книги из ГПНТБ / Скотников В.А. Основы теории проходимости гусеничных мелиоративных тракторов [учеб. пособие]

=--. ch j / J L

Я,

a % ( S )

=

S2 ch y/~А

Я;

Ф(5)

(Ф(5)

g*)'

5 -

0

V <P(S)

<P(S)

^ /• ' Фs-( *o5 )

L

Ф( 3 ) е5 -'

Ф ( 5 ) е 5 - ' ф ; 5 )

= lim

<P(S)

• +

•

-

<P(S)

При S - Я ) 0 ( S )

= Ф(о) =

l ; <P<S) =

ф(о>

=

1;

6 S - '

=

l .

Тогда

Пт

Ф(5) е*'

V

limt -4- П т Ф '

—

lim ср'

=

?

Я 2

I =

2a

2a

\

<P(S)

/

s-o

s~o

s^o

z

/ " 5

Так как

Ф ( 5 ) =

— - r = s h

1 /

—

z,

TO, применяя

правило

Лопи-

таля,получим

= - ch l

/

- ^

- z2 У S

П т Ф '(S)

2 1 / aS

У

а

2 ]Ла~

2а

s-*o

Таким же образом

находим

S \

н

l i m cp|S ) =

Нт

l i m

а") Н 2

Уа§

{2У

aS)'

2 К а -

•S-0

s+o

s -»о

Теперь определим

и - ^

e V ,

где S„ = - ^

Я 2

'

а

л=1

j=

*(s„)= ch y^-^s-z == ch

^ t-n„

c o s f x „ - ^ - ;

+ 52

T

=

'

;

sh 1 /

Я =

-

-=—%- ( -

sin n J =

" 2 1 / S2a

V

a

2

Я 2

v

— M.3

— — ( - l ) n + 1 .

2

Я

2

Тогда искомая

сумма

2

<P(s

2 Я 2

V ^ ( — ! ) л

+ 1

2

f

и

Л

KS„)

вид

Окончательно общее решение для оригинала будет иметь

00

a(z,t)

•= Pft

1 - 2

"

'

C 0 S

I х / .

Т 7

е Х Р

a-t

n=i

• . г2

Я 2

2 Я 2

^ ( - 1 ) л + 1

( • 9

at .

t-\

2a

> -

— e x p

— u ; Я 2

X

2a

a

n=i

v [

*n

-

X

COS \in

H

(4.10)

где

0 < t <

*K

=

и

0 < z <

Я .

t) = Ро

1 - 2

У ,

( - 1 ) /1+1

О*

exp — ц^. я2 / C 0 S f A "

I T

/1=1

(4.11)

Если в уравнении

(4.10) принять р к = 0 и знак перед

q по­

менять на обратный, то

получим уравнение, 'выражающее

закон

cr(z.t)

q • • 2» Я 2

2 Я 2 у ( - Р " - "

I

" Н *

х

. +

2а

2 а +

а

>4

V?a

)

(4.12)

Анализ

выражений

(4.10) — (4.12)

показывает,

что напря­

жения а<2 ^)

в толще

грунта зависят от величины и характера

внешних сжимающих давлений р, от продолжительности

t их

действия, от свойства грунта а,

от толщины Я

сжимаемого

слоя

и от глубины г рассматриваемого сечения грунта.

Характер изменения напряжений по глубине и во времени

можно установить построением графической зависимости

v(z,i)

от названных параметров.

Однако это возможно сделать, зная количественные значе­

ния

напряжений. Выражения

(4.10) — (4.12)

можно

численно

машине «Минск-32»

при

следующих

параметрах:

£ = - ^ — =

0;

1,25- Ю - 5 ;

2 , 5 - Ю " 5 ;

... ;

5-1Q-1 ;

Я 2

Ц„ = ( 2 л - 1 ) - | - при л =

1,

2, 3,

4,

60;

60

2

,

1 1 Я А ,

z

____ /

„

at

s, = 2 ~ j T "( ~ 1

^+ l c o s ^ i f

ехР ( - ^

я2

с

60

at

\

2 Я 2

cosu_

2

ехр

/

2

,

о ц =

>

— и*

a JU V-l

Я

\

Я 2

/

в сжимаемом слое грунта — эпюры

G(Z,t) при различных р, Н

и а (рис. 4.1—4.3). Проанализируем их.

Рассмотрим, на какую глубину

распространяются напря­

Из эпюр напряжений (рис. 4.1—4.3) видно,

например,

что

при tK = 2 5 сек напряжения распространяются на глубину 50

см,

при tK —100 сек —

на глубину

100 см

и т. д. независимо от

ха­

рактера

внешней

.нагрузки.

Эта закономерность

относит­

ся к любому значению tR

(при

прочих

равных

услови­

ях).

Отсюда

следует,

что

наибольшая глубина распро­

странения напряжений в оке-

лете грунта не зависит при

принятых условиях от харак­

тера внешней

нагрузки.

Рассмотрим

характер

распределения напряжений в

зависимости от формы эпю­

ры

нормальных

давлений.

При

воздействии

внешних

давлений по закону

p i = Po =

Q05

О/О 0,15

0.2О 025б,*г£мг-

=iconst

(прямоугольная эпю­

Рис. 4.1. Теоретические эпюры напряже­

ра)

напряжения

в

толще

ний в скелете торфа неосушенного боло­

грунта

(рис. 4.1) с

течением

та при прямоугольной эпюре нормаль­

времени

распространяются

ных давлений и при толщине торфа 60.

(оплошные линии) и 100 см (штриховые-

только

вглубь сжимаемого

линии).

массива

при

постоянном

на­

ствующих по закону P2 = qt (треугольная эпюра

с центром дав­

ления, смещенным назад

по ходу движения машины)

напряже­

ния в толще грунта (рис.

4.2) растут во времени

как по

глубине,,

так и на поверхности грунта. Причем, чем больше

продолжитель­

ность действия t внешних давлений (т. е. чем меньше

скорость,

Т а б л . 4.1.

Суммы Sj и

S,

Z, см

S T

и S,, при к

7,5-10—8

10—*

2,5.10—1

5-10—*

• 7,5-10-<

10—3

2,5-10—3

5-10—3

5-10—2

1,25-10—1

5-10—1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

. 11

12

Толщина торфа Н=50

см

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0,99

0,91

0,37

249,96

249,95

249,87

249,75

249,62

249,5

249,75

247,5

225,01

188,94

75,13

15

1

1

1

1

1

1

1

1

227,46

227,45

227,35

227,25

227,12

227

226,25

225

20

1

1

1

1

1

1

1

1

0,94

0,76

0,29

—

—

—

—

—

—

208,75

207,5

185,38

153,52

60,78

30

1

1

1

1

1

1

1

1

0,79

0,57

0,22

159,96

159,95

159,87

159,75

159,62

159,5

158,75

157,5

137,04

111,97

44,16

45

1

1

1

0,99

0,99

0,97

0,84

0,68

—

—

—

47,46

47,45

47,37

47,25

47,12

47

46,32

45,37

Толщина торфа Н=100

см

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0,99

0,9

0,37

999,85

999,8

999,5

999

998,5

998

995

990

900

755,76

300,54

30

1

1

1

I

• 1

1

1

1

0,97

0,83

0,33

909,85

909,8

909,5

909

908,5

908

905

900

810,6

675,13

.267,7

60

1

1

1

1

1

1

1

0,99

0,79

0,57

0,22

639,86

639,8

639,5

639

638,5

638

-• 635

630

548,18

447,8

176,65

75

1

1

1

1

1

1

0,99

0,98

0,99 -

0,89

0,36

437,35

437,3

437

436

436

435,5

432,5

427,5

3510,5

2941,5

1168,9

90

0,99

0,99

0,99

0,99

0,99

0,97

0,84

0,68

189,85

189,8

189,5

189

188,5

188

185,2

181,5

Толщина торфа Н=200

см

30

1

1

1

1

1

1

1

1

0,99

0,89

0,36

3909,4

3909,2

3908

3906

3904

3902

3890

3870

3510,5

2941,5

1168,9

60

1

1

1

1

, 1

1

1

1

0,97.

0,83

0,33

3639,4

3639,2

3638

3636

3634

3632

3620

3600

3242,4

2700

1071

'

90

1

1

1

1

1

1

1

1

3189,4

3189,2

3188

3186

3184

3182

3170

3150

-

120

1

1

1

1

1

1

1

0,99

!

2559,4

2559,2

2558

2556

2554

2552

. 2540

2550

165

1

1 . "

1 .

1

1

0,99

0,98

0,92

1276,9

1276,7

1275,5

1271,5

1269,5

1257,5

1238,4 '

180

1

0,99

0,99

0,99

0,99

0,97

0,84

0,68

759,4

759,2

758

756

754

752

741

726

" < = 2 i t

-

-тг«> (- •**>> ч - Т 2

V - « ж «р (- •**) •

я :

s

(

1 ) П + 1 c o s

2

J r

о

1

1

^

(рис. 4.3) так,

что с некоторого момента времени напряжение

на поверхности

становится меньше напряжений внутри массива.

_ !

1 1 ) 1

1

I

• I .

О JO

0,25

Q40 6«s/CM*

Рис. 4.2. Теоретические

эпюры

напряжений

t--75

t-50 ПТЬ-^,

т f

Г "

085

60

If -

чо

.

-Z—• <У'"

сэ

г

s

\

<о

20 f *

М25

•I

V

5:

о

Рис.

4.2. Теоретические

эпюры

напряжений

в скелете торфа при треугольной эпюре дав­

лений и смещении центра давлений вперед.

Выясним влияние

толщины

Н слоя

грунта на величину и

нились до

подстилающего

слоя, т. е. пока

О(о, о = 0 - Начиная

с момента,

когда c r ( 0 i o > 0 ,

напряжения по

глубине выравнива-

ветви

гусениц

составляет

2240—6000 мм,

скорости

движения

выше 0,1—0,25

км/ч. Эти параметры определяют продолжитель­

ность

tK воздействия

гусениц на грунт в пределах 40—100

сек

или меньше.

Если грунт характеризуется величиной а ^ 5 , то

можно

счи­

тать,

что при

Я ^ Ю О

см

и при движении

гусеничной

машины

со

скоростью

более 0,1 км/ч напряжения

в грунте

не

зависят

от

толщины сжимаемого слоя. При 100 ^ Я ^ 5 0 см и при

дви­

'к

я

h=TTi'\4r{\',«-ndz)dtCM-

(4ЛЗ)

где

Я —

толщина сжимаемого слоя грунта, см;

8

коэффициент пористости;

1)

напряжение скелета грунтовой массы,

кгс/см2;

а

коэффициент уплотнения, см2/кгс;

'к,

to

соответственно

время конца и начала действия

внешней нагрузки, сек. В данном

случае /0 = 0 и

0(z. 0) = 0.

t) = Ро

ft V ! ( — 1

) n + 1

(

9 °* \

2

Предварительно найдем:

н

я

я

( - 1 ) ,n+l

a*

Щг. t) dz =

J

p0dz — 2p0

Ил

X

0

0

0

n = l

X

cos

\i„

H

dz;

(4.14)

IS0 n - l

p0 dz =

p0H;

H m

( -

l ) n + 1

/

, ,

at

\

z

,

Я 2

H

я

exp

' _

2

^

\ Г

COS Jl„

Я

dz;

l ) n + i

,

K

H*

)}

j c o s ^ - 1 -

Я

.

z

я

Я

( - 1 >,л + 1

d z =

sin |i„

—

1

dz = р 0

Я \\-2

V .

1

l _ f 1 "

"

Я 2

й ^

Теперь определим

я

00

*<*./)<fe ) =

— \р0Н

1—2

ot

л=1

СО

= - 2 р 0 Я ^ - 1 - 4 г (*

№ ) = - 2 р 0

Я

v-l \

X

п=1

л=1

п

я2

=

2 р 0 Я а

у

^

_

(4.15)

1 +

е

^

п=1

При / к = 0

h\ =

0;

при tK

-> со

/ц =

РоНа

^ ч

т о

соответствует

смыслу и условию задачи.

1 + е

Определим

осадку

ft// грунта

для

случая

действия

внеш­

ней нагрузки p = qt,

т. е. при

Я 2 — z 2

, 2 Я 2 , \ ^ ( - 1 ) Л + 1

/

9 а М

z l

2а

n = l

Подставив

это

выражение

в уравнение

(4.13), определим

вначале

я

В =

a ( ? i

i) dz;

к,

В =

| qtdz +

\ - 2 _

(z2 -

2а

0

0

п = 1

о

о

Xexp — fx'22

tP

J

I cosix„ — dz—qtH

— q

h

о}

Я

V

V

За

2оЯ

3

Jjlt

1

^

а/

Я 2

a

I " " "

д

( В ) = , я + М 1

оо

4 _ _ ^ _ (

^ ^ )

=

от

а

/1=1

+ 2qH3

оо

1

=qH

Г "

* е

1

и

Я 1

л =1

Я 2

СО

at

= 9 Я

1 - 2

У -

Я 2

л=1

Далее найдем

'к

'к

°°

г к

J

^{B)d^qH^dt-2qHy±-^

* * [ - V \ - ± -

dt

О

0

п =

1

о

-qHtK-2qH\>

2л=1

1

/

Я 2

at

2qH

ОО

1

at

exp

^

1*1

Я 2

н=1

или

У!

2?Я

со

1

( 1 - е

-

* f L

~{B)dt

=

qHtK.

—

^л

" * ) .

dt

л=1

Окончательно получим

/ i / / =

qH

а

2 Я 2

и

1

-

е

л

н-

(4.16)

7 + Т

л =1

При

^ к = 0 имеем, что Л//=0 . Это удовлетворяет

начальному

условию

задачи.

Определим

осадку

кщ

грунта

для

случая

действия

внеш­

ней нагрузки р= рк—qt

(O^t^.pKJq).

В

этом

случае

в

толще

грунта действуют напряжения

a ( 2 i t)

в соответствии с

формулой

(4.10). Анализ формулы (4.10) показывает,

что

осадка

грунта

hui

будет

равна

алгебраической

сумме

(2hi

—hn)

осадок, по-