книги из ГПНТБ / Слабкий Л.И. Методы и приборы предельных измерений в экспериментальной физике

Получим

t —/о "I" t\ —tü у ч _-|- /о --= t$ V VI '+V vp

В этом случае величина öv/v = (Sv/v)mln будет равна

/ бѵ \ ___________ I___________

l~jraln = (У У - У У ) У ^ '

Если погрешность измерения задана заранее, то необходимое время измерения равно

Рассмотрим теперь доверительные границы и критерий значи­ мости для распределения Пуассона.

Пусть имеется выборка объема п, для которой число интересую­ щих нас событий равно х 0 (п). Тогда для всей генеральной совокуп­ ности испытания при п-э-оо можно написать

где £ — генеральное среднее для всей совокупности испытаний. Величины I (х0) и 1 (х0) могут быть найдены по формулам:

Примером использования соотношения (1.92) является следую­ щая задача.

Пусть имеется счетчик фотонов, с помощью которого фиксиру­ ются импульсы от космических лучей, причем число импульсов в единицу времени незначительно. Если при работе счетчика в тече­ ние времени t 0 им было отмечено N 0 (t0) импульсов, то с помощью формулы (1.82) можно оценить, какое в среднем число импульсов.

41

было бы нм зарегистрировано за такой же промежуток времени, если полное время наблюдения оо (при условии, что средняя интен­ сивность излучения и эффективность счетчика не зависят от вре­ мени).

Полагая, например, t 0 — 1 мин, N a (t n) = 3, находим / = 2(3 + 1) = 8.

Для достоверности результата, равной 0,99 при / = 8, имеем

Х і - 0 , 9 9 = 2 0 , 1 .

Таким образом, верхняя граница для £ равна:

¥ =0,5xf-o,99 = Ю,05.

Можно сказать, следовательно, что при весьма большом времени измерения (f-мэо) в течение произвольно выбранного интервала дли­ тельностью /0 только 1% из фактического результата может превы­

шать предсказанное значение I = 10,05.

Если бы в течение того же времени измерения t 0 счетчик не за­

Перейдем к критерию сравнения данного распределения с рас­ пределением Пуассона.

Как было отмечено выше, для распределения Пуассона генераль­ ное среднее значение £ равно дисперсии о2. Поэтому путем сравне­ ния оценок для £ и а2, найденных по данной выборке {х;}, можно судить о том, принадлежит ли данная выборка к генеральной сово­ купности, распределенной по закону Пуассона.

то с достоверностью (1 — Р) можно считать, что данная выборка не относится к генеральной совокупности, распределенной по закону Пуассона.

42

Приведем пример применения соотношения (1.94). При регистра­ ции числа 7-квантов сцннтилляционным счетчиком результаты из­ мерений для различных энергий Дг оказались равными:

=(x— EiPi)2= Q,U7.

£=1 Следовательно, мы имеем

4 -= 0 ,3 5 4 .

емся тем обстоятельством, что при достаточно больших п величина

то это означает, что наша гипотеза должна быть принята, т. е. рас­ пределение, к которому относится выборка, является распределе­ нием Пуассона.

43

Г л а в а 2

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

§ 1. Принцип максимума правдоподобия. Метод наименьших квадратов

Рассматриваемый ниже принцип был впервые сформулирован Р. Фишером [12].

Данный принцип позволяет находить оценки для неизвестных параметров распределения (в частности, \ и а2), причем данные оцен­ ки обладают следующими весьма важными свойствами:

1. Оценки состоятельны, т. е. оценка а неизвестного параметра а стремится к а при увеличении числа испытаний:

2.Оценки асимптотически нормальны, т. е. разброс оценки а относительно а подчиняется нормальному распределению для п—>оо.

3.Оценки асимптотически эффективны, т. е. при любом другом

способе обработки данных всегда имеет место больший разброс:

cr2 = D (a ) < D * (а) = а * 2,

где D* — дисперсия для любых других способов обработки.

4. Оценки достаточны, т. е. они используют максимум инфор­ мации, содержащейся в обрабатываемых данных эксперимента. Принцип максимума правдоподобия формулируется следующим об­ разом.

Метод обработки результатов, который дает наибольшую (мак­ симальную) вероятность получения при измерениях фактически уже полученных данных, является наилучшим.

Если р (у, a) dy — вероятность определенного значения не­ прерывной случайной величины у с неизвестным параметром а, то

Заменяя величину а на ее оценку а таким образом, чтобы функ­ ция L имела максимум, можно написать дЫда = 0. Это — условие максимума функции L.

Используем в качестве функции L функцию нормального рас­ пределения

44

Вместо соотношения (dlda)L можно взять уравнение

функции правдоподобия при независимости вероятностей pt от па­ раметра а приводит к методу наименьших квадратов для отклоне­ ния чисел Х[ от их средних значений. Коэффициенты заданного аргіогі аналитического полинома, который соответствует наилуч­ шему сглаживанию экспериментальных точек при условии их слу­ чайного разброса и нормального распределения величин xt отно­ сительно \ (z;), могут быть полностью определены с помощью спо­ соба наименьших квадратов.

Будем предполагать, таким образом, что общий вид функцио­ нальной зависимости известен, т. е. можно заранее установить, должна ли данная функция быть линейной, квадратичной, показа­ тельной и т. д.

В общем случае задача решается следующим образом.

Если ошибки измерений подчиняются нормальному закону рас­ пределения

при ох = а 2 = ... = ак = er, где у = ср (х) — «истинная» функ­ циональная зависимость, то на основе выборки у ъ г/2,..., ук можно

45

— А ехр [ — 2^ö У] [Уі —Ф (х;)]2| = max, (1.103)

'1=1

получим п уравнении, позволяющих определить /г неизвестных па­ раметров а, b, с,...:

2 [^ г- ф ( х г; а, Ь, с, . . ,)]2 (^ - j = 0,

(1.108)

2 [Уі — ф(хг; а, Ь, с, - - -)]3 (§F ). = 0,

Рассмотрим два случая — линейной и квадратичной зависимости функции.

§ 2. Случай линейной функциональной зависимости

46

47

п

5 Целесообразность подобного перенесения обусловлена тем, чтобы при исполь­ зовании формул (1.112)— (1.118) не вычислять разности близких чисел. Вели­

чины х0 и у 0 выбираются близкими к математическим ожиданиям /и* и ту -

48

Находим моменты:

D'X = 6869— (ml')2= 6 8 6 9 - (164,4 - 150)2 = 6662;

Kly = o l . , [x', y'] - ml-tny = 842 - (164,4 — 150) (21,1 —20) ~ 826. Искомое уравнение будет у — 0,124 (х— 164,4) + 21,1.

§ 3. Случай квадратичной функциональной зависимости

Определение коэффициентов а, b и с для функции вида у = ахг + + Ьх + с = ср по выборке {х, у) производится следующим образом:

(1.119)

49