книги из ГПНТБ / Папернов А.А. Методы упорядочения информации в цифровых системах

устраниться, либо не устраниться. В случае продолжаю­ щегося нарушения условия (9.39) для новой перестрой­ ки назначается цепочка из элементов с, a, d. Неустраняющееся нарушение условия (9.39) можно трактовать как признак целесообразности выделения для перестройки цепочки, содержащей больше чем три элемента. Тем са­ мым длина перестраиваемой цепочки перестает быть жестко фиксированной и определяется автоматически в процессе самой перестройки дерева.

После перестройки некоторой цепочки вес одной из ветвей ее вершины увеличивается (до m А -\-тв вместо

Из-за этого в цепочке, начинающейся с элемента, не­ посредственно предшествующего по пути поиска пере­ страивавшейся цепочке, условие (9.39), выполнявшееся до перестройки, может нарушиться. Для устранения та­ кого нарушения требуется дополнительная перестройка. Однако алгоритм построения дерева можно упростить, если эту дополнительную перестройку выполнять не не­ медленно, а только после повторного прохождения соот­ ветствующей цепочки при записи в дерево какого-либо нового элемента. При этом также уменьшается общее количество перестроек, так как с некоторой вероятно­ стью нарушение условия (9.39) может устраниться и без перестройки дерева.

9.4.3. Максимальная длина пути поиска в деревьях с проверкой соотношения весов. Характерной особенно­ стью перестроек рассматриваемого типа является лога­ рифмическая зависимость от веса дерева не только сред­ ней длины пути поиска, но и длины пути поиска до наи­ более удаленной точки роста в дереве с самой неблаго­ приятной конфигурацией.

Поясним это. Вместо максимальной длины пути до

352 ГЛ. 9. МЕТОДЫ ПЕРЕСТРОЙКИ двоичных ДЕРЕВЬЕВ

Пусть наиболее удаленная точка роста расположена в ветви А . Поскольку условие (9.39) для вершины дере­

Рис. 9.10. К выводу соотношения между весом дерева и максималь­ ной длиной пути (условие соотношения весов).

которое при заданном / имеет вес наименьший из возмож­ ных, ветвь С имеет вес, точно равный т м и н (/—2). В ре­ зультате, как видно из рис. 9.10, имеет место соотноше­ ние

т м и н (0 = т т н {1-Х) Л- тииа (I - 2) + 1. (9.40)

Разностное уравнение (9.40) вместе с начальными ус­ ловиями

354 ГЛ. 9. МЕТОДЫ ПЕРЕСТРОЙКИ ДВОИЧНЫХ ДЕРЕВЬЕВ

Вычислив по начальным условиям

«мин( 0) = 0, m M l , „ ( l ) = l

постоянные С\ и С2 и подставив их в (9.47), получим

И . „ ( 0 ^ ( . ^ ) ( і ± р ) ' Н ( . - ^ ) х

X ( ± z l l 5 y _ 1 — 1,17 . 1,62' —0,17 • ( —0,62)'—1 . (9.48)

При оценке ттт (I) член 0,17 (—0,62)1 , представляющий собой убывающую функцию от /, может быть отброшен.

Следовательно,

показывающем, что длина пути до наиболее удаленной точки роста в дереве наихудшей конфигурации на 44% больше длины пути поиска в правильно заполненном дереве.

9.4.4. Условие соотношения длин путей (Г. М. Адель- сона-Вельского и Е. М. Ландиса). Каждая ветвь дерева характеризуется длиной пути / м а к с от вершины ветви до самой удаленной из расположенных на этой ветви точек роста. Условием, налагаемым на дерево, является вы­ полнение неравенства

писи в дерево нового элемента только тогда, когда но­ вый элемент попадает на наиболее удаленную точку роста «длинной» ветви этого узла. Перестройка описан-

356 ГЛ. 9. МЕТОДЫ ПЕРЕСТРОЙКИ ДВОИЧНЫХ ДЕРЕВЬЕВ

Если в каком-то элементе списка признак имел зна­ чение 01 или 10, а новый элемент попал на короткую ветвь этого узла, то значение признака заменяется на 00, после чего дальнейший просмотр списка прекращает­ ся, и перестройка не производится. Если признак имел значение 00, то ему присваивается новое значение", рав­ ное 01 или 10 в зависимости от того, на правую или ле­ вую ветвь этого узла записался новый элемент, после чего продолжается дальнейший просмотр списка узлов. Если признак имел значение 01 или 10, а новый элемент попал на длинную ветвь, то назначается перестройка цепочки из трех узлов, начинающейся с рассматривае­ мого узла и продолжающейся в направлении поиска. Адреса всех перестраиваемых узлов записаны в зафик­ сированном списке. После перестройки признаку в вер­ шине перестроенной ветви присваивается значение 00 и

с признаком 01 или 10 можно при поиске всегда запи­ сывать в начало списка, вытесняя старое содержимое. Список зафиксированных узлов будет содержать тогда только один узел с признаком 01 или 10 и любое коли­ чество узлов с признаком 00.

Определим максимальную длину пути до точки ро­ ста в дереве, сформированном в соответствии с алгорит­ мом перестройки по условию соотношения длин путей.

Пусть тшш(1) — минимальный вес дерева, удовлет­ воряющего условию (9.51) при длине пути до наиболее

при перестройке по соотношению весов. Отсюда следует, что ограничения, накладываемые на максимальную длину пути (9.50) при поиске по соотношению длин путей и по­ иске по соотношению весов, оказываются одинаковыми.

9.4.5. Средняя длина поиска при проверке соотноше­ ния длин. Средняя длина поиска в случае проверки со­ отношения длин и соотношения весов оказывается раз­ личной. Это объясняется тем, что некоторые перестрой­ ки при проверке соотношения длин могут не только не

п о п р а в о й (Т=\) ветви . Н и ж е п р и в о д я т с я п о я с н е н и я л и ш ь к н е к о т о р ы м б л о к а м а л г о р и т м а . Б л о к 1 п р и с в а и ­ в а е т Л т е к и Q и с х о д н ы е з н а ч е н и я . Б л о к 2, н а р я д у с Пе-

Лтек ßepuiuHbi

п р о в е р к и а д р е с о в в ы я в л я ю т , не д о с т и г н у т а л и на п у т и

360 ГЛ. 9. МЕТОДЫ ПЕРЕСТРОЙКИ ДВОИЧНЫХ ДЕРЕВЬЕВ

поиска точка роста. Если она достигнута, то выполняет­ ся заключительный блок 6 или 7, записывающий в де­ рево новый элемент. В противном случае блок 5 или 9 проверяет, не ожидается ли после записи в дерево но­ вого элемента нарушения соотношения весов. Если нару­ шение соотношения весов не ожидается, то выполняется блок 10 или И, корректирующий информацию в рабочих

избежание загромождения блок-схемы, детальное содер­ жание блоков 16—19 в ней не раскрывается. Оно сво­ дится к перестановке адресов и корректировке весов в соответствии с табл. 9.4 и 9.5.

В частности, блок 19, преобразующий цепочку с дву­

веряющих, по какой ветви перестроенной цепочки дол­ жен быть направлен новый элемент. Блоки 24 и 26 при­ сваивают весу т\ значение веса одного из двух узлов перестроенной цепочки, не расположенного в ее верши­