книги из ГПНТБ / Папернов А.А. Методы упорядочения информации в цифровых системах

элементов должны быть сохранены для проведения раз­ деления на следующих этапах процедуры. При этом на

тельно, дальнейшее разделение этой группы невозмож­

Для этого в свою очередь следует проверить объем груп­ пы старших элементов и, если в этой группе более одно­ го элемента, провести ее разделение по (/+1) - му раз­ ряду. Если же дальнейшее разделение этой группы не­ возможно (в ней меньше двух элементов), то последнее разделение было окончательным и группа младших эле­ ментов и группа старших элементов должны быть вклю­ чены в уже упорядоченную часть массива. Для даль­ нейшего разделения в этом случае должен быть взят очередной подмассив (с наибольшим значением /) из неупорядоченной части (если таковые в ней еще име^ ются).

Описанная организация процедуры обладает той осо­ бенностью, что начальная позиция подмассива, подле­ жащего разделению на данном этапе, является первой позицией еще неупорядоченной части массива. Другой характерной особенностью процедуры является то, что в списке подмассивов еще не упорядоченной части не может одновременно быть более одного подмассива, тре­ бующего разделения по определенному /-му разряду признака. Это свойство удобно использовать при орга­ низации списка границ подмассивов еще не упорядочен­

хранить границу подмассива, запоминаемую в резуль­

граница», то независимо от результата разделения при

Рис. 6.2. Блок-схема процедуры поразрядного упорядочения.

анализа объема подмассивов, то при возврате к подмассивам из неупорядоченной части следует проверять возможность их дальнейшего разделения (так как в списке могут фиксироваться подмассивы, состоящие всего из одного элемента или даже пустые, т. е. не со­ держащие элементов).

Блок-схема процедуры поразрядного упорядочения с описанной выше организацией приведена на рис. 6.2. Назначение отдельных блоков следующее.

Если общее число элементов больше одного, то осуще­ ствляется переход к выполнению процедуры. В против­ ном случае процедура не выполняется.

Блок 3— оператор разделения.

Блок 4 контролирует номер разряда, по которому проведено разделение. Если разделение прошло по по­

одного, то осуществляется переход к блоку 7, в против­ ном случае — к блоку 6.

Блок 6 контролирует число элементов в группе стар­ ших элементов подмассива. Если этих элементов меньше одного, то осуществляется выборка очередного подмас­ сива из неупорядоченной части (блоки 10—14).

Блок 7 служит для запоминания границы подмасси­ ва, оставляемого в неупорядоченной части, и для изме­ нения индекса (ік ) при переходе к разделению группы младших элементов подмассива.

Блок 8 служит для запоминания границы подмасси­ ва, оставляемого в неупорядоченной части, и для изме­ нения индекса (і н ) при переходе к разделению группы старших элементов массива.

Блок 9 изменяет значение индекса /.

Блок 10 изменяет значение начального индекса под­ массива при переходе к разделению нового подмассива из неупорядоченной части.

Блок 11 осуществляет проверку конца упорядочения. Блок 12 изменяет значение конечного индекса при переходе к разделению подмассива из неупорядоченной

части.

Блок 13 контролирует объем очередного подмассива из неупорядоченной части. Если в очередном подмассиве число элементов больше одного, то проводится раз­ деление. В противном случае изменяется значение ин­ декса / (блок 14) и алгоритм переходит к следующему подмассиву из неупорядоченной части.

возможно при увеличении числа одновременно анализи­ руемых разрядов и соответствующем сокращении сред­ него числа этапов обработки каждого элемента до его упорядочения. Рассмотрим два типа операторов, упоря­ дочивающих данный массив по выделенной группе раз­ рядов: оператор взаимного разделения подмассивов и оператор формирования упорядоченной цепочки элемен­ тов, а также процедуры упорядочения, основанные на использовании данных операторов.

Оператор разделения подмассива на взаимно упоря­ доченные части основан на двойном просмотре исходного подмассива с анализом значения выделенных разря­ дов признака. При первом просмотре подмассива опреде­ ляется число элементов с определенным значением выде­ ленных разрядов признака. При втором просмотре эле­ менты исходного подмассива распределяются по участкам памяти, размеры которых рассчитаны по результатам первого просмотра. В итоге получается единый подмас­ сив, состоящий из частей, взаимно упорядоченных по значению группы выделенных разрядов признака.

Пусть для анализа выбрана группа из m разрядов признака. Для этой группы разрядов существует s —2м различных возможных значений. Исходный подмассив должен быть разбит при этом на s взаимно упорядочен­ ных частей. Пусть число элементов в исходном подмас­ сиве равно п. Для выполнения разделения выделим резервные объемы памяти, состоящие из массива в п элементов для формирования результата разделения и из вспомогательного массива в s элементов для хране­ ния результатов подсчета числа элементов в подмассивах на первом просмотре исходного подмассива и для распределения элементов по текущим позициям на вто­

вспомогательном массиве должна быть сформирована последовательность С[і], С [2],..., С [у],..., С [s], опреде-

ляющая начальные позиции взаимно упорядоченных в соответствии со значениями выделенной группы разря­ дов частей массива. Во время второго этапа этот массив будет хранить текущие индексы первых свободных пози­ ций в каждой из частей. Примем условие, что величи­ на / соответствует значению выделенной группы разря­ дов, рассматриваемых как целое двоичное число, плюс

по значению выделенной группы разрядов признака, при­ ведена на рис. 6.3. Подготовительный этап оператора со­ стоит в очищении вспомогательного массива в цикличе­ ском режиме (блоки 1, 2, 3 и 4). Затем проводится пер­ вый просмотр исходного подмассива и подсчет во вспомогательном массиве числа элементов, имеющих определенное значение выделенной группы разрядов признака. Результат подсчета накапливается в ячейках С[у] массива С, адрес которых определяется вычислени­ ем индекса у по значению выделенной группы разрядов признака. Этот этап проводится в циклическом режиме по индексу і (блоки 5, 6, 7, 8 а 9).

Далее проводится подготовка ко второму просмотру исходного подмассива. В ячейках С[у] при этом форми­ руются индексы начальных позиций соответствующих групп результирующего массива. Расчет удобнее прово­ дить, начиная с конечных групп. В этом случае исполь­

так как в C[j+l] содержится рассчитанное ранее на­ чальное значение индекса следующей (/+1) - й группы элементов, в С [у]—число элементов в данной группе, полученное на первом просмотре, и в результате в С [у] будет образовано значение индекса начальной позиции данной группы элементов. В противном случае (при рас­ чете, начинающемся с начальных групп) следует прини­ мать дополнительные меры, исключающие наложение в одной и той же ячейке C[j] результата расчета началь­ ного индекса позиции данной группы и числа элементов

в этой же группе, полученного на предшествующих эта­ пах оператора и необходимого для вычисления начально­ го индекса позиции следующей группы. В блоках 10, 11, 12 и 13 проводится указанный расчет в цикле по убываю­

Последний этап оператора состоит в новом просмотре исходного подмассива в цикле по индексу і с пересыл­ кой каждого элемента исходного подмассива А на соот­ ветствующую позицию результирующего подмассива В и с изменением значения, соответствующего C[j], с тем, чтобы в C[j] постоянно содержались индексы первых свободных позиций в каждой из групп элементов (если свободные позиции в группе еще имеются). При этом также 'используется вычисление адреса элементов мас­ сива C[j] по значению выделенной группы разрядов при­ знака (см. блоки 14, 15, 16, 17 и 18).

Сложность оператора оценим, исходя из следующих предположений: сложность всех операций с элементами массива С примем равной сложности индексных операций

так как s = 2m-.

Отметим следующие основные особенности оператора: 1. Для выполнения разделения оператор требует ре­ зерва памяти, равного сумме объемов исходного подмас­

сива и вспомогательного массива С.

2.Результирующий подмассив образуется на новом участке памяти.

3.Оператор не нарушает порядка расположения эле­ ментов каждой из групп результирующего подмассива по отношению к их порядку в исходном подмассиве.

Возможно построение двух типов процедур, основан­ ных на использовании описанного выше оператора: про­ цедуры упорядочения по группе разрядов, начинающейся с анализа старших разрядов признака, и процедуры упо­ рядочения по группе разрядов, начинающейся с анализа

248 ГЛ. 6. ПОРАЗРЯДНОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ

младших разрядов признака. Процедуры, начинающие анализ со старших разрядов признака, строятся по прин­ ципу описанной выше процедуры поразрядного упорядо­

мого оператору разделения, требуется дополнительный объем памяти для запоминания границ взаимно упоря­ доченных подмассивов, дальнейшее разделение которых

жет быть подвергнут дальнейшему разделению немед­ ленно. Если признак содержит / разрядов, то каждый элемент может участвовать в lfm этапах разделения, из которых только в одном — последнем — не следует со­ хранять границ получаемых подмассивов, так как это последнее разделение окончательное. Поэтому общее число подмассивов, данные о которых следует сохра­ нить в памяти машины, не может превысить величину

(6.24)

которая существенно увеличивается с ростом m и может потребовать значительных объемов запоминающего уст­ ройства.

Другим недостатком рассматриваемой процедуры упо­ рядочения является то, что в результате выполнения очередного этапа разделения каждый подмассив пере­ мещается «а новое место и процедура должна учитывать, что окончательное упорядочение различных элементов требует различного числа разделений подмассивов, содер­ жащих эти элементы. Указанные обстоятельства приводят

кнеобходимости сбора всех упорядоченных подмассивов

иэлементов по основному и дополнительному объемам памяти в единый упорядоченный массив.

От указанных недостатков свободна процедура упо­ рядочения по группе разрядов, начинающаяся с анализа младших разрядов признака. Возможность использова­ ния такой процедуры обусловлена тем свойством опера­ тора разделения, что он не нарушает порядка следования элементов в каждой из групп результирующего подмас­ сива по отношению к их порядку в исходном под-

массиве. Из этого следует, что если в исходном подмас­ сиве проведено упорядочение по младшим разрядам признака, то взаимное упорядочение по следующей, стар­ шей группе разрядов признака не нарушает внутреннюю упорядоченность каждого из подмассивов по младшим разрядам. В этом случае массив всегда полностью упорядочен по всем рассмотренным разрядам признака и, следовательно, границ взаимно упорядоченных частей запоминать не требуется. Процедура при этом существен­ но упрощается. Для ее организации следует в цикличе­ ском режиме (по номеру группы выделенных разрядов, начиная с группы самых младших разрядов) повторить оператор разделения, применяя его каждый раз ко всему объему массива, до полного упорядочения. Если при­ знак содержит I разрядов, то применить оператор сле­ дует І/т раз. Следует только помнить, что каждое при­ менение оператора разделения перемещает массив на

разумно проводить разделение не для всех разрядов при­ знака, а только для некоторой группы старших разрядов, устраняя оставшуюся неупорядоченность отдельных не­ больших групп элементов методом вставки практически за один просмотр массива. Оценим характеристики про­ цедуры в этом случае.

Пусть проведено k этапов разделения, т. е. просмот­ рена группа старших km разрядов признака. Будем счи­ тать, что значение признака у элементов массива равно­ мерно распределено во всем диапазоне возможных значений. При проведении указанного числа этапов раз­ деления весь диапазон возможных значений признака разбивается на 2km интервалов равной длины. В этих условиях в отдельный интервал попадает случайное число t значений признака, принадлежащих каким-либо эле-