книги из ГПНТБ / Слабкий Л.И. Методы и приборы предельных измерений в экспериментальной физике

приближенного критерия Бартлетта, как и следовало ожидать, при­

водит к необходимости принятия гипотезы о равенстве а 2 = а 2 =

О

= . . . = Оп.

§ 6. «^-Распределение и критерий Фишера

При проверке гипотезы а 2 = сг| = . . . = сг2 был использован приближенный критерий Бартлетта.

Как показал Р. Фишер, существует точный критерий (о2-крите- рий) проверки гипотезы равенства дисперсий для случая сравнения двух серий измерений.

имеющих з2-распределение с параметрами (о2, Д) и (а2, /,), можно написать

Для выяснения, являются ли оценки (1,54) и (1.55) существенно различными или обе они принадлежат к одной и той же генеральной совокупности с общей дисперсией о2 = о2, надо составить отношение

О

= * 2 ( / і . h ) .

31

где s®— большая из полученных оценок дисперсии; s® — меньшая из них.

Если окажется, что

2

(здесь и®— верхняя граница значимости (квантиль) для дисперси­ онного отношения), то можно сказать, что совпадение of и а- ма­

ловероятно. Если же данное отношение окажется меньше значения ѵ2 для выбранного уровня значимости Р (например, для Р — 0,01),

то это означает, что выборки х',, х'2, . . ., х'п и х", xf, . . ., х при­

надлежат к одной общей совокупности, либо к двум нормальным общим совокупностям с одной и той же дисперсией о2.

Существенно отметить, что данный критерий может быть исполь­ зован даже в том случае, если число измерений в серии весьма мало, например, всего 5—7 измерений.

В том случае, если отношение sf/s2 Лежит в пределах от и® до т. е.

весов с электронной системой регистрации при записи на самопи­ сец (см. гл. 1 в разд. 4).

Прикладывая к весам импульс силы FAt, получим колебание коромысла, амплитуда которого пропорциональна FAt. Так как каретка самопишущего прибора обладает некоторым трением покоя (сухим трением), то ввиду наличия зоны застоя средние значения

амплитуд х;, цугов колебаний будут отличаться. Кроме того, в та­ кой системе в силу «аппаратурных шумов» отдельные амплитуды в каждом цуге также будут различны.

Возникает вопрос: нельзя ли установить, что дает большую ошиб­ ку — аппаратурный шум (разброс) или сухое трение?

32

sf = 10 мм2, s~ = 41,8 мм2, будем иметь, используя критерий Фи­ шера,

щественно различные дисперсии, и, во-вторых, что разброс s2 опре­

деляет основную погрешность измерений.

Рассмотрим теперь еще один случай применения критерия Фи­ шера.

Пусть имеется набор из п случайных величин xit полученных в результате измерения некоторой величины X, причем одна или не­ сколько точек хі; имеют существенно больший разброс, чем все остальные точки.

Для определения, являются ли такие отклонения случайными, т. е. принадлежат ли «подозрительные» точки к общей для всех остальных точек выборки генеральной совокупности, необходимо составить отношение s2/s2, где s2 и s2 — оценки дисперсии для л

и /г— 1 случайных величин, причем s? > s\. Отклонение «подозри­ тельной» точки хк будет случайным, если s2/s2 < ѵ2.

s\ls2> V 2, то такое отклонение значимо, т. е. точка х к не принадле­

жит к данной совокупности и ее следует выбросить. Аналогичная операция проделывается для всех остальных точек в отдельности.

Рассмотрим другой пример.

При измерении напряжения цифровым вольтметром были полу­ чены величины, представленные в табл. 3.

9

* Оценка дисперсии s2 получена при отбрасывании числа 18 из серии измерений.

Отношение s2/s2равно 3,48, в то время как v2 (Д, f 2) = на0,05 (7; 6)= = 4,2. Таким образом, s2/s2< ѵ2 и число 18 не следует отбрасывать.

Помимо рассмотренного критерия Фишера для решения вопроса о том, является ли одно или несколько «подозрительных» измерений принадлежащим к общей совокупности {xj с генеральным средним £ или не является, могут быть использованы следующие статисти­ ческие критерии:

1) Для случая одного резко выделяющегося наблюдения грани­ цы значимости хМр для совокупности {х,,} при известных заранее

Для случая, когда а2 известна, а £ — неизвестна, доверительные

на практике), то в этом случае для определения доверительных гра­ ниц Х(„)р можно воспользоваться формулой

оценка s2 для er2 была заранее известна из других (например, более

ранних) измерений.

Если же величина s2 также неизвестна, то доверительные грани­

где gp-квантиль дается таблицей в [20].

2) Для случая двух резко выделяющихся в каждую сторону на­ блюдений, при известных а2 и оценке s2, значимость результата

может быть установлена на основе критерия

где V2 — квантиль, ѵг — распределения.

Преобразуя (1.66), получим

І = < * ( / х . / , ) . st

34

f

где /,— число степеней свободы для выборки с оценкой s2; f2— число степеней свободы для данной рассматриваемой выборки.

Критерий (1.66) сводится, таким образом, к рассмотренному вы­ ше критерию Фишера.

§ 7. ^-Распределение и критерий значимости Стьюдента. Мощность критерия

В большинстве физических измерений мы всегда имеем дело с некоторой выборкой значений хІУ х 2, ■■., хп, «взятых наудачу» из предполагаемой генеральной совокупности {xj с дисперсией а2 и генеральным средним |, к которой принадлежат наблюденные зна­ чения xlt х 2, . . ., хп.

При этом, как правило, нам не известны ни а2, ни |. Собственно говоря, задача заключается именно в нахождении величины |, точ­ нее, границ ее возможного отклонения. Предполагается, что зара­ нее нам не известно, является ли распределение (х£) нормальным или нет. Распределение Стьюдента (Госсета) применимо даже в том случае, если выборка взята из общей совокупности, для которой распределение может несколько отличаться от нормального.

Это — наиболее часто употребляемое в практике распределение,

Т а б л и ц а 4

П р и м е ч а н и е : *. выражено в долях интерференционной полосы; а* = 0,230, s = = 2,03. ІО"2-

Напомним, что при том же значении f «-критерий значимости дает

X — 1,96 у ш С Е С Х + 1 ,9 в ^ = ,

т. е. если бы величина а была нам известна заранее, то границы для

£ _Е

где X = -—т=- ■I и £ 0 — две гипотезы, которые необходимо разли- s/1/n

чить. Для п > 10 функция мощности ^-критерия практически не

36

отличается от функции мощности для «-критерия, для которого, как известно, при 1 — Р = 0,95 можно написать

Отклонение (или неотклонение) величины х 1 — х 2 от нуля может служить оценкой значимости данного предполагаемого расхожде­ ния (или совпадения).

Оценку s2 дисперсии о2 = о2 (хх — х 2) можно получить, учи­ тывая, что оценки S2 и s2 имеют «веса», равные соответственно /д =

= « 1 — 1 И /2 = п 2 — 1.

одной и той же генеральной совокупности с генеральным средним а2. Это можно установить, применяя дисперсионное отношение Фишера.

37

чимой, т. е. хг и л'3не относятся к одной общей совокупности с одним генеральным средним

§ 8. Распределение Пуассона и его применения

Можно показать, используя, например, локальную теорему Муавра — Лапласа, что нормальное распределение Гаусса

по сравнению с £. Однако в целом ряде задач бывает необходимо учи­ тывать значительные отклонения от среднего. Так, например, в случае броуновского движения при подсчете числа частиц в малом объеме 6У, видимом в поле зрения микроскопа, флуктуации числа частиц могут быть велики, т. е. отклонения от среднего являются значительными. В этом случае необходимо использовать не рас­ пределение Гаусса, а распределение Пуассона.

Рис. 6. Распределение Пуассона

Рт

Число событий, т

Другим примером применения распределения Пуассона может служить предельный случай независимых испытаний, проводимых сериями, причем і-я серия состоит из і независимых испытаний.

Распределение случайной величины х, определяемое выражением

называется распределением Пауссона. Величина рт есть вероятность появления т раз рассматриваемого события в серии с п оо

38

числом испытаний, если вероятность рп данного события для всех, испытаний данной серии одинакова, но с увеличением а стремится к нулю, причем произведение

Данное определение можно сформулировать и несколько иначе.

Пусть вероятность появления некоторого события в интервале (пространства, времени ит. д.) длиной Ах пропорциональна длине интервала Ах, т. е. рп = рДли Тогда вероятность появления т независимых событий в интервале х есть

причем здесь Я = рх4. Для распределения Пуассона среднее зна­

чение т = X = о- = Я. Данное распределение, в отличие от нормального распределения Гаусса, является несимметричным (см. рис. 6). Кривые распределения ртимеют максимум вблизи сред­

него значения т = Я, где они могут быть приближенію аппроксгг . мированы симметричным нормальным распределением Гаусса. Осо­ бенно широкое применение распределение Пуассона имеет в ядерной физике. Проиллюстрируем это несколькими примерами.

Пусть измеряется интенсивность излучения какого-либо источ­ ника (радиоактивного вещества, космических лучей и т. д.).

При многократном повторении числа замеров импульсов счет­ чика среднее число т импульсов т равно

Уі nil

Поскольку для распределения Пуассона а = -j/~ и а =

то средняя ошибка при измерении т равна

Полагая здесь в = 0,01, находим, что для получения данной погреш­ ности надо зарегистрировать п-т = 104 импульсов.

Влияние фона при измерениях учитывается следующим образом.

4 Если вероятность наступления какого-либо события связана СО временем tt причем значение этой вероятности пропорционально'^, а отдельные события не­ зависимы, то формула Пуассона имеет вид

где Рт (/)—вероятность наступления т событий за время і\ Я — вероятность появления одного события в единицу времени (среднее число событий в единицу времени).

39

Число импульсов, регистрируемых счетчиком за время t, с уче­ том фона, обозначим через N lt причем

Поскольку, как было показано выше, средняя ошибка при из­ мерении числа импульсов N равна -j/дг, то флуктуации суммарного

отсчета и фона в единицу времени равны соответственно

Здесь ѵ0 и ѵх — ошибки замеров фона и суммарного сигнала.

Минимальное число импульсов, которое необходимо зарегист­ рировать для получения заранее выбранной точности, может быть найдено следующим образом: если полезный сигнал в q раз больше среднего фона N „, то для выполнения отношения 6ѵ/6ѵ0 = q не­ обходимо зарегистрировать (q У 1)N 0 импульсов. При этом наи­ более вероятная ошибка, определяемая как 0,67, имеет такое же значение, как и ошибка замера фона 8ѵ0, умноженная на q.

Можно написать:

где t — полное время, в течение которого измеряется фон и полез­ ный сигнал.

Для того, чтобы величина бѵ/ѵ была минимальной (при заданном общем времени измерения t), необходимо, чтобы было выполнено условие

УѴ<о + Ѵ У > і) Vl — Vp

Дифференцируя, находим соотношение между tt и t0, при котором величина бѵ/ѵ минимальна:

к к___ ^ к Уѵ7 ~ У Ѵ ~ 1/ѵГ '

Выразив t-± через t 0 по формуле

tx - to Y ^ ,

40