книги из ГПНТБ / Папернов А.А. Методы упорядочения информации в цифровых системах

порядка следования двух слов в лексикографическом смысле. Отношения > и < для чисел являются отрица­ ниями отношений < и ^ соответственно и не имеют поэтому самостоятельного значения. Действительно, из справедливости отрицания отношения я і > - я 2 следует, что Я і < я 2 и, наоборот, из справедливости отрицания от­

признака можно выстроить в такую последовательность, в которой для любой пары возможных значений призна­ ка порядок расположения их в последовательности соот­ ветствует действующему на множестве отношению по­ рядка.

Для упорядочения объектов (элементов) по задан­ ному признаку используется рассмотренное выше отно­ шение порядка между значениями признака, приписанны­ ми различным элементам. Бели считать это отношение распространенным на сами объекты (элементы), то в этом случае не выполнено 'свойство 2° для линейного упорядочения, так как из равенства значений признаков элементов отнюдь не следует равенство самих элементов. Это приводит к тому, что в множестве объектов линейное упорядочение возможно не среди всех элементов этого множества, а только между группами элементов, где в

отношением порядка, причем объекты с различными зна-

чениями признаков обязательно находятся в различных группах. Схематически эта ситуация изображена на рис. 2.1, где пунктирными стрелками показано соответ­ ствие между элементами, и приписанными им значениями признака. В этом случае говорят, что на множестве объектов заданное отношение порядка создает линейное предупорядочение.

Возможные значения признана

Объекты

Рис. 2.1. Упорядочение объектов по значению признака.

Данное множество объектов (элементов) совместно с приписанными им признаками располагается в некото­ ром известном количестве ячеек памяти цифровой вычи­ слительной машины. Будем предполагать, что выделен­ ный объем памяти достаточен для размещения всего множества объектов. Каждый объект в зависимости от объема своей информации требует определенного числа двоичных разрядов в памяти машины. В некоторых слу­ чаях для плотной упаковки в одну ячейку памяти маши­ ны может быть помещено 'сразу несколько объектов. В других случаях для размещения только одного объек­ та может потребоваться неоколько ячеек. В вычислитель­ ной машине все ячейки памяти занумерованы и адрес ячейки является ее машинным наименованием. Для вы­ полнения операций с объектами позиция каждого из них также должна иметь свое машинное наименование.

Когда объект совместно с приписанным ему значением

адресом соответствующей ячейки памяти. В случае, когда для каждого объекта отводится несколько расположен­ ных подряд ячеек памяти, можно условиться считать

ячейки памяти из группы ячеек, выделенной для разме­ щения информации о данном объекте. При этом число ячеек в каждой из групп должно быть определено зара­ нее, так как в процессе упорядочения информация об объекте может помещаться на произвольные позиции. В тех случаях, когда нельзя заранее определить объем памяти для размещения произвольного объекта, поло­ жение каждого объекта в памяти фиксируется, а

объекта, и машинное наименование объекта может быть заменено на машинное наименование ссылки на объект.

на объект) в одной ячейке памяти машинное наименова­ ние позиции каждого объекта должно содержать как указание об адресе ячейки с нужной позицией, так и указание о положении позиции в ячейке. Выборка и за­ пись нужного объекта обеспечиваются при этом програм­ мными методами, если только обращение к части ячейки не предусмотрено системой команд вычислительной ма­ шины.

В дальнейшем для простоты будем предполагать, что все позиции, выделенные в памяти машины для разме­ щения объектов, имеют определенные машинные наиме­ нования, совпадающие, как правило, с адресами неко­ торых ячеек памяти из выделенного объема. Эти машин­ ные наименования будем называть адресом позиции.

Как правило, для размещения всего множества объек­ тов выделяется совокупность последовательно располо­ женных ячеек памяти. Однако лишь в простейшем слу­ чае, когда объект совместно с приписанным ему призна­ ком занимает не более одной ячейки памяти, машинные наименования позиций образуют простую последователь­ ность номеров, соответствующую адресам выделенной со­ вокупности ячеек. В общем случае будем считать, чго позиции некоторым образом пронумерованы. Номер по­ зиции будем называть ее индексом. Индексы образуют

для N позиций. Будем предполагать, что задана некото­ рая функциональная зависимость, ставящая в однознач­ ное соответствие индексу позиции ее машинное наимено­ вание. Такой подход позволяет учесть не только объем памяти, занимаемый каждым из объектов, но и с единой точки зрения осуществить (некоторые обобщения задачи

где машинные наименования позиций совпадают с адре­ сами ячеек памяти и Ло —адрес первой ячейки из выде­ ленного объема, получаем простейший случай, когда каждому объекту отведена одна ячейка и позиции объектов располагаются в естественном порядке в груп­ пе ячеек с адресами от Л 0 до Л 0 — h+N (рис. 2.2). Счи­ тая, что машинные наименования позиций связаны с ин­ дексами другой функциональной зависимостью:

можно получить случаи, когда либо каждый объект за­ нимает но h ячеек, либо каждый объект занимает только одну ячейку, но из общего множества позиций данная функциональная зависимость выделяет подмножество позиций, расположенных в естественной последователь­ ности с шагом h.

Используя в качестве функциональной зависимости

можно рассмотреть также и случаи объединения в еди­ ную последовательность групп позиций, расположенных в различных частях поля памяти (рис. 2.2).

Естественно, возможны и более сложные функцио­ нальные зависимости.

На множестве индексов, присвоенных выделенным позициям, определено отношение порядка > или •<

как на множестве 'натуральных чисел со всеми условия­ ми, необходимыми для линейного упорядочения этого множества. Следовательно, каждая функция, связываю­ щая адрес позиции с индексом, не только выделяет не­ которую совокупность позиций, но и упорядочивает их.

В)

N

а [I] = А - fy + hi

Следует заметить, что для единого множества пози­ ций может быть задано несколько функций, связываю­ щих адреса 'Позиций с индексами. Тем самым выделяется несколько упорядоченных последовательностей позиций с .различными индексами. При этом возможен случай, когда одна и та же позиция будет иметь различное зна-

чение индекса в разных последовательностях. Это зна­ чит, что в различных упорядоченных последовательно­ стях одна и та же позиция объекта будет занимать раз­

3,..., n } , если для любой пары индексов /, / ЕЕ { 1,2,3,...,«}

N-!\N

N N-1 N-2 N-3

Рис. 2.3. Пример использования двух систем индексации одного множества позиций.

/ однозначно вытекает отношение следования между признаками объектов, расположенных в позициях с адре­

2.1.2. Формулировка задачи упорядочения. Пусть в запоминающем устройстве вычислительной машины вы­ делена область памяти, содержащая ѵ позиций для раз­ мещения объектов заданного типа Q. В некоторых извест­ ных позициях с адресами а[і], iŒ { 1, 2,..., n} размеще-

56 ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕНИЯ

ны п объектов. При этом, естественно, предполагается, что п не превосходит ѵ. Объект, размещенный на пози­ ции с адресом а[і], будем обозначать Qx[i] (или Q[i], если это не будет вызывать недоразумений). Каждому объекту приписано значение некоторого признака тс. Зна­ чение признака объекта, помещенного на позицию с адресом а[і], будем обозначать тса [і] или просто тс[і]. Предполагается, что исходное размещение объектов по

Ось признаков *Ъ >а > о —

позициям не связано со значениями признака тс. Задача упорядочения состоит в таком перераспределении объек­ тов по позициям из выделенного множества ѵ, чтобы в некоторой окончательной последовательности позиций с

рядке возрастания или в порядке убыванкя)| эквивалент­ ны друг другу, так как тривиальной заменой переменной і = п+1—/ в окончательной последовательности адресов позиций <а[і] легко преобразовать один тип упорядочения в другой без изменения позиций отдельных объектов. При этом новая последовательность позиций будет иметь адреса

о / [ / ] = ü>[n + 1 _ / ] , jŒ{ 1,2,3, ... ,«} . (2.4)

Поэтому в дальнейшем, если это не будет оговорено осо­ бо, под упорядочением будем понимать расположение объектов по позициям в порядке возрастания значения признака,

Д ля перераспределения объектов по позициям необ­ ходимо учитывать соотношение между значениями припи­ санных им признаков. Учет этого соотношения опирается, как правило, на использование двуместной операции сравнения в системе команд современных цифровых вы­ числительных машин. В каждом таком сравнении могут участвовать либо значения признаков двух объектов, либо значение признака одного объекта и некоторое за­ данное число, называемое в дальнейшем «опорным» значением признака или эталоном, и в результате вы­ полнения сравнения выясняется, удовлетворяют ли эти значения заданному отношению порядка. По результатам сравнения производится выбор того или иного действия.

Сравнение признаков двух объектов, расположенных в общем случае на позициях из различных последователь­

тельной машины. Эти затраты времени определяются сложностью вычисления адресов позиций объектов по заданным значениям индексов і и /, сложностью выделе­ ния признаков у объектов, а также сложностью выпол­ нения операции сравнения признаков, особенно если при­ знаки сравниваются в лексикографическом смысле или если значение признака занимает несколько ячеек памя­ ти. Указанная сложность определяется конкретной фор­ мой организации информации об объекте, формой пред­ ставления признака, а также трудоемкостью выполнения указанных выше действий в системе команд конкретной машины. Детальный анализ всех возможных здесь си­ туаций выходит за рамки тематики данной работы.

Будем считать, что выбрана форма организации ин­ формации об объекте, форма представления признака и известна система команд машины. В этих условиях мож­ но оценить трудоемкость выполнения каждого из пере-

58 ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕНИЯ

численных выше трех действий либо прямо по времени их выполнения, либо по математическому ожиданию это­ го времени, если оно точно не определено и зависит от операндов, участвующих в операции. Оценка времени вы­ полнения может быть дана в секундах, в числе элемен­ тарных тактов вычислительной машины или еще какимлибо способом — это принципиального значения не имеет.

В дальнейшем описанную операцию сравнения значений признака двух объектов, расположенных в позициях с адресами а[і] и ß [ / ] , будем обозначать 5Л {a[i], ß[/°]}.

По результатам сравнения признаков должны прово­ диться те или иные перемещения объектов по позициям. Рассмотрим две операции такого типа.

Первой операцией будет пересылка объекта, располо­

этом свободной, так как имевшаяся там информация в результате пересылки будет утеряна. Операцию пересыл­

индексов і и /, а также от трудоемкости самого переме­ щения объекта с одной позиции на другую, зависящей от

Второй операцией будет перестановка или обмен объектов между позициями с адресами а[і] и ß[/] соот­ ветственно. Такой обмен может быть осуществлен с по­ мощью трех операций пересылки при наличии одной

свободной позиции с известным адресом р. Действитель­ но, при выполнении цепочки пересылок

объект, размещавшийся на позиции с адресом а[і], пе­ реходит на позицию с адресом ß[/] и, наоборот, объект с позиции ß[/] перемещается на позицию а[і]. Трудоем­ кость обмена в этом случае можно оценить по суммар­ ному времени выполнения трех пересылок

То6 {а [і], ß [/], р} = Г п (а [і], ?} + Та {ß [/], а [/]) + Тп {р, ß [/]}. (2.8)

Для выполнения операции обмена в общем случае необходимо иметь некоторый свободный резерв памяти.

При наличии в цифровой вычислительной машине операции поразрядного логического суммирования по модулю 2 ( ф ) обмен информации в двух ячейках мо­ жет быть осуществлен без использования свободного ре­ зерва памяти. Для этого последовательно осуществляют­ ся три операции

иобмен осуществлен.

Вдальнейшем будем считать, что существует одна или несколько свободных позиций с известными адреса­ ми, являющиеся резервными. Объем каждой из свобод­ ных позиций должен быть достаточен для размещения объектов рассматриваемого типа. В некоторых особых случаях выделенное для выполнения операции обмена свободное место в памяти может оказаться недостаточ-