книги из ГПНТБ / Папернов А.А. Методы упорядочения информации в цифровых системах

Если разделяющее

значение

признака определяется

по достаточно большой

выборке

из статистически экви­

мальным разделением массива (каждый раз

на

два рав­

ных

подмассива),

а последующие

этапы

используют

разделение по случайному элементу.

В результате выполнения первых k этапов исходный

массив распадается на 2к

равных подмассивов, содержа­

щих

по n/2k

элементов.

Сложность

упорядочения для

совокупности

последних

этапов равна

(см.

5.43)

Т л о с л

= Т21п2 • 2*^- log2 -J- = 2 In 2 Тп

( l o g , n - k ) ,

(5.83)

где

Т =-- Т с р +

-L

Тп.

Тобт = Тп [k + 2 In 2 (log, n - k)].

(5.84)

быть больше, чем

log2 n. Введем обозначение:

e =

fc/logsn,

где 0 < е < 1 ,

(5.85)

§ 57. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОГО МАССИВА

231

откуда

k = Q\ogtn

(5.86)

и

Тобщ

= Тпlog2п[9

+ (1 -

Ѳ) 2 In2].

(5.87)

На рис. 5.15 приведена зависимость

общей

сложности от

Ѳ. При изменении

Ѳ от 0 до

1 сложность,

определяемая

ответствующего

оптимальной процедуре

(т. е. на

39%).

Можно ожидать, что формула

(5.87)

окажется достаточ­

но точной для

Ѳ, не слишком

мало

отличающихся от 1.

Для

значений

Ѳ, близких к 1, когда

размеры разделяе­

мых

подмассивов оказываются

малыми,

предположение

о равенстве 0 дисперсии разделяющего значения

призна­

ка перестает быть справедливым. В связи с этим

эффек­

ем

этой

таблицы

можно

определить следующим

обра­

зом. На

последнем

k-u этапе проводится разделение

2' , _ 1

подмассивов

по 2к~1

различным значениям

при-

можных значений

признака

на участки в соответствии

с тем или иным

значением

группы старших разрядов

на два участка — участок

значений признака,

где стар­

ший разряд равен 1, и

участок значений

признака, где

старший разряд равен

0.

Рассматривая

два

старших

верка

очередного разряда

признака

(начиная

со стар­

ших

разрядов) каждого элемента,

еще не

упорядочен­

ного

по отношению к остальному

массиву.

Процедура

будет

закончена, когда в массиве не останется

неупоря­

доченных элементов или

когда число этапов

достигнет

M[/]

=

m

(6.1)

v / p . ,

(=1

где

Pi — вероятность

того

события,

что

упорядочение

элемента закончено на і-м этапе (после

проверки

і-го

разряда его

признака).

Рассмотрим событие, состоящее в том, что для упо­

рядочения

данного

элемента надо

провести

не

более

і этапов (проверить

не более і

разрядов

в его

признаке).

Вероятность

этого

события

обозначим

Оче­

видно, что

_

(

p[<i}~Р[<і—

1]

при

іфт,

Р і ~

J

1 -

Р [<[т

—

1]

при

/ =

m,

{Ь-

'

так как события «упорядочение закончено

на і-м этапе»

и «упорядочение закончено не более

чем за і—1 этапов»

несовместны,

а

событие

«упорядочение

заканчивается

не более чем за m этапов» достоверно. Поэтому

m—1

+ m ( l — p [ < m

— 1]).

М[і]

=Щ(р[<{і]

— р}<і—\]л)

(6.3)

$6.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОЦЕДУРЫ

235

Определить вероятность р[~<і] можно из

следующих

вероятность

того

события,

что признак

данного

элемен­

та в старших і разрядах

не совпадает

с

признаками

ни одного

из оставшихся

п—1

элементов.

Она

равна

(1_2-'-)«-і.

Эта величина

и определяет

вероятность того, что

і этапов, так как после анализа

і разрядов

его призна­

ка выяснилось, что он выделился из всего массива.

Итак,

p [ < / ]

=

( l - 2 - ' ) n - ' .

(6.4)

Поэтому

M [il =

-

2~і)"-1

-

( i

—

2 - ' + I ) n - ' J

+

i = i

+ m [ l - ( l - 2 - m + , ) n - 1 ] = m - r

^ 1 ^ ! - 2 " ' ) " " 1 —

г = i

- г

2

(1

— 2 - ' + 1 ) n - ' .

(6.5)

В третьем слагаемом полезно провести замену ин­

декса:

m—1

r

.

m—1

. . .

М[і\ = m + 2

/ (

1 - 2 - ' ) " " 1 -

2

(/ + 1) ( 1 - 2 - ' ) " - ' ,

;=і

i = 0

(6.6)

236

ГЛ. 6. ПОРАЗРЯДНОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ

а затем объединить второе и третье слагаемые:

М[і] = m — 2

( l ~

2

)

= m — 2

(l

~ 2~')

»

(6.7)

поскольку

при

і = 0

выражение

(1—2~l )n ~l

также рав­

но

0.

Обозначим

m—1

.

5

=

2

( 1 — 2 -

' )

.

(6.8)

І =

І

Оценим данную сумму

интегралами:

J (1 — 2- *)

dx>S>

j

(1 — г - ^ 1

) " - 1

dx.

(6.9)

1

1

Сделаем в левом интеграле следующую замену пере­

менной: у=\—2~х

, а в правом: z=\—2~х+1

.

Получим

dx =

—

и

dx —

d

z

In 2 ( 1 — y)

In 2

(1 —2)

—тп 41

j - Ö ^ > S l n 2

>

j

-

^

L

.

(6.10)

2

Интеграл

л—1

j ü

^

L

=

_ l

n l

l _

x

|

_

|

'

i i

,

(6.1

для доказательства чего достаточно записать

его

в

виде

П ^ ч ь ^

Cj^zl±^dx=

-

m 1 1 - х f -

Г1

-

J

1 — л

J

1 - х

1

J

1 - х

=

— I n j

1 — x\

— j

(1 4-л: 4- -

+x'~2)dx.

(6.12)

§ 6.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОЦЕДУРЫ

237

Отсюда для

оценки величины

S получаем

соотношение

i о—m п—1

JL

1—2

_

V

> 5 1 n 2 >

. L

Z

i

2

i = l

i

—m+1

m

+

п

х

> 1 п ( 1 - г )

-2т

1—2

(6.13)

или

о

'=1

+2Ц > S1 n 2 >

( „ _ 1 ) 1„ 2 - 2

i = i

i = i

> (

m - l ) l n 2 - 2 ^ 7 :

^ i

.

(6.14)

i = l

Учитывая, что 2 - m

< 0 ,

заменим выражения

под знаком

суммы их приближенными

значениями:

(1 — 2 - m ) ' » 1 — / 2 ~ m ,

(6.15)

(1 —2-т+1У^

1 — / 2 - т + 1 ,

2 *

а сумму ||2

~

заменим

величиной 1п2

(распростра-

нив суммирование до i ->оо ) . В результате

получим

л— 1

(=i

(6.16)

(=1

ИЛИ

I n 2 > ( S — m + 1)1п2 +

л-1

— —

У

2

>

-

^

. (6.17)

ѵ

1

'

'

j

т

2 т

і=1

В случае,

когда возможных

значений

признака мно­

го больше, чем элементов в массиве, т. е.

«

1,

(6.18)

получаем для 5 оценку

S ^ m - l

L y

_ L

l n 2 ^ J

L

M W œ , i

ï

f

+ 1 -

<6Л9>

При увеличении числа элементов в массиве по срав­

нению с числом

возможных

значений

признака

(для не

слишком больших

значений

отношения

—

\

можно

считать

2т

I

М[і]^~

1

V "

1

п — 1

- +

1.

(6.20)

У

— —

2т

1 J

1 п 2 ^

і

К

'

і=і

Используя оценку ряда

^

—

~ l n ( n —

1),

получаем

M [ i l ^ M ^ l _ J L ^ }

+

1

=

In 2

2т

= l o g , ( n - l ) — ^ І

+ І.

(6.21)

Таким

образом,

при сделанных

нами

предположениях

среднее

число

этапов

процедуры

примерно

равно

log2 (n—1) + 1, что

свидетельствует о

близости процесса

§ 6.2. ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОЦЕДУРЫ

239

(номера

разрядов обозначим

1,

2, 3,

т)

, а соот­

ветствующие значения разрядов обозначим Sj).

Основ­

ным оператором процедуры

будет оператор

разделения

подмассива, заданного граничными

значениями

индек­

сов a[î„:iK]

(і н —индекс

первого

элемента

подмас­

сива, a ік

— индекс последнего элемента подмассива), на

две части в соответствии с двумя возможными значения­

ности

будем считать,

что

в

результате действия опера­

тора

на

начальных

позициях

в выделенном

подмасси-

ве a [ін

: іс—1]

группируются

элементы, имеющие

0 в

/-м разряде кода признака,

а

на конечных

позициях

а[іс:ік]

группируются элементы, имеющие 1

в /-м раз­

ряде

кода

признака

( ін -<

гс

•< /к ),

где

іс

— индекс

позиции

первого

элемента,

имеющего

1 в /-м

разряде.

На

рис.

6.1

приведена

блок-схема

оператора,

по­

знака у г-го элемента обозначено

в блок-схеме S/О -

Примем

следующий порядок

работы

процедуры.

После разделения

очередного подмассива

a [іи

: ік]

по

/-му разряду кода

признака прежде всего анализируем,

не является ли этот /-й разряд

последним

разрядом

признака (т. е. выполнено

ли

равенство } — т).

Если

/-й разряд

последний, то

разделение подмассива

окон­