книги из ГПНТБ / Сельскохозяйственная районная планировка учеб. пособие

рое позволяло бы использовать все преимущества круп­ ного производства, получать максимум продукции при данных производственных ресурсах и обеспечивать ми­ нимум затрат на ее единицу. Такое сочетание отраслей

к решению этой проблемы методом оптимального про­ граммирования легко понять по небольшому примеру, в котором кратко рассматриваются постановка эконо­ мической задачи, выбор базовой математической моде­ ли и математического метода ее решения, разработка развернутой экономико-математической модели.

Для расчета оптимального сочетания отраслей взято типичное хозяйство зерново-животноводческого района черноземной зоны. Наибольший удельный вес в расте­ ниеводстве занимает производство зерна и кормовых корнеплодов; в животноводстве — разведение крупного рогатого скота и свиней. Хозяйство располагает естест­ венными кормовыми угодьями, но в ограниченном коли­ честве.

На основе детального изучения природно-экономи­ ческих условий хозяйства и перспектив его развития

В качестве исходных данных используются норма­ тивные показатели, всесторонне характеризующие все отрасли по затратам, уровню производства и распреде­ лению продукции. Основным источником перспектив­ ной нормативной информации являются технологиче­ ские карты по отдельным культурам, отраслям и т. д.

317

В нашем примере, зная перспективную урожайность зерновых — 25 ц/га и кормовых корнеплодов — 300 ц/га,

в среднем за год, без разделения по напряженным пе­ риодам.

В четвертой строке таблицы приведены нормы рас­ хода кормовых единиц на корову и на 1 ц привеса сви­ ней. От крупного рогатого скота будет получено продук­ ции в расчете на корову: молока 3000 кг, привеса скота 2 ц. Затраты кормов на производство продукции живот­ новодства рассчитаны таким образом: на 1 ц молока необходимо 1,3 ц кормовых единиц, а на 30 ц — 39 ц кормовых единиц; на 1 ц привеса скота — 8 ц кормовых единиц, а на 2 ц — 16 ц кормовых единиц. Всего в рас­ чете на корову требуется 55 ц кормовых единиц и на 1 ц привеса свиней — 9,8 ц кормовых единиц.

Развитие животноводства зависит от наличия кор­ мов, поголовья скота, его продуктивности, наличия по­ мещений и т. д. Основным источником кормов в хозяй­ стве служит полеводство, а с естественных лугов и паст­ бищ поступает 8000 ц кормовых единиц. На корм наме­

318

чено использовать 0,2 валового сбора зерновых и весь валовой сбор кормовых корнеплодов.

Если обозначить через Х\ валовой сбор зерна, а через х%— валовой сбор кормовых корнеплодов, то итог кор­ мовых ресурсов на перспективу можно записать так: 8000 + 0,26xi + 0,Зх2. Коэффициент перевода в кормовые единицы по зерну (в среднем) — 1,3, а по кормовым корнеплодам — 0,3.

Для расчета примем, что стоимость 30 ц молока бу­ дет равна 440 руб., а 2 ц мяса— 120 руб. В сумме это составит 560 руб. Стоимость 1 ц привеса свиней принята

100 руб. Средняя закупочная цена 1 ц зерна, исключая фураж, 4,44 руб. На рассчитываемый период цены оста­ ются стабильными.

Подготовив исходные данные, определяем оптималь­ ное в этих условиях сочетание посевов зерновых куль­ тур и кормовых корнеплодов (в га), крупного рогатого скота (х3— в головах) и свиней (х4— в ц привеса), с тем чтобы, используя наличные производственные ре­ сурсы, получить максимум валовой продукции в денеж­ ном выражении. Это целевая установка задачи, крите­ рий оптимизации.

На основе данных о наличии производственных ре­

Последнее выражение называют функционалом или линейной формой (целевой функцией).

Такое математическое описание основных условий экономической задачи в виде линейных уравнений и не­ равенств с выражением целевой установки линейной функцией является моделью задачи. По определению академика В. С. Немчинова, экономико-математическая модель есть концентрированное выражение общих взаи­ мосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме.

319

Условия нашей задачи могут быть записаны в более

2) X j> 0 .

Это базовая математическая модель экономической задачи по расчету оптимальной специализации совхозов и колхозов.

Для решения таких экстремальных задач, где усло­ вия и цель задачи выражены в виде линейных нера­ венств или уравнений, при наличии множества возмож­ ных (альтернативных) вариантов решения разработан ряд математических приемов или методов линейного программирования. Решение нашего примера проведем симплекс-методом, теория и практическое применение которого доступно изложены в специальной литературе. Выбор метода решения задачи обусловлен видом ее ба­ зовой математической модел«.

Основой решения экономико-математической задачи является развернутая экономико-математическая модель,

которая содержит всю информацию и в которой усло­

320

Здесь обратный знак перед коэффициентами обуслов­ лен тем, что в задаче отыскивается максимум линейной формы.

В уравнении (2.6) записано условие баланса посев­ ных площадей; уравнения (2.7) и (2.8) отражают соот­ ветственно баланс механизированного и конно-ручного труда в земледелии и животноводстве. В последнем урав­ нении (2.9) отражен баланс наличия и поступления кор­ мов и их затрат на животноводческую продукцию.

Экономический смысл дополнительных переменных заключается в том, что в некоторых случаях существует возможность получить максимум валовой продукции при неполном использовании какого-либо из производствен­ ных ресурсов. Эти переменные обозначают величину не­

ко-дни механизированного труда и т. д.

Для упрощения расчетов и их записи решение задачи симплекс-методом производится в симплексных табли­ цах по точному предписанию о выполнении в строго за­ данном порядке определенной цепи вычислений, назы­ ваемой алгоритмом. Алгоритм, который будет рассмат­ риваться, допускает сокращение в симплексных табли­ цах единичной матрицы.

Для решения задачи линейного программирования симплекс-методом необходимо знать одно из базисных решений соответствующей системы условий. Допустимое решение, где число ненулевых переменных не превосхо­ дит числа уравнений, называется базисным. При этом переменные, значения которых определяются, являются базисными, а неизвестные, заранее приравненные к ну­

образованном виде, то есть заполняем первую симп­ лексную таблицу (табл. 27).

В таблице 29 представлен первый вариант сочетания отраслей, когда производство фактически не осуществ­ ляется. Это допустимое базисное (опорное) решение за­ дачи, то есть такое решение, где все базисные перемен­ ные неотрицательны, а небазисные равны нулям. В ка­ честве базисных здесь приняты дополнительные пере­ менные хе, Хв, х7 и х$. Числовые значения небазисных пе­ ременных х и х2, Хз и Хі по определению равны нулям, а значения базисных переменных — соответствующим сво­ бодным членам. Ввиду того, что ресурсы хозяйства пока не используются, сумма валовой продукции (значение целевой функции), максимум которой должен быть най­ ден, равняется нулю (нулю равны небазисные основные переменные задачи).

Решение задачи по расчету оптимального сочетания отраслей сельскохозяйственного предприятия симплексметодом состоит в том, что первый вариант сочетания отраслей постепенно, путем упорядоченного перебора опорных планов улучшается. Если задача составлена правильно и имеет решение, то за определенное число шагов (итераций) будет получен оптимальный план (решение). При этом следует отметить, что любой на­ бор неотрицательных переменных х ь х2, ..., xs, удов­ летворяющий ограничениям (2.6) — (2.9), считается до­ пустимым решением (планом) нашей задачи. Оптималь­ ным планом называется такое допустимое решение, ко­ торое обеспечивает значение целевой функции (2.10) не меньшее, чем любое другое допустимое решение.

322

Не останавливаясь на подробностях теории и техни­ ки расчета, отметим, что улучшение первого исходного варианта плана осуществляется путем введения небазис­ ных переменных (здесь: х и х2, х3 и х4) на место базис­ ных. Дальнейшие вычисления проводят также в табли­ цах, причем номера строчек этих таблиц определяются номерами базисных переменных, а номера столбцов — номерами небазисных переменных. Строчка линейной формы считается нулевой или индексной (Zj—cj) строч­ кой, а нулевым столбцом — столбец свободных членов.

Наличие в индексной строке отрицательных коэффи­ циентов свидетельствует о неоптимальности первого ва­ рианта плана задачи. Для составления второй симплекс­ ной таблицы, в которой будет представлен улучшенный вариант сочетания отраслей, необходимо на основе ко­ эффициентов, помещенных в нулевой строке, определить ключевой столбец, то есть столбец, в котором имеется наибольшее по абсолютной величине неположительное число. В нашем примере таким числом является 560, и поэтому столбец х3 считается ключевым, а х3 целесооб­ разно из небазисных переменных ввести в число базис­ ных (основных).

Затем определяют, какую из базисных переменных следует вывести, чтобы на ее место записать х3. Для этого свободный член в каждой строке таблицы 27 де­ лят на соответствующий положительный коэффициент (элемент) при х3 из ключевого столбца и выбирают наи­ меньшее частное. Строка, содержащая наименьшее не­ отрицательное частное, называется ключевой.

В нашем примере таковой является, как нетрудно убедиться, строка х% таблицы 27. Переменные х3 и х%\ в новой симплексной таблице 28 меняются местами.

Экономический смысл всей этой вычислительной про­ цедуры состоит в том, что мы приступаем к расчету такого нового варианта сочетания отраслей в хозяйстве, который, исходя из наличия кормов, обеспечил бы мак­ симальное развитие скотоводства. Чтобы провести пере­ мещение переменных х3 и х3, составляют вторую симп­ лексную таблицу 28.

Введем обозначения: ац — элементы (коэффициенты) исходной первой симплексной таблицы; а'ц (со штри­ хом) — числа новой таблицы, где і — номер строки (ог­ раничения), / — номер столбца (переменной). Ключевой столбец обозначим через h, а ключевую строку — через г.

Число, которое лежит на пересечении ключевого столбца и ключевой строки, считается ключевым числом (в пер­ вой симплексной таблице оно выделено). В общем случае ключевое число (ключевой элемент) запишется как arh-

Коэффициент, стоящий на месте ключевого числа в новой симплексной таблице, называется главным (иног­

главный коэффициент выделен).

Путем умножения главного коэффициента на все ос­ тальные числа ключевой строки получаем соответствую­ щие элементы в главной строке, то есть в той строке, которая занимает в новой таблице место ключевой.

В общем случае формула запишется так:

а в нашем примере числа главной строки таблицы опре­ деляются таким образом:

а'зо= а'за• а8о=0,01818 • 8000 = 145,4; « « “ Ом-ав^О,01818- (-0,26) =-0,004727.

324

Числа, стоящие на месте ключевого столбца (за ис­

ключением главного коэффициента), находят при помо­ щи следующей формулы:

и контроль вычислений можно осуществлять по фор­ муле:

Так, например, элемент индексной строки в столбце Хі можно получить как разность Z \ — C \ . Согласно формуле

(2.15), 2і = 0,04 • 0 + 0,02142 • 0 + 0,1284 • 0+ (-0,004727) • •560 = —2,647, так как оценка переменной Хз равна 560 (см. выражение (2.5), а дополнительные переменные в целевую функцию вводятся с нулевыми'коэффициентами. Оценка сj переменной Х\ равна 4,44. Следовательно, ис­ комый элемент в таблице будет равен Z \ — C\ =

= ( —2,647) —( + 4,44) = —7,087. Так же можно проконт­ ролировать вычисление и других оценок базисных пе­ ременных.

Составив таблицу 28, проанализируем данные второго варианта сочетания отраслей. По новому плану преду­ сматривается в хозяйстве содержать 145 коров с при­ плодом. На содержание крупного рогатого скота будет затрачено около 44 человеко-дней механизированного и 873 человеко-дня конно-ручного труда. Весь скот бу-

325

дет обеспечен кормом за счет естественных лугов и паст­ бищ, так как посев сельскохозяйственных культур еще

.не предусматривался. Валовая продукция при этом со­ ставит почти 81,5 тыс. руб.

Кроме того, произошли изменения коэффициентов при небазисных переменных. Например, оценка 1 ц зер­ на (коэффициент в индексной строке и Х\ столбце) с учетом возможного использования части валового сбора на корм теперь составляет 7,087 руб. Это вызвано, в частности, тем, что в данных условиях 1 ц кормовых единиц имеет оценку 10,181 руб. Если на корм скоту использовать 0,26 ц кормовых единиц зерна, то хозяйст­ ву это обойдется в 0,26X10,181=2,647 руб.

Подобные изменения произошли и с другими элемен­ тами. Например, коэффициенты при х\ означают, что включение в план производства 1 ц зерна требует за­ трат ресурсов: пашни 0,04 га, механизированного труда 0,02142 человеко-дня, ручного труда 0,1284 человеко-дня; число коров в результате может быть увеличено на 0,00473 головы, что даст прирост валовой продукции на 7,087 руб. Аналогично можно объяснить и другие изме­ нения коэффициентов.

Ввиду наличия отрицательных коэффициентов при небазисных переменных в индексной строке таблицы второй вариант сочетания отраслей в хозяйстве также неоптимален. Поэтому продолжаем решение задачи. Снова определяем ключевой столбец, ключевую строку и т. д. С помощью формул (2.11) — (2.15) составляем сле­ дующие симплексные таблицы до тех пор, пока не полу­ чим окончательный результат.

326