книги из ГПНТБ / Папернов А.А. Методы упорядочения информации в цифровых системах

70 ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕНИЯ

упорядочены. В этом случае в матрице инверсий суще­

состоящая из одних нулей. Значения остальных элемен­ тов матрицы определяются инверсиями пар позиций, не вошедших одновременно в обе указанные группы пози­ ций. Такую ситуацию будем в дальнейшем называть взаимной упорядоченностью двух подмассивов. Внутри каждой из групп объекты могут быть как упорядочены между собой, так и не упорядочены.

Пример соответствующей матрицы инверсий приве­ ден на рис. 2.9.

г) В массиве существует группа расположенных на позициях с индексами от і\ до і2 объектов, каждый эле­ мент которой упорядочен с остальными элементами массива. Внутри указанной группы объектов упорядо­ ченности может и не быть. Рассмотрим клетки А я В (рис. 2.10) матрицы инверсий, образованные пересече­

ветственно. Все элементы этих клеток равны нулю (см. рис. 2.10), так как каждый элемент вышеуказанной группы упорядочен с любым элементом массива, не во­ шедшим в рассматриваемую группу. На основании свой­

дексами і2 </<< N, также состоит из нулевых элементов, поскольку существует последовательность из трех ин­

тированы по условию, а, следовательно, не инвертиро­ ваны и все возможные пары позиций с индексами і, /,

Такую ситуацию будем называть внешней упорядо­ ченностью подмассива в массиве. В частном случае возможно внешнее упорядочение одного элемента в мас­ сиве.

Рис. 2.10. Матрица инверсий при внешней упорядоченности подмассива в массиве.

Поскольку подмножество А есть объединение непе­ ресекающихся подмножеств В{ и В2, то выражение для

так как среди множества пар индексов позиций, входящих в подмножество А, возможно наличие лишь трех типов пар: пар, состоящих из индексов позиций, принад­ лежащих только подмножеству ßr, пар, состоящих из ин­

имной неупорядоченности подмножеств ß j и В2. Оно со­ ответствует общему количеству неупорядоченных пар

ного множества объектов равна сумме степеней неупо­ рядоченности составляющих подмножеств и сумме всех

ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕНИЯ

степень неупорядоченности всего множества А оказы­ вается равной сумме взаимных неупорядоченностей всех пар подмножеств:

Любой массив можно представить в виде некоторой совокупности внутренне упорядоченных подмножеств. Для случайного массива из п элементов количество та­ ких подмножеств равно п, а размер каждого подмноже­ ства равен одному элементу. Для упорядоченного мас­ сива количество таких подмножеств равно единице, а размер подмножества, равен размеру всего массива. Отсюда следует, что упорядочение массива можно вы­ полнить путем последовательного уменьшения количе­ ства внутренне упорядоченных подмножеств. Процеду­ ры упорядочения, распадающиеся па отдельные этапы, целью которых является уменьшение количества внут­ ренне упорядоченных подмножеств при соответствующем

степень неупорядоченности массива А оказывается рав­ ной сумме внутренних неупорядоченностей всех состав­ ляющих подмножеств

Любой массив можно представить в виде некоторой со­ вокупности взаимно упорядоченных 'подмножеств. Для случайного массива из п элементов количество таких подмножеств равно единице, а размер подмножества ра­ вен размеру всего массива. Для упорядоченного массива количество таких подмножеств равно п, а размер каж­ дого из них равен единице. Отсюда следует, что упоря­ дочение массива можно выполнить путем последова­ тельного увеличения количества взаимно упорядоченных подмножеств при соответствующем уменьшении их раз-

мера. Процедуры упорядочения, состоящие из отдель­ ных этапов, на каждом из которых количество взаимно упорядоченных подмножеств увеличивается вплоть до последнего этапа, и при этом на последнем этапе обра­ зуется п взаимно упорядоченных подмножеств, содержа­

ченности объединенного множества в этом случае яв­

fcGEA ftSA

где первая сумма определяет все инверсии элемента, ис­ ходная позиция которого имеет индекс і, со всеми эле­ ментами объединенного множества А, для которых k>i, а вторая сумма, определяет число соответствующих ин­ версий для k < і. Пусть для определенности выбранный элемент на позиции і входит в подмножество В\. Тогда каждую из сумм, определяющую Ал(і)> можно разде­ лить на две части в зависимости от того, какому из со­ ставляющих подмножеств ßi или В2 принадлежит эле­ мент на позиции k:

\ А (о = 2 и и, k] - 2 И f. + 2 И ß % - 2 И ß Я =

так как две первые суммы определяют разность индек­ сов позиций рассматриваемого элемента в упорядочен­ ном и неупорядоченном подмножестве Ви содержащем этот элемент, а две следующие суммы определяют до­ полнительную разность индексов позиций данного эле­ мента в объединенном множестве из-за влияния подмно­ жества В2, куда элемент не входит. Первое слагаемое характеризует неупорядоченность объекта позиции і в собственном подмножестве (В\), а второе — неупорядо­ ченность объекта позиции і из-за влияния другого по о,-

78 ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕНИЯ

множества (В2). Легко показать, что в случае объедине­ ния нескольких непересекающихся подмножеств в одно множество

неупорядоченность объекта позиции iEEßi в объединен­ ном множестве А

Другими словами, разность индексов каждой из по­ зиций в объединенном множестве, характеризующая не­ упорядоченность объекта, равна разности индексов каждой из позиций в собственном подмножестве и сум­ ме дополнительных составляющих указанной разности индексов, обусловленных влиянием остальных объеди­ няемых подмножеств.

В этом случае также при внутренней упорядоченно­ сти составляющих подмножеств результирующая раз­ ность индексов будет определяться лишь взаимной не­ упорядоченностью подмножеств, а при внешней упоря­

ных критериев достаточно близки друг к другу, и ис­ пользование их будет определяться лишь удобством и простотой расчетов степени неупорядоченности. В этом смысле некоторое преимущество за первым из описан­ ных критериев.

Критерии оценки степени неупорядоченности массива предполагают известным его состояние, описываемое матрицей инверсий массива. Однако в процессе упоря­ дочения состояние массива полностью неизвестно. До начала упорядочения состояние массива обладает наи­ большей неопределенностью, и эта неопределенность ис­ чезает полностью лишь при завершении процедуры упорядочения. Следовательно, встает задача оценки степени неупорядоченности массива при наличии неоп­ ределенности его состояния. В качестве основания для

цы инверсий всех пар позиций, элементы которой могут

как случайную величину, можно определить ее матема­ тическое ожидание и дисперсию:

всех пар позиций можно рассматривать также как мат­ рицу математических ожиданий значения функции ин­ версии между соответствующими парами позиций. Будем в дальнейшем называть такую матрицу характеристиче­ ской матрицей массива и обозначать ее Р.

Наряду с характеристической матрицей можно было бы использовать и матрицу дисперсии значения функ­ ции инверсий соответствующих пар позиций, однако изза взаимной зависимости инверсий различных пар пози­ ций потребовалось бы привлекать матрицу корреляци­ онных моментов значения функции инверсии различных пар позиций, что сразу же вдвое увеличивает размер­ ность задачи (элементы матрицы корреляционных мо­ ментов зависят от четырех индексов), а это в значитель­ ной степени снижает ее практическую ценность.

Используя характеристическую матрицу, можно вве­ сти вероятностные оценки степени неупорядоченности массива на основе рассмотренных выще критериев ДЛЯ массивов с известным состоянием,