книги из ГПНТБ / Папернов А.А. Методы упорядочения информации в цифровых системах

ГЛАВА 9

МЕТОДЫ ПЕРЕСТРОЙКИ ДВОИЧНЫХ ДЕРЕВЬЕВ

§9.1. Постановка вопроса о перестройке деревьев

впроцессе их формирования

В § 8.4 было показано, что случайный рост дерева приводит к увеличению средней длины поиска в ансамб­ ле всех возможных деревьев по сравнению с возможной средней длиной поиска при определенных конфигура­ циях. Неблагоприятная последовательность записи в де­

о таком изменении процедуры формирования дерева, при котором возможно не только заполнение пустых адресов в процессе роста, но и изменение ранее записанных адре­ сов с целью уменьшения зависимости конфигурации сформированного дерева от порядка записи в него новых элементов. При этом, естественно, изменяются ранее установленные связи между элементами дерева, т. е. осуществляется не только наращивание, но и перестрой­ ка деревьев.

Заметим, что в случае, когда в некотором дереве при­ знаки всех его элементов совпадают, форма дерева, по­ строенного в соответствии с описанными в главе 8 пра­ вилами, независимо от порядка поступления элементов остается неразветвленной в любом случае. Для того чтобы и в этом случае иметь возможность в результате перестройки сформировать разветвленное дерево, не­ обходимо разрешить размещение любого элемента В, признак которого совпадает с признаком элемента А, как на правой, так и на левой ветви элемента А.

322 ГЛ. 9. МЕТОДЫ ПЕРЕСТРОЙКИ ДВОИЧНЫХ ДЕРЕВЬЕВ

При записи в дерево нового элемента В во всех узлах на пути от вершины дерева к точке роста, на которой размещается элемент В, признаки s должны корректиро­ ваться.

Рассмотрим любой из элементов дерева А , к полной ветви которого добавляется элемент В. Если вес элемен­ та А был нечетным, то после добавления элемента В он становится четным. При этом выполнение основного условия не нарушается. Признак элемента A s = 00 пре­ образуется в s = 10 или s = 01 в зависимости от того, попадает ли элемент В на левую или на правую ветвь элемента А . Это выясняется сразу же после проверки выполнения условия поиска в элементе А .

Если вес элемента А был четным, то после добавле­ ния элемента В он становится нечетным. При этом мо­

5 был равен 01, а элемент В попал на левую ветвь, то основное условие не нарушается, а признак s элемента А преобразуется в s = 00.

2) Если признак s элемента А был равен 10, а эле­ мент В попал на левую ветвь, или признак s был равен 01, а элемент В попал на правую ветвь, то основное усло­

324 ГЛ. 9. МЕТОДЫ ПЕРЕСТРОЙКИ ДВОИЧНЫХ ДЕРЕВЬЕВ

Сложность и трудоемкость полной перестройки де­ ревьев естественно ставит вопрос об использовании дру­ гих, более простых алгоритмов перестройки, обеспечи-

Рис. 9.1. Пример полной перестройки дерева:

вающих существенное уменьшение среднего времени по­ иска в дереве, хотя бы и отличающегося от минимально возможного. Описание и исследование таких алгоритмов приводится ниже.

§ 9.2. Метод перестройки неполных узлов дерева

9.2.1. Алгоритм метода. Алгоритм перестройки дерева может быть упрощен в наибольшей степени в случае, если перестройке подвергаются только неполные узлы с весом т > 2 . Конфигурация узлов, подлежащих пере-

стройке при указанном ограничении, с точностью до сим­ метрии изображена на рис. 9.2,а и 9.3,а. Конфигурация этих же узлов после перестройки изображена соответст­ венно на рис. 9.2,6 и 9.3,6".

Признаком, указывающим необходимость перестрой­ ки некоторого узла при записи в дерево нового элемен­ та, может служить сочетание непустого адреса на пути нового элемента к точке роста с пустым вторым адресом в этом узле.

а

Алгоритм перестройки неполных узлов дерева значи­ тельно проще алгоритма полной перестройки дерева, описанного в § 9.1, по следующим основным причинам:

а) при записи каждого нового элемента в дерево пе­ рестройке подлежит не больше одного узла;

б) способ обнаружения узлов, подлежащих пере­

Блок-схема алгоритма перестройки неполных узлов в дереве изображена на рис. 9.4.

Функции, выполняемые блоками /—3, не отличаются от функций, выполняемых аналогичными блоками при записи в дерево нового элемента без перестройки (рис. 8.5). В зависимости от результата проверки в блоке 3 осуществляется переход на одну из двух симметричных

ветвей, состоящих соответственно из блоков 4'—12г и 4"—12". Если блок 4 обнаружит, что проверяемый адрес пуст, то запись элемента осуществляется без перестройки дерева. Если проверяемый блоком 4 адрес оказывается не пустым, то блок 6 проверяет второй адрес и в случае его пустоты осуществляется переход к блокам 8—12, не­ посредственно выполняющим перестройку узла. Блоками 8 и 9 осуществляется запоминание адреса узла, подле­ жащего перестройке Атек, и адреса исходящей из него информации. Блок 10 сравнивает признаки нового эле­ мента и элемента, размещенного на ветви перестраивае­ мого узла. Если адреса, исходящие из неполного узла и из элемента, размещенного на ветви неполного узла, являются оба правыми или оба левыми, то выполняется блок 11. Он осуществляет перестройку неполного узла а (рис. 9.2,й) путем передачи в него из узла b адреса информации. Управляющее слово, в котором ранее раз­ мещался адрес информации Ь, освобождается и исполь­ зуется для записи первоначального адреса информации из перестраиваемого узла а. Два слова связи перестраи­ ваемого узла направляются к элементам а и с.

Если из адресов, один из которых исходит из пере­ страиваемого узла а, а второй из размещенного на его ветви элемента Ь, один является правым, а второй — левым (рис. 9.3,а), то выполняется блок 12. В вершину перестраиваемого узла помещается записываемый в дере­ во элемент с. Освободившееся управляющее слово нового элемента используется для записи в него адреса информации из перестраиваемого узла. Одно из управ­ ляющих слов в перестраиваемом узле сохраняется преж­ ним, а второму присваивается значение записываемого в дерево элемента.

9.2.2. Средняя длина поиска в дереве с перестройкой

неполных узлов. Для расчета средней длины поиска нам понадобится предварительно определить ожидаемую долю полных (индекс П), неполных (индекс Н) и кон­ цевых узлов среди всех узлов дерева. Среди концевых узлов мы будем отдельно учитывать концевые узлы, ис­ ходящие из полных узлов (индекс КП) , и концевые узлы, исходящие из неполных узлов (индекг КН) .

Перестройка неполного узла выполняется только пос­ ле записи нового элемента на узел с индексом КН.

328 ГЛ. 9. МЕТОДЫ ПЕРЕСТРОЙКИ ДВОИЧНЫХ ДЕРЕВЬЕВ

При записи в дерево, состоящее из я элементов, ново­ го, т. е. (я+1) - го, элемента общее количество узлов уве­ личивается на единицу, а количество узлов разного типа изменяется в соответствии с табл. 9.1, где учтены харак­ тер точки роста, на которую попадает новый элемент, и перестройка неполного узла после записи нового элемен­

Считая запись нового элемента на любую точку роста равновероятной, имеем для вероятностей записи нового элемента на узлы определенного типа:

но определить математические ожидания изменения ко­

элементов нового (п - Н) - го элемента. Они определяются следующими выражениями:

рассматривать как средние значения или математические ожидания количеств узлов соответствующего типа, то результаты вычислений по формулам (9.2) и (9.3) от­ носятся ко всему ансамблю деревьев, состоящих из n элементов, с учетом вероятности формирования де­ ревьев разной конфигурации. В дальнейшем нас, как правило, будут интересовать вероятностные характери­ стики ансамбля деревьев, и поэтому там, где специально не оговаривается противное, мы под количествами узлов разного типа будем понимать их математические ожида­ ния. Зависимость математического ожидания количест­ ва узлов разного типа и их приращения при записи в де­ рево нового элемента, а также вероятности записи ново­