книги из ГПНТБ / Папернов А.А. Методы упорядочения информации в цифровых системах

280 ГЛ. 7. УПОРЯДОЧЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ ВО ВНЕШНИХ ЗУ

Д ля того чтобы на каждом этапе слияние с M—1 входных лент было осуществимо, нужно, чтобы распре­ деление (5? ) м и н упорядоченных участков с наиболь­ шими номерами было одинаковым на всех входных лентах.

рядочение, т. е. совпадающее по направлению с требуе­ мым направлением упорядочения полностью упорядочен­ ного массива, а 0 — обратное упорядочение. После окончания этапа на выходной ленте мы получим распре­

Докажем, что требование о реализуемости слияния при переходе от этапа к этапу выполняется в случае, если на всех лентах направление упорядочения от участ­ ка к участку меняется в порядке чередования, причем участки с наибольшими номерами имеют одинаковое направление упорядочения.

Действительно, реализуемость слияния на том этапе, для которого выполняются указанные условия, очевид­ на, так как в случае чередования совпадение первых разрядов означает совпадение всех остальных. Если вы­ полнялось четное количество операторов слияния, то к началу следующего этапа направление упорядочения участков с наибольшими номерами на лентах, которые раньше были входными, не изменяются. На ленте, ко­ торая была выходной, направление упорядочения участка с наибольшим номером будет иметь тот же знак. Если выполнялось нечетное количество операторов слияния, то направление упорядочения участков с наибольшими но­ мерами изменится на всех лентах и все равно будет сов­ падать.

Магнитную ленту, на которой предполагается форми­ рование полностью упорядоченного массива, назовем

итоговой.

Из рассмотрения таблицы количества упорядоченных участков на всех лентах для случая, когда «разделе-

ние» на всех этапах осуществляется полностью, нетруд­ но заключить, что

1) в начале того этапа, в котором выходной лентой

лентах —четно (в том числе и на выходной ленте с ну­ левым количеством упорядоченных участков).

Из 1) и 2) вытекает, что на всех этапах направление упорядочения участков с первыми номерами на итоговой ленте является прямым, а на всех остальных лентах обратным. Отсюда однозначно вытекает способ форми­ рования начальных участков.

Блок-схема блока формирования начальных участков изображена на рис. 7.6. Блоки 25 и 26 формируют для каждой ленты начальное значение признака D, опреде­ ляющего направление упорядочения первого из началь­

изменяет значение признака D.

На рис. 7.7 изображен блок операторов слияния. Бло­ ки 34—36 выполняют 1-й подэтап 1-го этапа процедуры упорядочения по данным, подготовленным блоком моде­ лирования, блоки 37—39 — выполняют 2-й подэтап 1-го этапа процедуры. Все остальные этапы слияния выпол­ няются блоками 40—54. Количество операторов слияния, выполняемых на каждом этапе, фиксируется перемен­ ной с. В процессе выполнения процедуры слияния, являю­ щейся обращением процедуры моделирования, чередова­ ние выходных лент тоже является обратным, т. е. следу­ ет в порядке уменьшения номеров лент с переходом от 1-й ленты к М-й. Блок 46 позволяет в соответствующий момент установить, что количество требуемых операторов слияния равно нулю, т. е. процедура упорядочения за­ кончена. Блок 50 для каждого этапа формирует список входных лент, а операторы 53 и 54 непосредственно осу­ ществляют слияние.

284 ГЛ. 7. УПОРЯДОЧЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ ВО ВНЕШНИХ ЗУ

§ 7.6. Оценка сложности процедуры упорядочения

с одной выходной лентой

Пусть на /-м этапе процедуры на выходную ленту записывается SJ упорядоченных участков длиной

В этом случае сложность /-го этапа равна SJ lj . Сум­ марная сложность всех этапов слияния равна

где k — количество этапов слияния, а вместе с этапом формирования начальных участков

ного участка, записываемого на выходную ленту в k-u

Количество упорядоченных участков SJ , записывае­ мых в /-м этапе на выходную ленту, полностью считывается с нее за M—1 последующих этапов, так как через M—1 последующих этапов эта же лента снова становит­ ся выходной.

Следовательно,

Для того чтобы распространить эту зависимость на все S y , начиная от 5* и кончая S1 , запишем ряд чисел

(7.17)

В этом ряде, так же как и в (7.15), каждый член, начиная с УИ-го, равен сумме M—1 предыдущих членов.

Ряд чисел, в котором г первых чисел произвольны, а каждое последующее число равно сумме г предыдущих, называется рядом чисел Фибоначчи г-го ранга. Свойст­ ва таких чисел изучались, описаны в литературе и их можно было бы использовать при расчете сложности про­ цедуры упорядочения с одной выходной лентой.

Для заданного количества лент M и количества эта­ пов k непосредственное вычисление членов ряда Фибо­

член a j (i>r) равен

,/ - 2

несколько меньше 2. Учитывая это соотношение, можно принять, что

а}-г-\1а,--1 - = 2~г

и

Примем это отношение справедливым для всех чле­ нов, начиная с (г+1) -го, хотя оно фактически начинает выполняться с достаточной точностью для членов ряда Фибоначчи с большими номерами. Длина упорядоченной последовательности /у после выполнения 1-го этапа слияния окажется равной M—1, а после каждого после­ дующего этапа— (М~\) • (2—2-(м-і))/-і у Г Д е у — номер этапа. Следовательно, количество этапов

В нашем случае

Сложность этапа формирования начальных групп и первого этапа слияния одинакова и равна N. Сложность

2-го этапа слияния равна -— щ_Х) , так как в нем уча­ ствует одна упорядоченная группа, длина которой мень­ ше длины всего массива в 2 — 2~ < м - 1 ) раз. Сложность всех остальных этапов примем равной сложности 2-го

этапа, так как количество упорядоченных групп увеличи­ вается при переходе от /-го этапа к (/—1)-му в 2—2~( м - 1 > раза, а длина упорядоченной группы уменьшается в том же отношении. Следовательно, общая сложность равна

(7.21)

В нашем случае оценка сложности окажется равной

что ниже точного значения сложности на 4%-

§ 7.7. Упорядочение на одной ленте

Рассмотрим процедуру внешнего упорядочения в слу­ чае предельно ограниченных ресурсов внешней памяти, когда, кроме магнитной ленты с хранящимся на ней не­ упорядоченным массивом, мы не имеем в нашем распо­ ряжении ни одной ленты.

Вэтом случае основной объем ОЗУ (исключая рабо­ чие ячейки) делится на две равные части и обмен между лентой и ОЗУ осуществляется зонами, равными по раз­ меру половине ОЗУ.

Алгоритм внешнего упорядочения, аналогичный по своей идее алгоритму вставки в ОЗУ, выполняется по блок-схеме, изображенной на рис. 7.8.

Вэтой блок-схеме используются следующие опера­

торы:

МЛП -»-ОЗУ(1) ) —' оператор считывания с магнит-

МЛП->- ОЗУ(2) j ной ленты соответственно в 1-ю (нижнюю) и 2-ю (верхнюю) зоны ОЗУ при движении ленты в прямом направлении;

МЛО-*-ОЗУ(1) I — т о же, но при движении ленты МЛО-»-ОЗУ(2) j в обратном направлении;

ОЗУ(1)-*-МЛ ) —оператор записи на магнитную ОЗУ (2) -*-МЛ / ленту соответственно из 1-й и 2-й половин ОЗУ, выполняемый только при движении ленты

впрямом направлении;

П(k) —оператор перемотки ленты на k зон в обрат­ ном направлении;