книги из ГПНТБ / Слабкий Л.И. Методы и приборы предельных измерений в экспериментальной физике

или атомных ядер, которые больше измеряемых смещений, то здесь имеется в виду усреднение по большому числу атомов (для всех мак­ ротел), т. е. рассматриваются флуктуационные отклонения от не­ которой средней (мнимой) плоскости, определяемой центрами масс атомов вблизи границы макроскопической массы.

Таким образом, теоретически можно измерять смещения, на много порядков меньшие размеров атомов, пользуясь исключительно «классическими» приборами и методами.

Поскольку предельные измерения всегда требуют оценок вероят­ ностных ошибок измеряемых параметров с определенной степенью достоверности наблюдений, то в данной монографии значительное внимание и место уделяется применению методов математической статистики в физических измерениях. Это — прогнозирование экс­ периментов и обработка результатов наблюдений, использование различных статистических критериев для оценки уровня досто­ верности полученных результатов и т. д. Этим вопросам посвящен первый раздел монографии.

Во втором разделе излагается круг вопросов, связанных с флуктуационными явлениями в измерительной аппаратуре, кото­ рые определяют ее предельную чувствительность.

Третий раздел содержит описание ряда новых, сравнительно недавно открытых явлений и методов и их применение в различных областях экспериментальной физики. Сюда включены такие эффек­ ты, как, например, явление оптической накачки, туннельный эф­ фект Джозефсона в сверхпроводниках и некоторые другие явления, применение которых в физическом эксперименте является весьма перспективным. В этот же раздел включены вопросы, касающиеся получения сверхвысокого вакуума (меньшего ІО-7 мм рт. ст.), применение которого в современной физической лаборатории стало уже довольно широким.

В четвертом разделе книги рассмотрены различные методы MLTизмерений, в частности, измерения малых смещений и сил, а также дано описание одного из наиболее высокостабильных мазеров, из­ вестных в настоящее время (водородный мазер). Прогресс, достиг­ нутый на сегодняшний день в измерениях малых величин смещений

достижения приведут к возможности регистрации качественно но­ вых явлений, например гравитационных волн х, генерируемых в ла­ бораторных условиях.

Пятый раздел включает описание различных типов приборов и устройств, которые могут быть использованы при проведении предельных измерений. Сюда относятся, например, малошумящие1

1 По оценкам В. Б. Брагинского ([6], в разд. 2), гравитационный приемник дол­ жен обладать чувствительностью по измерению смещений Ах порядка 10_16—

— ІО-17 см, что является принципиально достижимым в рамках классической фи­ зики.

11

Раздел первы й

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ

РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Как было отмечено во введении, флуктуанионные шумы огра­ ничивают максимально возможную чувствительность любого физи­ ческого прибора, а следовательно, и точность физических измерений. Однако можно существенно понизить предельно разрешимые зна­ чения измеряемых величин при максимальном сужении полосы частот А/. Иными словами, затрачивая больше времени на измере­ ния, можно значительно повысил предельную чувствительность измерительных приборов.

Статистическое прогнозирование эксперимента, т. е. предвари­ тельные оценки необходимого времени на его проведение для полу­ чения заданной точности, является необходимым условием поста­ новки любого физического эксперимента.

Допустим, однако, что эксперимент уже проведен и получены ре­ зультаты его измерений (ряд цифр, непрерывная запись на лен­ те и др.). При этом возникает задача — наилучшим образом обра­ ботать всю имеющуюся информацию, не внеся в нее ничего субъек­ тивного. Это — единственный путь получения достоверных данных об измеряемом объекте и его свойствах. Таким методом, который

1 Более подробное излржение статистических методов обработки результатов из­ мерений можно найти в литературе [1—30]. Некоторые статистические таб­ лицы приведены в Приложении I.

13

Г л а в а 1

СТАТИСТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ РЕЗУЛЬТАТА. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

§1. Основные понятия

иопределения математической статистики

При проведении предельных измерений каждый отсчет по из­ мерительному прибору — индикатору, вообще говоря, отличается от предыдущего вследствие наличия флуктуаций. При этом в боль­ шинстве случаев (при отсутствии периодических помех и т. д.) каждое регистрируемое показание прибора можно считать случай­ ной величиной. Указать заранее, какое значение примет такая ве­ личина, невозможно.

Пусть имеется случайная величина х, которая удовлетворяет соотношению — о о < х < + оо. Эта величина может быть оха­

называемое масштабной величиной; р (х) dx есть элемент вероят­ ности, т. е. вероятность того, что случайная величина х заключена

винтервале [х, х + dx]. Очевидно, что

со

и J р (х) dx = 1, т. е. Р (+ оо) = 1.

— со

По определению, р (х) и Р (х) являются положительными, т. е.

р (х), Р (х) I > 0.

Случайная величина х распределена нормально, если ее функция ' распределения Р (х) имеет вид (рис. 1)

(нормальное распределение Гаусса), т. е. если плотность вероят­ ности равна

(График функции р (х) приведен на рис. 2.)

14

Рис. 1. Интегральная функция распределения Р(х)

Рис. 2. Плотность вероятности р (х) для различных значений п (числа незави­

симых испытаний) и о (дисперсии)

— оо

Величина с называется стандартом или стандартным отклонением. Среднее значение (или математическое ожидание) случайной ве­

личины X может быть записано в виде

— со

Существенно отметить, что М (х) есть просто число, а не функция величины X.

Определим понятие квантили.

Пусть имеется функция р (х) и соответствующая ей Р {хр) =

=Р ( х < х р).

Величина хр, ниже которой лежат все величины х с вероятностью

Ріхр), называется квантилью. Квантиль хр распределения Р (х)

Если плотность функции распределения является симметрич­ ной (см. рис. 2), то можно написать соотношение

1° (М Хр = Ло,дб) = Р (Хр).

В этом случае имеются два порога, т. е. две квантили: хр и —хр.

15

В любом физическом эксперименте всегда имеет место конечная выборка значений результатов измерений — это может быть либо отрезок записи на ленте самописца, либо набор чисел х л,х2,хя, .. .,хп. Необходимо по этим данным найти величины £ и а2 и указать границы их возможных отклонений с некоторой степенью ДИ л ■• верности. Это означает, что при многократном повторении о _ .

полученный результат будет воспроизводиться с вероятностыбр пример, 0,95. н.

Интервал, в пределах которого с данной степенью достоверй-г^гй лежит величина £, называется доверительным интервалом.

Наряду с дисперсией а2 {х}, определенной как

о2{х} = °f ( x - l ) 2p(x)dx,

можно ввести «моменты» более высокого порядка, например,

a2{y}=ßV {*},

т. е. стандарт ст не зависит от среднего значения и определяется толь­ ко выбором масштаба.

Для среднего значения величины х + у (математического ожи­ дания) М {х + у) справедливо соотношение

М(х + у) = М(х) + М(у).

Если заранее неизвестна функция распределения Р (х), то для оценок величин £ и а можно воспользоваться неравенством Че­ бышева':

Таким образом, из данного неравенства следует, что для любого положительного числа сс вероятность отклонения х от М {х) на ве­ личину, не меньшую, чем а, ограничена величиной а2/а 2. Как при­ мер оценим_вероятноетъ того, что случайная величина х отклонит­ ся от своего-среднего значения £ на величину, большую, чем За.

16

Для случая нормального распределения эта вероятность сущест­ венно меньше и в нашем примере равна примерно 0,003. На практи­ ке обычно случайные величины крайне редко выходят за пределы £ ± За и данный участок обычно принимают за границу практи­ чески возможных значений величины х (правило «трех сигма»).

Перейдем теперь к рассмотрению закона больших чисел.

§ 2. Закон больших чисел

Одна из форм закона больших чисел устанавливает связь между средним арифметическим некоторого набора случайных величин и его математическим ожиданием. Иначе говоря, при увеличении числа опытов среднее арифметическое для наблюдаемых значений будет приближаться к ее математическому ожиданию. Так, например, при увеличении числа измерений флуктуирующего напряжения в некоторой цепи средние значения для отдельных групп измерений при увеличении числа замеров в группе будут все менее и менее от­ личаться друг от друга, в пределе стремясь к постоянному значению, равному их математическому ожиданию М — £.

Если х г, . . . , хп — случайные величины, то х = — У! x t —■

І = I

таюке случайная величина,-причем если х имеет параметры £ и а2, то X будет иметь соответственно параметры £ и а2/«. Это утверждение может быть записано в виде:

при X ->-(£; а2)

Для дисперсии а2 выполняется следующее соотношение:

зависит от величины а2, то чем больше число измерений п, тем уже кривая.

Таким образом, с увеличением числа измерений функция р (х)

СТреМ ИТСЯ К 6-ф у н К Ц И И , м а к с и м у м КОТОРОЙ г п о т в р т ^ т в у с т м я тр м я -

тическому ожиданию набора случайных величи і х,. Г*с. публичная

Э КЗЕМ П ЛЯ Р

Неравенство Чебышева для данного случая будет иметь вид

( 1.10)

т. е. среднее выборочное х сходится к генеральному среднему £ при

поо для любого заранее заданного а > 0.

Как уже отмечалось выше, неравенство Чебышева справедливо для любого (не обязательно нормального) распределения, однако ширина доверительного интервала, даваемого этим неравенством, существенно больше, чем ширина интервала для нормального рас­ пределения.

Если значение о, входящее в (1.10), неизвестно, то его прибли­ женно можно оценить по формуле

где. s2 — оценка величины а2. Причем в этом случае п должно быть больше 30. При меньших значениях п такая замена не вполне закон­ на. Доверительный интервал для величины £ задается соотношением

у п

при достоверности 1—1/а2. Чем выше заданная достоверность, тем шире получается доверительный интервал. Обычно в физических экспериментах величина достоверности принимается равной 0,95— 0,99.

Если дана система случайных независимых величин xt, причем-

при п оо будет нормальной при следующих необходимых и .до­ статочных условиях:

k \х\>х __

2 j x 4 F ni{x)-+1,

£=1 \x\< г

где т — любое положительное число.

Другими словами, при этих условиях (которые, вообще говоря, являются не слишком жесткими и, как правило, выполняются для

18

распределена нормально, т. е. по закону 2 (рис. 3)

—со

при я -> о о . Это утверждение носит название центральной пре­ дельной теоремы.

р(х)

Рис. 3. Плотность вероятности р{х); заштрихованная площадь пропорциональна значению ин­ тегральной функции распреде­ ления ф(х)

Если при проведении измерений окажется, что сумма случай­ ных величин не распределена нормально, то это может означать, что где-то в измерениях была допущена ошибка, либо был неиспра­ вен прибор.

§ 3. Критерии значимости

При проведении тех или иных различных измерений возможна ситуация, когда заранее известна величина а2. Например, при измерении падения напряжения на известном сопротивлении R при токе Iо среднеквадратическая флуктуация напряжения (At/)2, которая в данном случае является дисперсией, может быть найдена по теореме Найквиста

следующим образом. Будем предполагать, что величины;^, х2, ..., хк распределены нормально, т. е. их функция распределения равна

* п 'о

ятности Гаусса или функцией Лапласа (см. Приложение I).

19

Введем функции

20