книги из ГПНТБ / Папернов А.А. Методы упорядочения информации в цифровых системах

80ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕНИЯ

Вкачестве таких вероятностных оценок рассмотрим математическое ожидание суммы значений функции ин­ версии (2.31) и математическое ожидание от сумм квад­ ратов разности индексов (2.34).

Впервом случае имеем

так. как математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий. Для получения такой оценки достаточно использовать ха­ рактеристическую матрицу Р.

Для второго критерия имеем

Учитывая, что выражение для разности индексов (2.32) достаточно сложно, а тем более сложно выра­ жение для квадрата математического ожидания этой величины, в дальнейшем будем использовать лишь пер­ вый из указанных критериев, обозначаемый просто /.

§ 2.3. Характеристики операторов упорядочения

Каждый оператор процедуры упорядочения можно охарактеризовать тремя величинами: результативностью AI, сложностью Т и эффективностью Э.

Результативностью оператора называется изменение степени неупорядоченности массива в результате вы­ полнения этого оператора.

ченности массива. Один и тот же оператор должен об­ ладать различной результативностью при воздействии на массивы с различной начальной степенью упорядо­ ченности.

сированного времени выполнения оператора) или про­ порциональная математическому ожиданию времени его выполнения в общем случае. Поскольку каждый опера­ тор упорядочения представляет собой некоторую после­ довательность операций сравнения, пересылки и обмена, то сложность его будет выражаться в виде функции от времени выполнения этих операций (Т%,Тоб, Т„) и ве­ роятности их выполнения. Следует еще раз подчерк­ нуть, что время выполнения указанных выше операций зависит как от формы организации информации об объ­ ектах в памяти ЦВМ и ее объема, так и от структурных

или результативность, отнесенная к единице сложности. Для процедуры упорядочения в целом результатив­ ность есть величина постоянная, так как до выполнения процедуры состояние массива неизвестно и он предпола­ гается случайным с соответствующей степенью неупо­ рядоченности, а в результате ее выполнения степень не­ упорядоченности массива обращается . в нуль. Таким

образом,

где /о — начальная степень неупорядоченности массива. Если выполнение процедуры распадается на ряд эта­ пов (или операторов), то суммарная результативность всей последовательности операторов должна равняться

результативности процедуры

где s — номер оператора.

Существенным параметром процедуры упорядочения

упорядочения, т. е. поиск такой процедуры, которая обе­ спечивает минимальную суммарную сложность при за­ данной совокупности ограничений на процедуру (задан­ ный объем памяти, заданные объем информации об объ­ екте, число объектов и др.). В общем виде решение задачи оптимизации процедуры упорядочения в целом является весьма сложным. Однако в ряде случаев не­ плохим приближением к оптимальному решению явля­ ется замена общей задачи рядом частных более мелких задач, обеспечивающих локальную оптимизацию отдель­ ных операторов процедуры. Увеличение эффективности операторов приводит к снижению суммарной сложности процедуры. Рассмотрению основных операторов и про­ цедур упорядочения в целом с точки зрения увеличения их эффективности будут посвящены следующие главы книги.

§ 2.4. Некоторые способы частичной оптимизации процедур упорядочения

2.4.1. О минимизации количества сравнений в процес­ се упорядочения. Как уже отмечалось, процедура упо­ рядочения состоит из серии сравнений признаков неко­ торых пар объектов и тех или иных перераспределений объектов по позициям на основании результатов срав­ нения. Выше было показано, что максимальное матема­ тическое ожидание количества информации, доставляе­ мой одним сравнением, равно 1 двоичной единице (одному биту), а для полного упорядочения массива нужно получить log2 (n!) двоичных единиц информации. Таким образом, минимальное число сравнений, необхо­ димых для упорядочения массива из п объектов, в об­ щем случае определяется как

Заменив п\ его приближенным выражением по формуле Стирлинга [44]

(2.58)

Чтобы достигнуть такого числа сравнений, надо стре­

тогда, когда в сравнении участвуют объекты, вероят­ ность инверсии которых близка к 0,5.

Уменьшение числа сравнений в процедуре упорядо­

по позициям. В этом смысле преимущество за теми про­ цедурами, в которых по результату сравнения произво­ дится одна пересылка объекта на свободную позицию. Процедуры, в которых по результату каждого сравнения

Рассмотрим в общем виде вопрос о минимизации количества сравнений в процессе выполнения процедуры

будем называть элементы, вероятность инверсии кото­

дой строке были записаны элементы, принадлежащие одному из статистически однородных подмножеств. Рас­ смотрим подмножества элементов, принадлежащих од­ ному столбцу матрицы. Статистические характеристики любого элемента такого подмножества целиком опреде­ ляются его номером в подмножестве и не зависят от того, какому подмножеству он принадлежит.

84 ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕНИЯ

Пусть в массиве выделены два подмножества А и В с одинаковым количеством элементов. Заменим в каж­ дом из этих подмножеств обозначение каждого элемен­ та обозначением статистически однородного подмноже­ ства, которому элемент принадлежит. Если после такой замены подмножества А и В совпадут, то они назы­

лентных элементов. Действительно, статистически экви­ валентные элементы представляют собой статистически эквивалентные подмножества, размер которых равен одному элементу.

Случайный массив в целом представляет собой ста­ тистически однородное множество элементов, и поэтому мы можем разными способами сформировать в нем

оказавшихся большими, и 2) подмножество элементов, оказавшихся меньшими. Объединяя элементы каждого из этих подмножеств попарно для сравнения на следую­ щем этапе, получим в результате сравнения четыре ста­ тистически однородных подмножества: 1) подмножество

в первом сравнении, но меньшими во втором сравнении;

Продолжая процесс попарного объединения элемен­ тов статистически однородных подмножеств далее, мы

чество статистически эквивалентных элементов в каж­ дом из них. После выполнения \og2n этапов по п/2 сравнений в каждом, в массиве не останется элементов, статистически эквивалентных друг другу. При этом, од-

выполнить, равное (n/2)log2 n, оказывается недостаточ­ ным для полного устранения неопределенности инфор­ мации о состоянии массива и, следовательно, его упо­ рядочения.

Процедура полного упорядочения массива не может вообще не содержать сравнений статистически не экви­ валентных друг другу элементов. Из общих соображе­

равенство, то максимальную близость вероятности ин­ версии сравниваемых пар к 0,5.

В следующих главах при рассмотрении конкретных методов упорядочения, выполняемых при ряде ограни­ чений, накладываемых на процедуру упорядочения (объемы ЗУ, характер обрабатываемой информации и др.), мы будем в ряде случаев использовать следующий прием: задаваться некоторой «основой» процедуры, от­ личающейся тем или иным способом, по которому вы­ бираются пары из статистически однородных подмно­ жеств, и затем трансформировать, т. е. дополнять и изменять ее таким образом, чтобы на каждом этапе формируемые в нем статистически эквивалентные под­ множества полностью упорядочивались. Нетрудно ви­ деть, что в конечном итоге это приведет к упорядочению всего массива. Процедуры, которые получаются при этом, представляют собой процедуры внутреннего упо­ рядочения.

Способ, которым следует дополнить «основу» про­ цедуры, зависит от принятого в ней способа выбора пар для сравнения их элементов друг с другом. Различные процедуры внутреннего упорядочения, сформированные указанным образом, будут рассмотрены в главах 3 и 4.

2.4.2. О минимизации общей сложности совокупности обменов в процессе упорядочения. Задача минимизации количества сравнений, производимых при упорядочении, рассмотренная в п. 2.4.1, не эквивалентна задаче мини­ мизации сложности всей процедуры упорядочения, так как последняя, кроме сравнений, содержит большое ко­ личество пересылок. Общую сложность всех пересылок, выполняемых по результатам серий из п сравнений,

пересылается на место т - го элемента. Таким образом,

Из свойства транзитивности функции инверсии сле­ дует, что одновременно с устранением инверсий элемен­ та а со всеми элементами подмножества В устраняются инверсии в любой паре элементов, принадлежащих под­ множеству В, если один из них меньше, а другой боль­ ше, чем элемент а. Таким образом, подмножество эле­ ментов, принадлежащих В и меньших чем а, оказывает­ ся взаимно упорядоченным с подмножеством элементов, принадлежащих В и больших чем а.

Описанный выше оператор группового сравнения позволяет разделять массивы на группы взаимно упоря­

информационную ценность результата сравнения. Рас­ смотрим случай, когда на выбор пар для сравнения наложено простое дополнительное условие: на любом этапе из каждой статистически однородной последова­ тельности для сравнения выбираются элементы со смеж­ ными в этой последовательности номерами.

На первом этапе весь исходный случайный массив представляет собой статистически однородную последо­ вательность и для сравнения выбираются соседние эле­ менты массива (1-й и 2-й, 3-й и 4-й, 5-й и 6-й и т. д.). В результате сравнения и соответствующих перестано­ вок элементов на этом этане формируются статистиче­ ски эквивалентные подмассивы, состоящие из двух эле­ ментов. Статистически однородными подмножествами оказываются элементы, находящиеся на позициях с ша­ гом h = 2. В массиве оказывается два таких статистиче­ ски однородных подмножества: одно из них содержит большие элементы всех пар, а второе — меньшие эле­ менты всех пар.

На втором этапе для сравнения в каждом из стати­ стически однородных подмножеств должны быть выбра­ ны элементы со смежными номерами. После выполнения обменов инвертированных элементов во всех парах массив оказывается состоящим из статистически экви­ валентных подмассивов, содержащих по 4 элемента (меньший в обоих сравнениях; больший в первом срав-

нении и меньший во втором сравнении; меньший в пер­ вом сравнении и больший во втором сравнении; боль­ ший в обоих сравнениях). Статистически однородными подмножествами оказываются теперь последовательно­ сти элементов с шагом h = 4. Всего в массиве оказы­ вается четыре таких последовательности (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Выбор пар статистически эквивалентных элементов для сравнения.

На примере двух последовательных этапов выбора пар статистически эквивалентных элементов с упомяну­ тым выше условием видны следующие основные свой­ ства данной процедуры:

1) на каждом этапе формируются статистически эк­ вивалентные подмассивы, содержащие по одному эле­ менту из всех статистически однородных подмножеств. После выполнения k этапов размер каждого статисти­

(т. е. не имеют инверсий с остальными элементами под­ массива). Промежуточные элементы подмассива могут и не быть упорядочены.

Возникает естественная мысль дополнить и изменить описанную процедуру таким образом, чтобы на любом этапе процедуры каждый из статистически эквивалент­ ных подмассивов полностью упорядочивался. В этом