 ф

, о к

с

д Щ

1 д"'ф

— п ( — и

Т

~ к

I ~blF

^

ду'- + z

dtdx

с*

dt* ~~и

[х ~

(10.14)

В неподвижной системе координат потенциал скоростей набе­

гающих волн определяется в форме

ф

— /

J

L г gilot—Hxt cos е + у sin е)]

(fc = — |.

'

а

0

[

с j

Полага я в этом выражении xl =

х -\-ut,

получим

Ф - ф 0 е Л

1 ' Л ,

ф0 — ] — • г0е-Ж* COS Е+УSIQ Е\

о> =

о — ки cos е, (10.15)

где о> представляет

собой к а ж у щ у ю с я

частоту

колебаний

набе­

гающих

волн, в то время как о — их истинная частота

колебаний.

Таким образом, суммарный потенциал скоростей

Ф (х,

у, t)

определяем

в

форме

Ф (х, у, t) =

(<pD (х,

у) + Ф о

(х,

у))

(10.16)

где функция

рассеяния ф д

(х, у)

удовлетворяет

уравнению

(1 - *> 4 £ + & +

+

- о (v . - т-)

да-")

и граничному

условию

оу

=

_

А

г S i

n

ee~jkx

соз s п р и

у =

о,

I х | <

d.

(10.18)

с

и

Уравнение (10.17) можно преобразовать к простому виду при

помощи

подстановки

Ф о

(х, у) =

$ (х, у)

р = т

^ г

-

(10.19)

92

Д И Ф Р А К Ц И Я В О Л Н Н А П Р Е Г Р А Д А Х

Г Л . П

В результате

получим

< * - " ! > ^ + ^ + т 4 г * - 0 -

( Ю Л )

При этом граничное

условие

(10.18) примет

вид

= -

~г0sin

е е - * " при y =

Q,\x\<d,

(10.21)

рывности

давления и

возвышения

у р о в н я

жидкости

позади

дви­

жущейся

плоской

преграды. Н а

основании

(10.13), (10.16), (10.19)

и

первого

из

равенств

(10.11)

это требование

представляется

в форме

- g . -

/Рф =

0

при у =

0,

х<

-

d

(р =

•

(Ю.23)

Из

этого

условия вытекает, что позади

д в и ж у щ е й с я

плоской

пре­

грады

остается

л и н и я

разрыва горизонтальных

скоростей, схема­

т и з и р у ю щ а я

вихревую пелену .

П р и

и <

1

уравнение

(10.20)

я в л я е т с я

уравнением эллипти­

ческого

типа

и

путем

простого

преобразования

х0

=

х,

y0=(l-x*)i/2y

(10.24)

сводится

к

волновому

уравнению

^

f

+

|

f

+ v

4

=

0

,10.25)

дх0

ду0

\

I

Если

ж е

х >

1, то

уравнение (10.20)

я в л я е т с я

гиперболическим

и

на

основании

преобразования

х =

х,

y^(x*

— lf2y

(10.26)

приводится

к телеграфному

уравнению

* L _ _ * ! L +

v N )

=

= 0

(v =

-

^

V

V

(10.27)

дх*

ду*

^

\

х2

—1 /

к

'

даче о вибрациях тонкого

крылового

профиля

в

газе

пр и его по­

ступательном движении с

большой

скоростью,

причем случай

докритических

скоростей

к <

1 соответствует

дозвуковым ско­

ростям

I 1 4 ' 7 3 - 82> 1 2 6 • 1 3 0 ],

а случай

сверхкритических

скоростей

к > 1

отвечает

сверхзвуковым

скоростям

I 3 1

- 9 4 1 .

Ограничимся

S 10

Д И Ф Р А К Ц И Я

В О Л Н Н А Д В И Ж У Щ Е Й С Я П Р Е Г Р А Д Е

ЭС­

Т О Л Ь К О случаем

к >

1, который является

более

простым,

и при­

ведем решение

задачи

при помощи

метода

источников.

Ф у н к ц и я источников уравнения

(10.27), дающая невозрастаю-

щие

значения,

имеет

вид

G (х,

у) =

/ 0

[v ( ? -

у2)1'2]

=

J0 [v (х2

- v Y ) 1 / 2 t

(10.28>

где

7 0 (z) — функция

Весселя.

при х2 — у 2

у2 >

Выражение

(10.28)

имеет

смысл

только

0.

Это

означает,

что

передающиеся

назад

возмущения

заключены

в секторе, определяемом пересечением прямолинейных

характе­

ристик

х + уу = 0 при у^>0,

х — уу =

0

при у<^0.

(10.29)

Воспользуемся (10.28) и представим

функцию

г|: (х,

у) при у >

0>

через распределение

источников

х+уу

Ъ(х,у)=

\

q(l)J0\v((x-l)2-yVf)dl

( * < d ) .

d

Ф о

(х, у) =

-

r 0 sin е е - * *

J

е-**&/0 [V ((х - 1 ) 2

-

7 У ) 1 / 2

] d£

Y

л

(10.30)

( г / > 0 ,

| x | < d ) .

Из этого

соотношения

значения

функций

рассеяния ц>г> (х)

в точках

преграды

(у =

± 0 ) определяются

в виде

х

Ф+

(х) = -

Ф Б

(г) =

-

r0

sin е е - * » j

е - * * J 0

(v (£ -

х)) dg.

(10.31)

d

94

Д И Ф Р А К Ц И Я В О Л Н Н А П Р Е Г Р А Д А Х

Г Л . I I

И н т е г р и р у я по всей глубине жидкости от н у л я до Ь и

с о х р а н я я

только

линейные

члены,

будем

иметь

Ф = рсЧ

(с2

= gh),

(10.33)

при этом

в (10.33)

отброшен

конечный

член

- y p g / i 2 .

Н а

основании

(10.32) и (10.33)

гидродинамическую

силу

Y

и ее момент

М,

действующие

на

преграду,

вычисляем

по форму­

л а м

й

Y

= — 2 - j - P cV*<

U ^ R - j ^

ф + ) d x ,

(Ю.34)

d

M

=

—2-y

pcV«

\

х [Щ-

-

j

^

Ф+) dx.

(10.35)

Соотношения (10.31), (10.34) и (10.35)

полностью

определяют

гидродинамическую

реакцию

набегающих

волн, действующую

на

д в и ж у щ у ю с я

со

сверхкритической

скоростью

(к > 1)

плоскую

п р е г р а д у в жидкости малой глубины . В частности, дл я

гидродина­

мической силы Y после выполнения элементарных

вычислений

получаем

простое

выражение

—d

Y = -

4

pucr0

sin е ( l +

v °

) eW+M

f

J0 (v (g +

d)) d£.

скости yz. Примем, что пульсирование особенностей

осуществляет­

ся по гармоническому закону с

частотой а, поэтому потенциал

скоростей образующихся волн можно представить

через экспо­

ненциально-временной множитель

eJ t 7 i (j — ~\/~— 1), т. е.

Ф(у, z, О =

Ф(У, 2)е**;

(П . 1)

Граничные условия,

приведенные в

§ 1, останутся прежними

_ f g . _ V ( p

= 0

(v =

- £ )

при

г = 0,

(11.2)

=

0 при

г =

— h,

(11.3)

только в данном случае функция ф является

гармонической

функ­

цией двух измерений, т. е. удовлетворяет

уравнению

а ф = ^ + ^ -

= ° .

<"-4 >

при

у—*• +

оо

J

А + е

'

|

(11.5)

при

у—>

• оо

96

В О Л Н Ы , О Б Р А З У Ю Щ И Е С Я П Р И П У Л Ь С А Ц И Я Х О С О Б Е Н Н О С Т Е Й Г Л . I l l

где А,0

— волновое число, связанное с частотным

параметром v =

=

a2/g

соотношением

X0thX0h

= v.

(11.5а)

Согласно (11.5) функция ф (у,

z) определяется

асимптотическими

в ы р а ж е н и я м и :

при

у—*--\-оо

)

при

оо

(11.6)

дп

-— vn

на

С,

(11.7)

где

vne-•jot н о р м а л ь н а я

составляющая скорости

колеоаний

в

точ­

ках

контура

С.

жидкости Х0

Д л я бесконечной глубины

= v и дробный

множи ­

тель в в ы р а ж е н и я х

(11.6) переходит в экспоненциальную

функцию

evz,

у б ы в а ю щ у ю до

н у л я

при z-*•

—оо.

Введение новой мнимой единицы / вместо обычно

употребляе ­

мой мнимой единицы i связано с тем, что мы

будем

описывать

систему п л о с к о п а р а л л е л ь н ы х

волн

ф у н к ц и я м и

от

комплексного

переменного х

= у

-)- iz~, которые не имеют ничего

общего с экспо­

ненциально-временным

множителем e*at. Пусть

(у, z)

есть

функ ­

ц и я , с о п р я ж е н н а я с функцией

ф (х, у),

а г|э (у, z)

e^at

я в л я е т с я

функ­

цией тока. Рассмотрим

функцию w (х) =

ф +

Ц\

где

w {x)eiot

—

характеристическая

ф у н к ц и я ; тогда

граничные

условия

(11.2) и

(11.3) можно

записать

в

виде

I m j /-

dxdw

IVW j =

0

при

z =

0,

(11.8)

I m dw

0

при

z =

— h.

(11.9)

dx

Рассмотрим случай неограниченной глубины жидкости и вве­

дем

обозначение *) :

dF

dm

. .

dw

дх

dx

-f- IV(£>, О = dx

Д л я

удовлетворения условий (11.(5) должна иметь место сле­

дующая

асимптотика:

при

у—>- -f- оо

ф =

(Ay cos

vy

А г

sin

ху)

evz

= В + е х г ~ ^ У ,

(11.15)

при

г/

— оо

ф =

(By cos vy +

В2

sin vy) evz = #._ev z +'v v.

Условия

(11.15) будут выполнены,

если

Al = jA2 =

B+,

By =

- j B t =

B_,

(11.16)

поэтому,

заменяя в (11.14)

i

на j и i

на —j,

получим

выражения

для В±

F

(I)

eiv-dl

I .

1=3

(11.17)

\

F

(|)

ei v £ dg

В+

= ~

F (1)

eivldl

с+с

(11.18)

j ^(s)e i v "rfg|

С4-С

причем обход по

контуру

С -f- 6'

совершается против часовой

стрелки.

вую и левую стороны:

1

+ \A^)

(с =

(11.19)

Ncp=^-pgc(\A+\*

Учитывая, что А± = — / — В + ,

получим

• 8

Nep=^-pa(\B+f

+

\B

(11.20)

§ 11

О Б Щ И Е

У Р А В Н Е Н И Я

99

В-

vydy,

(11.21)

где ср_ — значение

—а

функции

ф на

отрезке

2а с нижней стороны.

Д л я

вычисления

амплитуд

возьмем в

качестве приближения

значение ф__ при v =

оо и рассмотрим вначале вертикальные коле­

бания .

Тогда

= v, [ф_Ь=оо =

v У а2

— у2

при

z =

0, j у | <

а.

Подставим эти выражения в (11.21) и воспользуемся

интеграль ­

ным представлением ^функций

Бесселя:

(t/2)n

+1

1_

2

В результате получим

2 sin г

л

А'

nJx

(t)

v

(t = va).

(11.22)

А±=

—

~

t

В соответствии с этим энергия, затрачиваемая на образование

волн, определяется

выражением

Nop =

1

sin t

(11.23)

-у- РОЪ'

t

K3Zveiat

и средняя

работа за период колебаний равна

- у Л ^ v\2

=

= iVC p. Следовательно,

для

коэффициента

демпфирования Х33

бу­

дем

иметь

sin t

^зз =

Р°Ь2

h

(t)

(11.24)

t

Аналогичным

путем

можно найти

приближенные

выражения

5ф

г

.

шаа Ч2

У V

Подставив

эти

в ы р а ж е н и я

в (11.21),

получим

А±

=

±

d

2 sin t

+

4 - - M O CO,

(11.25)

ja2