книги из ГПНТБ / Слабкий Л.И. Методы и приборы предельных измерений в экспериментальной физике

Если принятая нами оценка для £ является правильной, то она должна лежать в пределах

с достоверностью 0,95 или с вероятной погрешностью 0,05.

Если, таким образом, данные неравенства выполняются, то мож­

но сказать, что случайная величина х принадлежит к такой гене­ ральной совокупности < Х > , для которой генеральное среднее есть £. Иначе говоря', при увеличении числа измерений (я-ѵоо) величина х сходится к генеральному среднему

В качестве примера рассмотрим измерение мощности W, выде­ ляемой на сопротивлении при токе / 0 и напряжении на сопротив­

Прогнозирование эксперимента сводится в данном случае к то­ му, чтобы указать, в каких пределах должно лежать значение х, которое будет получено при измерениях.

Согласно формуле (В. 1), величина о может быть найдена по тео­

Соотношение (1. 23) показывает, что с достоверностью 0,95 най­ денное из опыта значение х не должно выходить за пределы указан­ ного интервала.

Итак, прогнозирование результатов измерений, согласно кото­ рому в 95 случаев из 100 должно выполняться (1. 26), проведено на­ ми для случая всего девяти измерений.

21

Если найденная в результате измерений величина х не удовлет­ воряет (1. 26), т. е. если мы вышли за пределы указанного довери­

тельного интервала, то это означает, что число х = Ц7пзМ 'значимо, т. е. с достоверностью 0,95 средняя мощность не равна ІО-20 Вт. В рассмотренном примере число 0,05 есть ошибка 1-го рода.

Величина коэффициента в (1. 26) (в нашем случае 1,96) зависит от выбранной заранее степени достоверности (мы приняли ее рав­ ной 0,95) и может быть найдена из таблиц (интеграл Ф (х)). Так, например, для значений вероятностей 0,99 и 0,999 будем иметь

“£

Отметим, что величина и — '^~ = : распределена нормально со

а/ у п

средним значением ё = 0 и а = 1. «-Критерий значимости позволяет установить различие между случайными ошибками того или иного метода измерений и его систематическими ошибками.

В отличие от случайных ошибок, обусловленных большим чи­ слом не поддающихся учету факторов, ошибка от которых распре­ делена нормально со средним ёо — 0 и данным о, систематиче­ ские ошибки бывают обусловлены лишь незначительным числом фак­ торов и действуют, как правило, в какую-то одну сторону, «смещая» распределение на величину 6 = Ё — t„. Необходимо отметить так­ же, что применение «-критерия значимости возможно, если зара­ нее известно стандартное отклонение о.

Рассмотренный выше «-критерий значимости дает возможность определить, при заранее выбранном нами уровне значимости а (а — малое число, равное, например, 0,05), ту критическую область

возможных значений х или с, для которой вероятность неприня­ тия первоначальной гипотезы (если в действительности она спра­ ведлива) равнаа. Таким образом, данный критерий приводит к оши­ бочному решению об отказе от заведомо верной гипотезы (т. е., что £ = Іо) с вероятностью 0,05, т. е. примерно в 5 случаях из 100. Ошибка, связанная с непринятием заведомо правильной гипотезы, есть ошибка 1-го рода, а вероятность такой ошибки есть а. Наряду с ошибкой 1-го рода обычно вводят понятие ошибки 2-го рода ß, которая равна вероятности ошибочного принятия заведомо невер­ ной гипотезы.

22

В качестве примера рассмотрим эксперимент со взвешиванием тела массы т = 10 г при механической добротности измерительной системы Q — ІО2, со 0 = 10 с-1, Т — 300° К и А/ = 1 гц. Допус­ тим, что необходимо определить, имеется ли воздействие малой силы F на измерительную систему.

Примем число проведенных измерений равным 9 и среднее зна­

Имея данные значения X и ст, можно поставить вопрос: существует ли предполагаемый эффект изменения веса или не существует? Иначе говоря, необходимо сделать выбор между двумя возможными гипотезами: 1) эффект рагвен нулю и 2) эффект не равен нулю.

Как мы уже знаем, ответ на этот вопрос можно получить по «-критерию значимости, построив соответствующие доверительные

границы для X. Однако насколько можно доверять данному крите­ рию? Можно ли, используя его, допустить ошибку и каков'а вероят­ ность такой ошибки?

Пусть заведомо известно, что эффекта нет, т. е. генеральное сред­ нее Іо = 0. Вероятность принятия ложной гипотезы ( | 0 =^0)

есть ß = 1 — л (І) = 1 — л (х) — 1 — л (А). В рассматриваемом

случае А = —^ = = 3,5 и ß = 0,062.

Таким образом, вероятность ошибиться (приняв вместо правиль­ ной неверную гипотезу) при применении «-критерия в данном слу­ чае очень мала — всего 6,2%. Чем больше А, т. е. чем сильнее раз­ личаются «правильная» и «неправильная» гипотезы, тем более донтоверным является «-критерий значимости, т. е. тем меньше стасовится вероятность совершения ошибки принятия заведомо лож­ ной гипотезы.

где Up — квантиль, можно находить доверительные границы для X. Квантиль Up для нормированного нормального распределения

— 00

24

тегральной функции распределения Ф (и). Квантиль ир изменяется

где п — число измерении.

Перейдем теперь к случаю, когда величина о2 неизвестна. Параметр ст2 может быть найден с помощью оценочной величины

Данные оценки для а2 являются наилучшими. При /г-»- оо s2 s2,

т.е. при большом числе измерений обе эти оценки совпадают. Случайные величины (х,- — |) распределены нормально и имеют '

25

Наряду с величиной х2можно ввести в рассмотрение величину

которая может быть преобразована таким образом, что для нее функ­ ция распределения будет иметь тот нее вид, что и для %2»но при этом

параметром будет (п— 1) вместо числа п для %2.

Отметим, что функция распределения для генеральной сово­ купности (х2) зависит только от числа п и не зависит, в противопо-

p{xzj

Рис. 5. Плотность вероятности Р(%2) при различных значе­ ниях п

ложность множеству {х}, от величины с. Иначе говоря, если парамет­ рами распределения для {*} являются £ и а2, т. е. если

то

{X2}->-(«)•

График р (%2) приведен на рис. 5.

Для функции X2 среднее значение £ равно числу /г*, т. е.

26

=3,325 и xl, = 16,919, т. е. доверительный интервал стал уже. Используя соотношения (1.37) и (1.40), можно написать

Поскольку обычно величина £, с помощью которой можно найти s2, неизвестна, то вместо s2 можно использовать оценку

* = 7Г±12 (* -*)'■ 1=1

Отличие величины s2 от s2 нетрудно уяснить, преобразуя s2 следую­ щим образом:

поскольку в силу независимости величин (х; — х)

Из (1.43) следует, в частности, что если х и t мало отличается

Отметим еще одно важное обстоятельство. Распределение %2 не яв­ ляется нормальным, но сходится к нему весьма медленно при /і оо.

Как показал Фишер, для случая п > 30 случайная величина -j/2%2 распределена приближенно нормально и имеет параметры

27

В частном случае, когда Р 2 и соответственно рзрны 0,025 и 0,975, то для разности двух квантилей можно написать:

Таким образом, с вероятностью 0,95 выполняется приближенное соотношение

§ 5. Критерий равенства теоретических дисперсий (критерий Бартлетта)

Часто возникает задача установить, обладают ли различные се­ рии измерений некоторой[величиных одной и той же дисперсией о2. Ответ на этот вопрос позволяет судить о том, были ли допущены систематические ошибки в каких-либо і из /е серий измерений, так как иногда приходится сравнивать серии измерений, проведенных в разное время, в разных условиях, а иногда и различными авто­ рами.

Поскольку теоретическое значение дисперсии для подобного рода измерений должно быть постоянным (например, дисперсия а2 = kTAf для случая измерения шумовой мощности), то естествен­

но, что найденные в каждой серии измерений оценки для af, сг|, ..., а* должны иметь своим генеральным средним истинное значение а 2, равное теоретическому.

Критерий, позволяющий судить о том, имеют ли все оценки сво­ им генеральным средним о2, т. е. позволяющий проверить гипотезу

Gl = 02 = .. . = ак = а2,

был установлен Бартлеттом. Пусть в результате эксперимента име­ ются k серий различных измерений какой-либо величины, каждое из которых состоит из п = /; + 1 замеров, причем для каждой се­

рии известна величина sj — [2 (лу — х)2]/2/;. Введем обозначения:

*і

Если о? = a I = . . . —а, то случайная' величина s2 имеет парамет­ рами распределения величины / и о2, т. е.

а2 = ^ { / , а2}.

28

Как показал Бартлетт, оценка для распределения %2 для данного случая может быть записана в виде

(1.52)

i=i

где

= ok = а2 может быть принята.

Другими словами, для выяснения того, имеют ли все серии про­ веденных измерений одну и ту же дисперсию а2 (или в предположе­ нии, что ст2 должна быть одной и той же для разных измерений, т. е. что в процессе измерений не допущено каких-то систематических ошибок для некоторых из k серий), необходимо:

1.Вычислить X2 по формуле (1.52).

2.Выбрать заданный (например, 5%-ный) уровень значимости для границы между случайным и существенным расхождением срав­ ниваемых величин s?.

3. Если для найденного значения х2 = %1 величина Р (хд) при

то эта гипотеза отвергается, т. е. различие между найденными из опыта оценками s2, s2 и s2 не является случайным, т. е. данные ве­

личины, по крайней мере, с вероятностью 0,95 не могут быть объеди­ нены.

Другими словами, если Хд — «наблюденное» значение (т. е. зна­ чение, вычисленное по формуле (1.52)), то при 5%-ном уровне зна­ чимости между случайным и существенным расхождением наблю­ денное значение Хд считается не случайным, если Р (Хд) < 0,05

Если же Р (Хд) > 0,05, то гипотезу о равенстве можно, с вероят­ ностью 0,95, считать согласующейся с наблюдениями.

Рассмотрим три серии замеров веса образца (k — 3, /* = k — 1 =

29

/

— 2) при числах а замеров в каждой серии соответственно равных 16, 13 и 21:

i = l

В соответствии с таблицей для ^-распределения при числе степе­ ней свободы /* = V = k — 1 = 2 и Р (х2) = 0,05 находим %2 = = 5,99. Поскольку XQ = 2,12 < 5,99, то с вероятностью 0,95 гипо­

тезу об объединении этих серий измерений можно принять. Предпо­ ложим теперь, что в результате эксперимента получены сколь угодно близкие значения s-, s|, . . ., s2 и заранее известно, что

°1 = СТ2 = °1-

Для этого случая, как нетрудно видеть, формула для %о Дает

30