книги из ГПНТБ / Папернов А.А. Методы упорядочения информации в цифровых системах

290 ГЛ. 7. УПОРЯДОЧЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ ВО ВНЕШНИХ ЗУ

трижды: один раз — для записи, другой раз — для счи­ тывания, третий раз — при перемотке. Количество зон,

да. Всего за время выполнения процедуры упорядочения

учетом трехкратного прохождения каждой зоны — ( J V - j - 1)

раз.

В случае использования односторонней ленты целе­ сообразно после каждого прохождения ленты до конца в прямом направлении возвращать ее в исходное поло­

292 ГЛ. 8. ОРГАНИЗАЦИЯ ИНФОРМАЦИИ В БИДЕ ДЕРЕВЬЕВ

в явном виде указаны в составе информации, относящей­ ся к любому элементу, который может оказаться объек­ том проверки условия поиска. Адрес Ал, указывающий середину зоны поиска, состоящей из элементов, призна­ ки которых меньше, чем у проверявшегося элемента, на­ зовем левым адресом. Адрес Лпр, указывающий середи­ ну зоны поиска, состоящей из элементов, признаки кото­

сов связи мы получим структуру двоичного дерева. Ле­ вый и правый адреса связи могут записываться либо совместно с основной информацией об элементе, либо в специальном управляющем слове. В последнем случае в

(і+1) - го яруса могут отсутствовать, и в соответствии с

исключением одного, изображающего' единственный эле­ мент 1-го яруса, обязательно входит одна и только одна стрелка. Количество стрелок, исходящих от каждого кружка, не превосходит двух.

8.1.3. Основная терминология. Вершиной дерева

называется единственный элемент списка, расположен­ ный в 1-м ярусе. Адрес вершины дерева должен быть за-

писан в специально отведенной для этой цели ячейке

называются элементы с двумя пустыми адресами связи. Допустим, что перемещаясь от некоторого элемента дерева А по одному из записанных в нем адресов связи к

всех элементов дерева, к которым имеется путь от эле­ мента А, включая и самый элемент А.

Левой (правой) ветвью элемента А называется сово­ купность всех элементов дерева, к которым имеется путь от элемента А через его левый (правый) адрес связи.

Введем некоторые обозначения: припишем каждому узлу дерева индекс і, представляющий собой двоичное

заменять десятичным числом, равным соответствующему двоичному числу.

294 ГЛ. 8. ОРГАНИЗАЦИЯ ИНФОРМАЦИИ В БИДЕ ДЕРЕВЬЕВ

которому ведет левый адрес из узла А, равен 2і; индекс

дерева, размещающихся на полной ветви элемента с ин­

оба размещаются. Во всех случаях одним из таких эле­ ментов является вершина дерева. Однако среди элемен­

ты которого удовлетворяют следующему дополнитель­ ному условию: разность между значением признака любого элемента, размещающегося на правой (левой)

ветви некоторого элемента А, и значением признака самого элемента А неотрицательна (неположительна). Нулевая разность между значениями признаков эле­ мента А и другого элемента, размещающегося на пол­ ной ветви элемента А, может быть отнесена как к не­ отрицательной, так и к неположительной, т. е. в ука­ занном случае элементы, согласно определению, могут быть размещены как на левой, так и на правой ветви элемента А.

В упорядоченных деревьях, информация о которых хранится в ЗУ цифровых машин, обычно принимается дополнительное условие, что все элементы с нулевой

мента Л, но не распределяться между обеими ветвями. Будем поэтому для определенности считать, что такие элементы могут размещаться только на правой ветви. В связи с этим определение упорядоченного дерева не­

ты, записывая в пустые адреса связи адреса этих эле­ ментов (или приданных этим элементам управляющих слов). Процесс добавления к сформированному упоря­

признак элемента, добавляемого к упорядоченному

296 ГЛ. 8. ОРГАНИЗАЦИЯ ИНФОРМАЦИИ В ВИДЕ ДЕРЕВЬЕВ

§ 8.2. Свойства упорядоченных двоичных деревьев

8.2.1. Свойства совокупности элементов, размещаемых на общей ветви. Непосредственно из определения упоря­ доченного дерева вытекают некоторые его свойства.

вой (правой) ветви элемента В, то признак элемента С имеет промежуточное значение между признаками эле­

Ви С от признака элемента D одинаковы.

2.Путь от элемента D к элементу Л отсутствует. Пусть ближайшей вершиной элементов А и D является вершина Е. Элементы Л, В, С, с одной стороны, и эле­ мент D, с другой стороны, располагаются на разных ветвях элемента Е. Согласно определению упорядочен­

ного дерева знаки отклонений признаков элементов В и С от признака элемента Е, а тем более от признака элемента D одинаковы.

С л е д с т в и е 1 и з с в о й с т в а 2. Все элементы, размещающиеся на ветви элемента Л, и элементы, кото­ рые могут на ней разместиться путем добавления новых слов связи, имеют признак, промежуточный между при­ знаками элементов, имеющих минимальное отрицатель­ ное и минимальное положительное отклонение от при­ знака элемента Л среди всех элементов дерева, разме­ щенных ьне ветви элемента Л.

дерева, размещающиеся на левой (правой) ветви элемен­ та А, а также те элементы, которые могут на ней разме­ щаться в процессе дальнейшего роста дерева, имеют признак, промежуточный между признаком элемента А и признаком элемента, имеющим минимальное отрица­ тельное (минимальное положительное) отклонение от признака элемента А среди всех элементов дерева, раз­

ва признаки элемента В и элемента А, адрес связи ко­ торого ведет к элементу В, имеют соседние численные значения.

Действительно, после присоединения элемента В ле­ вая (правая) ветвь элемента А будет содержать един­ ственный элемент, и поэтому признак элемента В явля­ ется промежуточным между признаком элемента А и признаком элемента дерева с минимальным отрицатель­ ным (минимальным положительным) отклонением от

Поскольку полный узел не имеет точек роста, непол­ ный узел имеет одну точку роста, а концевой узел — две точки роста, общее количество точек роста пр равно

т. е. количество концевых узлов на единицу больше ко­ личества полных узлов.

Докажем формулу (8.5) методом математической ин­ дукции. Она выполняется, очевидно, для дерева, состоя­ щего из одного элемента, не имеющего ни одного полно-

298 ПІ. 8. ОРГАНИЗАЦИЯ ИНФОРМАЦИИ В ВИДЕ ДЕРЕВЬЕВ

го узла и один концевой узел. Если предположить, что формула (8.5) справедлива для любого дерева из ѣ элементов, то легко показать, что она остается справед­ ливой и для дерева из п+\ элемента. Действительно, если (п+1)-к элемент присоединяется к концевому узлу дерева, то он превращается в неполный узел, т. е. коли­ чество неполных узлов увеличивается на один, а количе­ ства полных и концевых узлов остаются прежними. Если (п+1)-й элемент присоединяется к неполному узлу, то неполный узел превращается в полный. Это значит, что количество неполных узлов уменьшается на единицу, а количества полных и концевых узлов увеличиваются на единицу. В обоих случаях соотношение (8.5) при добав­ лении (л+1) - го элемента сохраняется.

Из (8.3)|—(8.5) следует, что

т. е. количество точек роста на единицу больше количе­

реву из п элементов, может попасть в любой из этих интервалов. Каждому из этих интервалов соответствует своя точка роста.

Если признаки всех элементов дерева есть незави­ симые друг от друга случайные величины и конкретные значения признаков элементов ранее сформировавшейся части дерева нам неизвестны, то естественно предполо­ жить, что попадание признака присоединяемого (п+\)-то элемента в любой из интервалов равновероятно. Соот­ ветственно можно считать, что вероятности присоедине­ ния нового элемента к любой точке роста дерева равны друг другу, т. е. все одинаковы и равны 1/(п+1) .

8.2.3. Признаки соседства элементов дерева. Если все элементы дерева занумерованы таким образом, что при­ знак оказывается монотонной функцией от номера эле­

ментам дерева является однозначным. Для того чтобы однозначность распределения номеров сохранилась и в случае наличия в дереве нескольких элементов с совпа­ дающими значениями признаков, уточним правило нуме­ рации элементов.

ченным первый элемент из группы элементов с совпадаю­ щими значениями признаков, все остальные элементы из этой группы разместятся на его правой ветви (более того, любой элемент из этой группы, включаемый в дере­

более одного элемента с совпадающими значениями при­ знаков.

Уточнение правила нумерации элементов дерева со­

основан на формулируемых ниже свойствах соседних элементов.

С в о й с т в о 3. Соседние элементы А и В не могут размещаться, на разных (т. е. правой и левой) ветвях какого-либо элемента С. Действительно, в противном случае признак элемента С оказался бы промежуточным между признаками элементов А и В, что противоречит условию.

Из свойства 3 непосредственно вытекает С в о й с т в о 4. Один из двух соседних элементов обя­

зательно размещается на ветви другого. Индексы обоих соседних элементов имеют разное количество разрядов, причем индекс с меньшим количеством разрядов совпа­ дает с соответствующей группой старших разрядов дру­ гого индекса.

С в о й с т в о 5. Если правый (левый) адрес элемен­ та А не пуст, то соседний с ним элемент В с большим (меньшим) значением признака размещается на правой